В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Попробуем подобрать координаты (, ц так, чтобы в них дуге нашей кривой, содержащей (хо, уо), отвечал отрезок одной из координатных линий, на. пример линии ц = О. Положим ~ = х — хо, ц = г" (х, у). Матрица Якоби 5 в. следстВия теОРемы О неяВнОЙ Функции 493 этого преобразования имеет своим детерминантом величину Р„'(х,у), которая по предположению отлична от нуля в точке (хо, уо). Тогда по теореме 1 это отображение является диффеоморфизмом окрестности точки (хо,уо) на окрестность точки ® р) = (О, 0).
Значит, в пределах указанной окрестности Рис. 59 чйсла ~, тт можно принять за новые координаты точек, лежащих в окрестности точки (хо, уо). В новых координатах наша кривая, очевидно, имеет уравнение тт = О, и в этом смысле мы действительно добились ее локального выпрямления (рис. 59). 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду.
Мы рассмотрим здесь только один вопрос этого типа, а именно укажем канонический вид, к которому удачным выбором координат можно локально привести любое гладкое отображение, имеющее постоянный ранг. Напомним, что рангом гладкого отображения ~: У -+ Й" области У С Й'" в точке х Е У называется ранг касательного к нему в этой точке линейного отображения, т. е. ранг матрицы ~'(х).
Ранг отображения ~ в точке х обозначают обычно символом гахн ~(х). Теорема 2 (теорема о ранге). Пустпь ~: У -+ Й" — отпображение, определенное в окрестпности У С Й™ точки хо б Йт". Если т б С~Р~(У; Й"), р ) 1, и в любой точке х б У отображение ~ имеетп один и тпот же ранг й, то существуют окрестпностпи 0(хо), 0(уо) тпочек хо, уо — — ~(хо) и такие их диффеоморфизмы и = у(х), и = тр(у) класса СЫ, что в окрестностпи 0(ио) = тр(0(хо)) точки ио — — <р(хо) отпображение и = тр о ~ о <р '(и) имеет следующее координатпное представление: (и1,..., и~,..., и ) = и ~ — + о = (и',..., о") = (и1,..., и~,О,...,0).
(7) Иными словами, теорема утверждает (рис. 60), что вместо координат (х1, ..., хт") можно выбрать координаты (и1, ..., и™), а вместо координат ГЛ. Ч111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (р1,..., р") — координаты (и1, ..., и") так, что локально наше отображение в этих новых координатах будет иметь вид (7), т. е. канонический вид линейного отображения ранга Й.
~ Запишем координатное представление р1 =~(х1,...,х ), р =~(х,...,х ), (8) у+ = ~+ (х1,...,х™), Рис, 60 р" = ~"(х',...,х™) нашего отображения 1.: У -+ Щ, определенного в окрестности точки хо 1= К Чтобы не менять нумерацию координат и окрестность 4~, будем считать, что в любой точке х Е У главный минор порядка Й, стоящий в левом верхнем углу якобиевой матрицы отображения ~, отличен от нуля. Рассмотрим отображение, определяемое в окрестности У точки хо равенствами 1 1(х1 ~~) ~1(х1 х~~) и = ~р(х,...,х™) =~ (х,...,х ), (9) иь+1 = <рь+1(х1, ..., х'") = хь+1, и'" = <р"'(х1,...,х™) = х Его матрица Якоби имеет вид д~У д~1 дУ~ дУ дх1 дх~ :.
да~+' дх'" д~" д~~ . 'д~" д~~ дх1 ' дх" :; дх"+' ''' дх'" О 0 1 и в силу сделанного предположения ее определитель отличен от нуля в У. По теореме об обратной функции, отображение и = ~р(х) является диффеоморфизмом гладкости р некоторой окрестности 0(хо) с У точки хо на окрестность 0(ио) = <р(0(хо)) точки ио — — ~р(хо). ~ 6. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 495 Сравнивая соотношения (8) и (9), видим, что композиция д = ~ о у ': 0(цо) -+ Щ имеет следующее координатное представление: у1 = ~~ о<р 1(ц1, ...,ц~о) = ц1, у =~ о<р (ц,...,ц~) =цй, уй+1 ~й+1 о ~ — 1 ( 1 т) дй+1 ( 1 т) (10) о уа, -1(, 1 эта) а( 1 тв) Поскольку отображение ~р 1: 0(цо) -+ 0(хо) в любой точке ц Е 0(ио) имеет максимальный ранг т„а отображение ~: 0(хо) -+ К„" в любой точке х Е 0(хо) имеет ранг Й, то, как известно из линейной алгебры, матрица д'(ц) = ~'(у '(ц)) (~р 1) (ц) имеет ранг Й в любой точке ц Е 0(цо).
Прямой подсчет матрицы Якоби отображения (10) дает 1 О О 1 О дд"+' дд'+' : ;дд"+' дд"+' ди1 ' ' ди" '; ди"+' ''' ди"' дд" дд" :. дд" дд" ди' ''' ди" ' ди"+' ' ди ' у1 ц1 ' (11) й+1 й+1(„1 „й) уо — до(ц~ цй) Значит, в любой точке ц Е 0(ио) получаем †,.(ц) = О (1 = й + 1,...,т; дд' у = Й+ 1,..., л). Считая окрестность 0(цо) выпуклой (чего можно добиться, уменьшив 0(цо), например, до шара с центром цо), отсюда можно заключить, что функции ф при 1 = Й + 1,..., и на самом деле не зависят от переменных цй+1 цтл 3'''3 После этого решающего наблюдения отображение (10) можно переписать в виде 49б ГЛ.
1 111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Теперь уже можно указать отображение ф. Положим 6' = у' =: Ф'Ь), (12) „ь+ А+1 ь+ ( 1,ь) .,~ь+ („) = ю"-у"(у' * ю") =: Ф"Ь) Из построения функций у1 (1 = й + 1,...,а) видно, что отображение ф определено в некоторой окрестности точки уо и принадлежит классу С("~ в этой окрестности. Матрица Якоби отображения (12) имеет вид 1 О О 1 О ду"+' ду"+' .:: О ду1 ' ' дуй — — —::О 1 ду' ''' ду" и~+' = О, Полагая ~р 1(0(ио)) = О(хо), ф ~(0(ио)) = 0(ро), получаем указанные в теореме окрестности точек хо, уо, чем и завершается доказательство.
° Ее определитель равен 1,и, значит,по теореме 1 отображение ф является диффеоморфизмом гладкости р некоторой окрестности 0(уо) точки уо е В", на окрестность О(ео) = ф(0(ро)) точки ио Е Щ. Сравнивая соотношения (11) и (12), видим, что в достаточно малой окрестности 0(ио) С 0(ио) точки ио такой, что у(0(ио)) С 0(ро), отображение ф о ~ о у 1: 0(ио) -+ й„" является отображением гладкости р этой окрестности 0(ио) на некоторую окрестность 0(ио) с 0(ио) точки ио 6 й„" и при этом имеет канонический вид з 6. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 497 Замечание 1.
Если в любой точке исходной окрестности У С $Г' ранг отображения 7": У вЂ” ~ й" равен и, то точка уо — — ~(хо), где хо Е У, является внутренней точкой множества ~(У), т. е. содержится в ДУ) вместе с некоторой своей окрестностью. ~ Действительно, по доказанному отображение 4~ о,7 о ~р 1: 0(ио) -+ 0(оо) в этом случае имеет вид (ны,..., н~, ..., и™) = и ~ — ~ о = (о~, ..., о ) = (и~,..., и ), поэтому образ окрестности точки цо — — у(хо) содержит некоторую окрестность точки оо — — ф о,7" о~р 1(ио). Но отображения у: 0(хо) -+ 0(ио), ф: 0(ро) -+ 0(оо) — диффеоморфизмы, поэтому они переводят внутренние точки во внутренние.
Записывая теперь исходное отображение 7 в виде 7" = ф 1 о (ф о 7 о у 1) о ~р, можем заключить, что точка уо —— 7" (хо) является внутренней точкой образа окрестности точки хо. ° Замечание 2. Если ранг отображения 7': У-+ й" в любой точке окрестности У равен й и й < и, то, в силу равенств (8), (12) и (13), в некоторой окрестности точки хо б У С Й'" имеют место и — Й соотношений ,7'(х~, ...,х ) = у'(~~(х~, ...,х ), , 7 (х , ...,х™)) (е = й+ 1,..., а). (14) Указанные соотношения выписаны в принятом нами предположении о том, что главный миноР поРЯДка Й матРицы 7'(хо) отличен от нУлл, т.
е. что Ранг й реализуется уже на наборе функций 71, ...,,7~. В противном случае можно было бы изменить нумерацию функций 71, ..., 7"" и снова иметь укаэанную ситуацию. 3. Зависимость функций Определение 2. Говорят, что система непрерывных функций 7"(х) = = ~'(х~,..., х ) (е = 1, ..., и) является функционально независимой в окрестности точки хо — — (хо1,..., х™), если для любой непрерывной функции Р(р) = = Р(р~,..., у"), определенной в окрестности точки ро = (до~,..., уо ) = (~~ (хо), " °,,7'"(хо)) = 7'(хо), соотношение Р(~~(х~,... „х™), ..., 7" (х',..., х~)) = О в окрестности точки хо возможно только в случае, когда Р(у', ..., у")— : О в окрестности точки уо.
Теорема 2, как и теорема 1, очевидно, является локальным вариантом соответствующей теоремы линейной апгебры. В связи с проведенным доказательством теоремы 2 сделаем следующие полезные для дальнейшего замечания. 498 ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Линейная независимость, рассматривавшаяся в алгебре, есть независимость по отношению к линейным соотношениям к(у1,...,р") =л,у1+... +л„у". Если система не является функционально независимой, то ее называют функционально зависимой.
В случае линейной зависимости векторов один из них, очевидно, является линейной комбинацией остальных. Аналогичная ситуация имеет место и в отношении функционально зависимой системы гладких функций. Утверждение 1. Если систпема ~1(х1,...,х™) (1 = 1,...,п) гладких функций, определенных в окрестпности У(хо) тонки хо е Й™, тпакова, что ранг матрицы д~' д~' дх' ' дх"' (х) д,т" д~" дх' ' дх'" в любой точке х Е У один и тпотп эке и равен й, шо а) при Й = и систпема функционально независима в окрестпностпи хо,.
Ь) при й ( п найдршся окрестпностпь точки хо и такие тс функций систпемы, пусть ~~, ..., ~~, чшо остальные п — Й функций систпемы в этой окрестпности предстпавляются в виде ~'(х, ..., х ) = д1(~ (х,..., х"'),..., ~ (х, ..., х™)), где д'(у1,..., у") — гладкие функции, определенные в окрестпностпи тонки уо — — (1 1(хо),..., 1 "(хо)) и зависящие тполько ош й координатп текущей тонки у = (у1,..., у"), ~ В самом деле, если й = и, то в силу замечания 1 к теореме о ранге при отображении 1 у1( 1 ~в) (15) р" = т"(х1,...,х'") образ окрестности рассматриваемой точки хо содержит целую окрестность точки уо —— - Дхо). Но тогда соотношение Р(~~(х',..., х™),..., ~" (х1,..., х~)) = О в окрестности хо возможно только при условии, что г(у',...,р") =о в окрестности точки ро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
