В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Этим утверждение а) доказано. ~ 6. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ 4>УНКЦИИ 499 Если же й < и и ранг й отображения (15) реализуется уже на функциях ~', ..., ~", то в силу замечания 2 к теореме о ранге найдется такая окрестность точки уо — — Дхо) и п — Й определенных в ней функций д'(у) = = д'(у1,, у") (т = Й + 1,..., и) того же порядка гладкости, как и функции системы, что в некоторой окрестности точки хо будут выполнены соотношения (14).
Этим доказано утверждение Ь). ~ Мы показали, что если Й < и, то найдутся п — Й специальных функций Р'(у) = у' — д'(у1,..., у~) (т = Й+ 1,..., и), устанавливающих соотношения Р(Х'(х),..., У" (х), У*(х)) = О (т = й+ 1, ..., и) между функциями системы ~1, ..., ~", ..., ~" в окрестности точки хо. 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших. Здесь мы покажем, как, используя теорему об обратной функции, можно локально представить диффеоморфное отображение в виде композиции таких диффеоморфизмов, каждый из которых меняет только одну из координат.
Е у'= х', те(1,...,т), ут = дт(х , ...,х ), т. е. при диффеоморфизме д: У -+ К"' меняется только одна из координат отображаемой точки. Утвержден не 2. Если ~: С -+ К"' — диффеоморфизм открытого мномеества С С К~, то для любой тпочки хо б С найдетпся такая ее окрестпность, в котпорой справедлнво представление ~ = д1 о... од„, где д1,..., д„— простпейшие диффеоморфиэмы. я Проверим зто по индукции.
Если исходное отображение ~ само является простейшим, то для него утверждение тривиально справедливо. Предположим, что утверждение справедливо для диффеоморфизмов, меняющих не более чем (Й вЂ” 1) координату, где Й вЂ” 1 < и. Рассмотрим теперь диффеоморфизм ~: С -+ Кп', меняющий к координат: у = У (х'," ™) ь уй( 1 тв) у~+ = х~+ , (16) Определение 3. Диффеоморфизм д: 1У -+ К~ открытого множества У С К'" будем называть простейшнм, если его координатное представление имеет вид 1л ГЛ.
УШ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 500 Мы приняли, что меняются именно первые Й координат, чего можно достичь линейными преобразованиями. Значит, это не умаляет общности рассуждений. Поскольку ~ — диффеоморфизм, то его матрица Якоби ~'(х) в любой точке х Е С невырожденная, ибо (У ')'У(х)) = ~У'(х)Г' Фиксируем хе Е С и вычислим определитель матрицы ~'(хе): д~' дУ' . д,1' д~' дх' дх" '; дх"+" ' ' ' дх'" д~~ Д~~ дх' ''' дж~ дУ" дУ" : ;д~" д~" дх' ''' дх~ дхь+' ''' дх'" (хо) ~ О. (хо) = дуй дуя дх' ''' дх" 1 0 О О 1 Таким образом, один из миноров порядка й — 1 последнего определителя должен быть отличен от нуля.
Опять для упрощения записи будем считать, что таким является главный минор порядка й — 1. Рассмотрим тогда вспомогательное отображение д: С -+ Й'", определяемое равенствами хш) м" ' = ~" '(х',...,х™), (17) и =х, Поскольку якобиан дУ дУ дх' '' дх"-' дУ~ дх'" дУ1 дх~ ~у~ дх' ''' дх"-' дУ"-' дУ'-' ' дУ"-' дх' ''' дх~-': дх~ дуй-1 дх'" (хо) = (хо) ~ О д,~~ ' д~» дх' ''' дх~-' О О О 1 отображения д: С -+ Й в точке хо Е С отличен от нуля, отображение д является диффеоморфизмом в некоторой окрестности точки хо.
$6. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Тогда в некоторой окрестности точки ио —— д(хо) определено обратное к д отображение х = д 1(и), которое позволяет ввести в окрестности хо новые координаты (и', ...,и ). Пусть Ь = ~ о д 1. Иными словами, отображение р = Ь(и) есть наше отображение (16) р = Дх), записанное в координатах и. Отображение Ь, как композиция диффеоморфизмов, является диффеоморфизмом некоторой окрестности точки ио, Его координатная запись, очевидно, имеет вид р =~ од (и) =и', ра-1 — УЛ-1 о д-1(и) — И~-1 р = ~" од (и), рй+1 ил+1 3 р т. е. Ь вЂ” простейший диффеоморфизм. Но ~ = Ь о д, а по предположению индукции отображение д, определенное формулами (17), раскладывается в композицию простейших диффеоморфизмов.
Таким образом, диффеоморфизм ~, меняющий к координат, в некоторой окрестности точки хо тоже раскладывается в композицию простейших диффеоморфизмов, что и завершает индукцию. ~ 5. Лемма Морса. К рассматриваемому кругу идей принадлежит также красивая сама по себе и важная в приложениях лемма МорсаЦ о локальном приведении гладкой вещественнозначной функции к каноническому виду в окрестности невырожденной критической точки, Определение 4. Пусть хо — критическая точкафункции ~Е С~~>(У;лг), определенной в окрестности У этой точки. Критическая точка хо называется невырожденной крип1ической точкой фрнкции ~, если гессиан функции в этой точке (т.
е. матрица .. (хо), д ~' дх'дхг составленная из частных производных второго порядка) имеет отличный от нуля определитель. Если хо — критическая точка функции, т. е. ~'(хо) = О, то по формуле Тейлора У(х) — У(хо) = —,,~. д .д . (хо) (х' — хо)(х' — 4) + о(11х — хо1! ) (18) г 11Х. К. М.
Морс (1892 — 1977) — американский математик; основные труды посвящены применению топологических методов к различным разделам анализа. 502 ГЛ. 1~111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лемма Морса утверждает, что локально можно сделать такую замену х = д(р) координат,что в координатах у функция ~ будет иметь вид (~ о д)(у) — Дх ) = -(и1) —... — (у") + (у"+ ) +... + (р~) . Если бы в правой части равенства (18) отсутствовал остаточный член о(Йх — хо~~~), т. е.
разность Дх) — ~(хо) была бы просто квадратичной формой, то, как известно из алгебры, линейным преобразованием ее можно было бы привести к указанному каноническому виду. Таким образом, утверждение, которое мы собираемся доказать, есть локальный вариант теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Доказательство его будет использовать идею доказательства этой алгебраической теоремы. Мы будем опираться также на теорему об обратной функции и следующее предложение.
Лемма Адамара. Пусть,1' У-~ й. — фрнкцил класса С1"1(У;й), р > 1, определеннаа в выпуклой окрестности У точки 0 = (О,..., 0) е Ж'" и такал, что У(0) = О. Тогда существуют функции д; 1= С1» ц(У; К) (г = 1,..., т) такие, что в У имеет место равенство У(х,...,х™) = ~ х'д;(х,...,х™), 1=1 (19) причем д;(0) = —,. (0).
дУ ~ Равенство (19) — это, в сущности, иная полезная запись уже известной нам формулы Тейлора с интегральным видом остаточного члена. Оно вытекает из равенств если положить д,(х',..., х™) = / —. (Фх1,..., Фх ) 1й ,у х' о То, что д,(0) = —,(0) (з = 1, ..., т), очевидно, а то, что д; Е С<" ц(У; Ж), дУ тоже нетрудно проверить.
Но мы не будем сейчас заниматься этой проверкой, поскольку в свое время будет доказано общее правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, из которого нужное нам свойство функций д; будет непосредственно вытекать. Таким образом, с точностью до указанной проверки, формула Адамара (19) установлена, ~ $6, СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ 4>УНКЦИИ 503 д (х,...,х ) = ~ хтЬц(х,...,х ), .т=1 где Ь; — гладкие функции в окрестности точки О,и, следовательно, Дх',...,х ) = ~ х'хтЬ, (х',...,х ).
1, т=1 (20) 1 Подставляя здесь, если нужно, вместо Ь; функции Ь;т. = — (Ь,~ + Ь~,), 2 можем считать, что Ь;т = Ь;. Заметим также, что, в силу единственности тейлоровского разложения, из непрерывности функций Ь следует, что д~,т Ь;~(0) = —,.;.(0) и, значит, матрица (Ь; (0)) невырожденная.
Теперь функция ~ записана подобно квадратичной форме и мы хотим, так сказать, привести ее к диагональному виду. Как и в классическом случае, будем действовать по индукции. Предположим, что существуют координаты и',..., и"' в окрестности У1 точки 0 е Ж, т. е. диффеоморфизм х = у(и) такой, что в координатах „1 пь (У о ~р)(и) = ~(и~) ~... =Е (и" 1) + ~» и'итНц(и~,..., и ), (21) ьу=т гдет) 1,аН; =Н.;. Заметим, что при т = 1 соотношение (21) имеет место, что видно из формулы (20), где Н;.
= Ь; . По условию леммы, квадратичная форма , 'х'хт Ь;. (0) невырожденная, в,.т'=1 т. е. сЫ(Ь;~(0)) ф О. Замена переменных х = ~р(и) осуществляется диффеоморфизмом, поэтому с1е1у'(0) ~ О. Матрица формы ~(и1)2 ~... ~ (и" ')~ + т + ,'» и'итН; (0) получается из матрицы (Ь;.(0)) домножением справа на ма1у=т трицу у'(0) и слева на транспонированную по отношению к у'(0) матрицу, Лемма Морса. Если ~: С -+ Ж вЂ” фрнкиил хласса С®(С;Ж), определенная на ошкрышом множестве С С Ж, а хо Е С вЂ” невырожденная хришическая точка этпой фрнхиии, тпо найдетпсл тпахой диффеоморфиэм д: У -» У некошорой окресшносши начала координат 0 простпранстпва Ж на окресшностпь У тпочхи хв, чтпо длл всех точек р б У У д)(р) = У(хо) — [(д')' + + (Р")'~ + [(."+')' + " + У")'~ ° Линейными заменами вопрос сводится к случаю, когда хо — — 0 и У(хо) = = О, что мы в дальнейшем и будем считать выполненным.
Поскольку хо — — 0 — критическая точка функции ~, то в формуле (19) д,(0) = О (т'=1, ..., т). Тогдапо той желемме Адамара ГЛ. ег'Ш. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 504 поэтому она тоже невырожденная. Следовательно, по крайней мере одно из чисел Н,"(0) (1,,г = г, ..., тп) отлично от нуля. Линейной заменой переменных ррд форму ~ и'и1Н;~ (0) можно привести к диагональному виду, поэтому можЧт1 =т но считать, что в равенстве (21) Н„(0):ф О. Ввиду непрерывности функций Н,"(и) неравенство Н„,(и) ф 0 будет выполнено также в некоторой окрестности точки и = О. Положим ер(и',..., и ) = Д~Й,„(и)~.
Тогда фулииив 9 лрлиадлежлт кааесу С~ц(Уг, К) в некоторой окрестности бг С 01 точки и = О. Сделаем теперь переход к координатам (е1, ..., о ) по формулам 1У'=и', 1фт, (22) 1Н,( 1 т1 о" = р(и',...,и ) (и" + 1 ' Н„(и,1,..., и"') Якобиан преобразования (22) в точке и = О, очевидно, равен 4(0), т. е. отличен от нуля. Тогда в силу теоремы об обратной функции можно утверждать, что в некоторой окрестности Уз С Уг точки и = 0 отображение о = ф(и), заданное соотношениями (22), является диффеоморфизмом класса с~1~(Уз, Й ) и потому переменные (о1,..., о ) действительно могут служить координатами точек Уз. Выделим в правой части равенства (21) все члены и"и"Н,„(и~,..., и ) + 2 ~~) и"м~Н„~(и~,..., и ), р'=р+1 (23) содержащие и".
В записи (23) суммы этих членов мы использовали то, что Н1~ = Н;. Сравнивая (22) и (23), видим, что выражение (23) можно переписать в виде Знак * перед о"ю' появляется в связи с тем, что Н„„= ~(ф)г, причем берется знак плюс, если Н„„> О, и знак минус, если Н„„< О. Таким образом, после замены о = ф(и) выражение (21) преобразуется в равенство р (~о~роф )(е) = ~р [~(па) ~ + ~~~ у'у~Н; (ц~,...,ддда), 1=1 1,у>г где Й; — некоторые новые гладкие функции, симметричные по индексам 1', 1. Отображение <р оф 1 является диффеоморфизмом. Таким образом, завершен индуктивный переход от т — 1 к т и лемма Морса доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
