В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 101
Текст из файла (страница 101)
В качестве отображения <р: Кл -+ 1" здесь можно взять, например, отображение 2 Е = — агс$дх' 7Г (г =1,...,п). Пример 2. Построенное в примере 1 отображение заодно устанавливает, что подпространство векторного пространства К", задаваемое условиями хй+' = ... = ж" = О, является й-мерной поверхностью в К" (или й-мерным подмногообразием К"). Пример 3.
Множество в К", задаваемое системой соотношений а1х1 +... + а1 хй + а' жй+1 +... + а1 хи = О 1 й й+1 и л — Й 1+ + л — Й Й+ л — Й Й+1+ + и — Й и О 1 й й+1 при условии, что ранг этой системы гообразием Кл. Действительно, пусть, например, равен л — Й, является Й-мерным подмно- определитель 1 1 ай+1 ... а„ и-й и-й Й+1 ''' л 1 7. ПОВЕРХНОСТЬ В й" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 509 отличен от нуля. Тогда линейное преобразование Ф1 — х1 = х", 1 + = а,'х'+... + а'„х", ~и аи — йХ1 + + аи — й Х™ очевидно, является невырожденным. В координатах 11, ..., Р наше множество задается условиями 1й+1 = ... = Р = О, уже рассмотренными в примере 2.
Пример 4. График определенной в некоторой области С С Ки 1 гладкой фуНКцИИ Х" = ДХ1,..., Хи 1) яВЛяЕтСя ГЛадКОй (П вЂ” 1)-МЕрНОй ПОВЕрХНОСтЬЮ в Ки. Действительно, полагая < 1' = х' (1=1, ...,и — 1), 1 и Х и 1 ( Х 1 Х и 1 ) р1( 1 й й+1 и) О (2) ри-й ( 1 й й+1 и) задают в К" подмногообразие Я размерности Й. Пусть в точке хо Е Я выполнено условие дГ' дР' дх"+' ' ' дх" (3) (хо) 7Е О. дул-й дРл-й дх"+1 дх" мы получаем систему координат, в которой график нашей функции имеет уравнение Ф" = О. Пример 5. Окружность х~+ р2 = 1 в К2 является одномерным подмногообразием в К~, что устанавливается разобранным в предыдущем параграфе локально обратимым переходом к полярным координатам (р,у), в которых окружность имеет уравнение р = 1.
Пример б. Этот пример является обобщением примерь 3 и вместе с тем, как видно из определения 1, дает общую форму координатной записи подмногообразий пространства Ки. Пусть Рй(х1,..., хи) (1 = 1,..., и — Й) — система гладких функций ранга и — й. Покажем, что соотношения ГЛ.Ч1П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 510 Тогда преобразование < И =х' (а=1,...,й), ~' = Р' ь(х1,..., х") (з = Й + 1,..., п) Пример 8.
Если гладкое отображение ~: С -+ К" области С С К", задаваемое в координатном виде соотношениями (1), имеет в точке 8е з= С ранг Й, то найдется такая окрестность У(1е) с С этой точки, образ ДУ($е)) С с К" которой является гладкой поверхностью в К", Действительно, как уже отмечалось выше, в этом случае соотношения (1) могут быть в некоторой окрестности У(10) точки 80 Е С заменены эквивалентной им системой соотношений х +' = зр +'(х', ...,х"), х" = у"(х,...,х ) (для упрощения записи мы считаем, что уже система функций ~1, ..., ~ь имеет ранг й).
Полагая рз( 1 зз) Й+з Й+з( 1 .Й) (е =1,...,п — Й), записываем систему (4) в виде (2). Поскольку соотношение (3) выполнено, то в силу примера 6 множество ДУ(10)) действительно является й-мерной гладкой поверхностью в К". в силу теоремы об обратной функции является диффеоморфизмом некоторой окрестности рассматриваемой точки. В координатах Ф1, ..., 8" исходная система будет иметь вид 1~+1 = ... = = Ф" = О; таким образом, Я является й-мерной гладкой поверхностью в К".
Пример 7. Множество Еточек плоскости К2, удовлетворяющихуравнению х2 — у2 = О, состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат. Это множество не является одномерным подмногообразием К~ (проверьте,') именно из-за указанной точки пересечения. Если удалить из Е начало координат О з= К~, то множество Е ~ О уже, очевидно, будет удовлетворять определению 1. Заметим, что множество Е ~ О несвязно. Оно состоит из четырех не имеющих общих точек лучей. Таким образом, удовлетворяющая определению 1 Й-мерная поверхность в К" может оказаться несвязным подмножеством, состоящим из некоторого числа связных компонент (и уже эти компоненты являются связными Й-мерными поверхностями).
Часто под поверхностью в К" понимают именно связную й-мерную поверхность. Сейчас нас будут интересовать проблемы отыскания экстремумов функций, заданных на поверхностях. Это локальные проблемы, поэтому в них условие связности поверхности не проявляется. $7- пОВеРхнОсть В и" и теОРия услОВЯОГО экстРемумА 511 2.
Касательное пространство. При рассмотрении закона движения х = х(8) материальной частицы в К~, исходя из соотношения х(~) = х(О)+*'(а) ~+ о(~) при ~ -+ О (5) и считая, что точка 8 = 0 не является критической для отображения К Э $ >-+ >-~ х(1) >= К~, т. е.
х'(0) ф О, мы определили прямую, касательную к траектории в точке х(0), как линейное подмножество в Кз, задаваемое в параметрическом виде уравнением х — хо — — х (О) > (6) или уравнением (7) хо — 4' ~> где хо —— х(0), а ( = х'(0) — направляющий вектор прямой. В сущности, аналогичную вещь мы делали, определяя плоскость, касательную к графику функции л = ~(х,у) в К~. Действительно, дополнив соотношение я = Дх,у) тривиальными равенствами х = х, у = у, мы получаем отображение К~ Э (х,у) > — + (х, у, Дх, у)) Е Кз, касательным к которому в точке (хо, уо) является линейное отображение хо 1 0 У Уо = О 1 > х — ~о У (хо, Уо) Уд(хо> Уо) (8) где хо = ~(хо,уо). Полагая здесь | = (х — хо, у — уо), х = (х — хо, у — уо, л — хо) и обозначал через х'(0) указанную в (8) матрицу Якоби рассматриваемого отображения, замечаем, что ее ранг равен двум и что в этих обозначениях соотношение (8) имеет вид (6).
Особенность соотношения (8) состоит в том, что из трех равенств: х-хо = х — хо (9) у уо = у уо ~ — хо = У'(хо уо)(х — хо) + У„'(хо>уо)(у — уо) совокупности которых оно равносильно, только последнее нетривиально. Поэтому именно оно осталось у нас как уравнение, задающее плоскость, касательную к графику функции х = Дх, у) в точке (хо, уо, хо). Сделанное наблюдение можно использовать, чтобы теперь дать определение Й-мерной плоскости, касательной к Й-мерной гладкой поверхности Я с К".
Из определения 1 поверхности видно, что в окрестности любой своей точки хо Е 5 Й-мерная поверхность Я может быть задана параметрически, т. е. с помощью отображения 1ь Э ф, ...,Ю") > — + (х1, ...,х") Е Я. В качестве такового может выступать ограничение отображения <р 1: 1" -+ У(хо) на й-мерную плоскость |А+1 =... = Ф" = 0 (см. рис. 62). ГЛ. У1П. ДичЫчЫЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 512 дх' дх1 х' — хв1 — — — (0) 8' +...
+ — (0) 8~, а " д~ (10) х" — хв —— — (0)й +...+ — (0)й . дх" 1 дх" д~1 ' ' д~" Пространство, касательное к поверхности Я в точке х Е Я, будем, как и прежде, обозначать ц символом ТЯ, Важным и полезным упражнением, которое читатель может проделать самостоятельно„является доказательство инвариантности определения касательного пространства и проверка того, что линейное отображение 1 ~+ х'(0) Ф, касательное к отображению 8 ~-+ х(1), задающему локально поверхность Я, осуществляет отображение пространства К~ = ТЗ~ на плоскость Т$ <о1 (см. задачу 3 в конце параграфа). Выясним теперь, как выглядит уравнение касательной плоскости к й-мерной поверхности 8, заданной в К" системой (2).
Будем для определенности считать, что в окрестности рассматриваемой точки хо Е Я выполнено условие (3). Полагая (х1 х") = и, (х~+1, ...,х") =е, (г'1,..., Р' ") = Г, запишем систему (2) в виде Р(и,е) = О, а условие (3) — в виде йеФГ„'(и, о) уЕ О. (12) 1>Это — небольшое отклонение от наиболее распространенного обозначения Т~Я или Тлю ° Поскольку у ' — диффеоморфизм, то якобиан отображения ~р ': 1" -+ -+ У(хо) в любой точке куба 1" отличен от нуля. Но тогда ранг отображения Х" Э ф, ..., 8~) ~ — + (х1,..., х") Е Я, полученного ограничением у ' на указанную плоскость, должен быть равен й в любой точке куба ХР.
Полагая теперь ф,..., 1") = $ Е Х~ и обозначая отображение 1ь Э $ ~-+ х б Я через х = х(8), получаем локальное параметрическое представление поверхности Я, обладающее свойством, выраженным равенством (5), на основании которого уравнение (6) принимаем в качестве уравнения касательного пространства или касательной плоскости к поверхности Я С К" в точке хо Е Я. Итак, мы принимаем следующее Определение 2.
Если й-мерная поверхность Я С К", 1 ( й ( и, в окрестности точки хо Е Я задана параметрически с помощью гладкого отображения ф,..., Ф") = 1 ~ — + х = (х', ..., х") такого, что хв — — х(0) и матрица х'(0) имеет ранг й, то к-мерная плоскость в К", задаваемая параметрически матричным равенством (6), называется касатпелыной плоскосшыю или касатнелыпыьм проспьракствол4 к поверхностпи Я в тпочке хо 6 Я. В координатной записи равенству (6) соответствует система уравнений 3 7. пОВеРхнОсть В и" и теОРия услОВнОГО экстРемумА 513 В окрестности точки (ио, оо) = (х~е,..., х,"„х,",+1, ..., х,",) по теореме о неявной функции перейдем от соотношения (11) к эквивалентному ему соотношению о = Ди), (13) дополняя которое тождеством и = и, получаем параметрическое представле- ние поверхности Я в окрестности точки ха Е Я: и=и, е = Ди).
На основании определения 2, из (14) получаем параметрическое уравнение (15) касательной плоскости; здесь Š— единичная матрица, а 8 = и — иа. Подобно тому, как это было в случае системы (9), в системе (15) оставляем только нетривиальное уравнение ~ — ~о = У'(мо) (и — ио), (16) которое и содержит в себе связи переменных х', ..., х~ с переменными х~+1, ..., х", выделяющие касательное пространство. Пользуясь тем, что по теореме о неявной функции У'(ио) = — [~."(ио,1о)3 ~Р"(на,ео)1 перепишем (16) в виде Х'„'(ыо, ео) (и — ио) + Р„(ио, 1~о) (1~ — 1~а) = О касательного пространства Т$„С К". В координатном представлении уравнение (17) равносильно системе урав- нений др' 1 1 др' — (хо)(х1 — хо1) +... + — (хо)(х" — хо) = О, дх' ' дх" (18) дГ.-' 1 1 дк -~ д 1 (хоНх — хО) +...
+ д ~ (хо)(х" — хО) = О. Ранг этой системы по условию равен и — й, поэтому она задает й-мерную плоскость в и.". откуда после возвращения к переменным (х',:..., х") '= х получаем искомое уравнение Р,(ха)(х — хо) = О (17) ГЛ. Ч1Н. ДИ<РФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Аффинное уравнение (17) эквивалентно (если указана точка хо) векторному уравнению Е'(хо) ~ = О, (19) в котором ~ = х — хо.
Значит, вектор (' лежит в плоскости ТЯ „касательной в точке хв Е 8 к поверхности Я С й", заданной уравнением Р(х) = О, в том и только в том случае, когда он удовлетворяет условию (19). Таким образом, ТЯщ можно рассматривать как векторное пространство векторов (', удовлетворяющих уравнению (19). Именно с этим обстоятельством и связан сам термин касательное пространство. Докажем теперь следующее, уже встречавшееся нам в его частном случае (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
