В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 93
Текст из файла (страница 93)
е. что — = а 2 — в любой точке области определения функции. де;-1 дх'г 1 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 4. Формула Тейлора е мультпиикдексных обозкакекилх. Символ а:=. (а1,..., а ), состоящий нз неотрицательных целых чисел а,, л = = 1, ..., т, называется мультииндексом а. Условились в следующих обозначениях: ~О!:= 1а1~ +... + ~а О.:= О1 ° . ° .
С1ти. ' наконец, если а = (а1, ..., а ), то а) Проверьте, что если Й Е И, то (о1 + ... + а, ) = ,~ †;а , И !а~ай где суммирование ведется по всем наборам а = (а1,..., а ) неотрицательных целых чисел, таким, что 1 ~а;~ = Ь. Ь) Пусть д~ ~~ (дх1)а1 (дхт)а ° ( )' Покажите, что если 1 Е С~~1(С; й), то в любой точке х б С имеет место равенство д, л, У(х) Ь*'... Ь'" = ~~) —; 0 ~(х) Ь, гдеЬ=(Ь,...,Ь ). с) Проверьте, что в мультииндексных обозначениях формулу Тейлора, например, с остаточным членом в форме Лагранжа можно записать в виде п-1 1(х+Ь) = Е 1,П"1(х)Ь + Е 1,П Их+ВЬ)Ь .
~а~аи о) Запишите в мультииндексных обозначениях формулу Тейлора с интегральным остаточным членом (теорема 4). 5. а) Пусть 1 = (х = (х1,...,х ) 6 й Йх'~ < с', 1 = 1, ..., т3 — т-мерный промежуток, а 1 — отрезок 1а, б] С й.
Покажите, что если функция 1(х, у) .= = 1(х~,..., х™, у) определена и непрерывна на множестве 1 х 1, то для любого положительного числа е > О найдется число б > 0 такое, что если х Е 1, у1, уз Е 1 и ~у1 — уя~ < Ю, то ~У(х, у1) — 1(х, у2) ~ < е. ГЛ. Ч111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 468 Ь) Покажите, что функция г'(х) = 1(х, р) др а определена и непрерывна на промежутке 1 с) Покажите, что если 1 Е С(1; Ж), то функция .У'(х, Ф) = 1(йх) определена и непрерывна на 1 х 1', где 1' = ($6 Й ~ ~8~ < 1).
й) Докажите следующую леммр Адамара. Если 1 Е С1Ц(1;Ж) и 1(0) = О, то существуют функции д1,..., д Е С(1;К) такие, что 1(х,...,х ) =~~~ хд(х,...,х ) в 1 ,причем д;(0) = —,. (0), 1 = 1,..., т. д~ 6. Докажите следующее обобщение тпеоремы Рояля для функций мноеих перемен- Если функция 1 непрерывна в замкнутом шаре В(0; т), равна нулю на его границе и дифференцируема во внутренних точках шара В(0; т), то по крайней мере одна из внутренних точек этого шара является критической точкой функции. 7.
Проверьте, что функция 1(х,р) = (р — х )(р — Зх~) не имеет экстремума в начале координат, хотя ее ограничение на любую прямую, проходящую через начало координат, имеет строгий локальный минимум в этой точке. 8. Метод наименьших квадратпов. Это один из наиболее распространенных методов обработки результатов наблюдений. Он состоит в следующем. Пусть известно, что физические величины х и р связаны линейным соотношением (26) р = ах+Ь, р~ = ах~+ Ь могут не выполняться для некоторых значений й Е (1, ..., и), каковы бы ни были коэффнпденты а и Ь.
нли пусть на основе экспериментальных данных строится эмпирическая формула указанного вида. Допустим, сделано п наблюдений, в каждом из которых одновременно измерялись значения х и р, и в результате получены пары значений х1, р1,..., х„, р„, Поскольку измерения имеют погрешности, то, даже если между величинами х н р имеется точная связь (26), равенства 469 $4.
ОснОВные теОРемы Задача состоит в том, чтобы по указанным результатам наблюдений определить разумным образом неизвестные коэффициенты а и Ь. Гаусс, исходя из анализа распределения вероятности величины ошибки наблюдения, установил, что наиболее вероятные значения коэффициентов а и Ь при данной совокупности результатов'наблюдений следует искать, исходя из следующего принципа наименьших квадратов: если Ь~ = (ахи + Ь) — уь — невязка Й-го наблюдения, то а и Ь надо выбирать так, чтобы величина т.
е. сумма квадратов невязок, была минимальной. а) Покажите, что принцип наименьших квадратов в случае соотношения (26) приводит к системе линейных уравнений с [хь,х~]а+ [хь,1]Ь = [хь,уь], [1,х ]а+ [1,ЦЬ= [1,у] для определения коэффициентов а и Ь; здесь, следуя Гауссу, положено [хь,хь]:= = хгхг + . - - + хпхп1 [хй> 1]:= хг ' 1 + ° + хл ' 11 [хй~ уй]:= хгуг + ° ° + хаут и т д. Ь) Напишите систему уравнений для чисел аг, ..., а, Ь, к которой приводит принцип наименьших квадратов в том лучае, когда вместо равенства (26) имеется соотношение тл у =,~ а;х'+Ь [или, короче, у = а,х' + Ь) между величинами х', ..., х, у.
с) Как, используя метод наименьших квадратов, искать эмпирические формулы вида у = сх,'... х„", связывающие физические величины хг,..., х с величиной у? с1) (М. Джермен.) У нескольких десятков особей кольчатого червя Мепев й чегв1со1ог была измерена частота В сокращений сердца при различных температурах Т. Частота выражалась в процентах относительно частоты сокращений при 15' С.
Полученные данные приведены в следующей таблице: Зависимость В от Т похожа на экспоненциальную. Считая В = Аевт, найдите значения констант А и Ь, которые бы наилучшим образом соответствовали результатам эксперимента. ! 1г ~6 470 ГЛ. Ч1И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 9. а) Покажите, что в рассмотренной в примере 5 задаче Гюйгенса функция (18) стремится к нулю, если хотя бы одна из переменных т1, ..., тп„стремится к бесконечности. Ь) Покажите, что функция (18) имеет в Ж" точку максимума и потому единственная критическая точка этой функции в Й" должна быть ее точкой максимума. с) Покажите, что величина и, определяемая формулой (19), монотонно возрастает с ростом и, и найдите ее предел при и -+ оо.
10. а) Во время так называемого круглого наружного шлифования инструмент— быстро вращающийся шлифовальный круг (с шероховатой периферией), играющий роль напильника, — приводится в соприкосновение с медленно (в сравнении с ним) поворачивающейся поверхностью круглой детали (рис. 55). Круг К постепенно подается на де- Л таль Д и в результате происходит съем заданного слоя Н металла, доведение ', Б детали до нужного размера и образованне гладкой рабочей поверхности изделия. Эта поверхность в будущем механизме обычно является трущейся, н, чтобы увеличить срок ее службы, металл детали проходит предварительную 4 закалку, повышающую твердость стали.
Однако из-за высокой температуры в зоне контакта шлифовального круга с деталью могут произойти (и часто происходят) структурные изменения в некотором слое Ь металла и падение в этом слое твердости стали. Величина Ь монотонно зависит от скорости 8 подачи круга на деталь, т. е. Ь = у(з). Известно, что существует некоторая критическая скорость 80 > О, при которой еще Ь = О, а при 8 > зо уже Ь > О.
Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение обратную к указанной зависимость Рис, 55 определенную при Ь > О. Здесь ф — известная из эксперимента монотонно возрастающая функция, определеннал при Ь ~~ О,причем ~(0) = 8о > О. Режим шлифования должен быть таким, чтобы на окончательно получаемой поверхности изделия не было структурных изменений металла. Оптимальным по быстродействию при указанных условиях, очевидно, будет такой режим изменения скорости з подачи шлифовального круга, когда 8 = ф(б), где б = б(Ф) — величина еще не снятого к моменту $ слоя металла или, что то же самое, расстояние от периферии круга в момент Ф до окончательной поверхности будущего иэделия. Объясните это.
Ь) Найдите время, необходимое для снятия слоя Н в оптимальном режиме изменения скорости 8 подачи круга. $5. теОРемА О неяВнОЙ Функции с) Найдите зависимость в = в(Ф) скорости подачи круга от времени в оптималь- Ф ном режиме при условии, что функция Ь + в линеина: в = во + ЛЬ. В силу конструктивных особенностей некоторых видов шлифовальных станков изменение скорости в может происходить только дискретно. Тут и возникает задача оптимизации производительности процесса при дополнительном условии, что допускается только фиксированное число и переключений скорости в. Ответы на следующие вопросы дают представление о характере оптимального режима.
д) Какова геометрическая интерпретация найденного вами в Ь) времени $(Н) = Н И вЂ” шлифования в оптимальном непрерывном режиме изменения скорости в? о е) Какова геометрическая интерпретация потери во времени при переходе от оптимального непрерывного режима изменения в к оптимальному по быстродействию ступенчатому режиму изменения в? 1') Покажите, что точки 0 = в„+1 < х„( ... < х1 ( хо = Н промежутка (О, Н), в которых следует производить переключение скорости, должны удовлетворять условиям 1 1 /1~' — ) (х;) (х, — х, 1) (з = 1, ..., и) и, следовательно, на участке от х, до х,+1 скорость подачи круга имеет вид в = = 4 (х,+1) (в = О,..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
