В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 89
Текст из файла (страница 89)
е. 1 уе [. ] Х ХРо ХРо 1 ф [хь+1] = Хо+1 — — ХР'... ХР', (1 = 1,..., п — Й) й) Покажите, что тогда наряду с (ф) должно быть справедливо соотношение 1 уе 1 уе 1 уе Ро Ро у' Р1 Р1 Р»-уе Р» — уе а ... а„= ~(а1х1, ..., аохф, а1 ... аь хо+1, ..., а, ... аь х»). (ффф) положить а1 = х,, ..., аъ = е) Если х1,..., хь независимы, то в (*о*) можно -1 = х~ . Проверьте, что при этом из (*о*) получается равенство 1 .ХЬ 1 . й худ 1 Уе Р» — ус Р» — уе х,» ... х„» являющееся соотношением П= У(1,...,1,П„...,П„) между безразмерными величинами П, П1, ..., П„о. Таким образом, получается следующая П-теорема теории размерности. Есяи в сооткои1екии (ф) веяичины х1,...,хо кеэависимы, то это соотпноитение сводится к фуктоиии (оф*ф) отп п — й беэраэмерных ивраметпров.
1) Проверьте, что если й = и, то на основании П-теоремы функция у из соотношения (ф) может быть найдена с точностью до числового множителя. Найдите таким путем выражение с(ото)ф/д для периода колебаний маятника (т. е. подвешенной на нити длины 1 массы т, качающейся у поверхности Земли; ооо — начальный угол отклонения). д) На»да ~ форму у Р = суут~7Р д сер»ода обре»е еаа масс»», удерживаемого на круговой орбите центральной силой величины Г. Ь) сИЗ ЗаКОНа КЕПЛЕра (Р1 /РЭ) = (Г1/ГО) ~, уСтаНаВЛИВаЮщЕГО В ПРИМЕНЕНИИ К Круговым орбитам связь между отношением периодов обращения планет (спутников) и отношением радиусов их орбит, найдите, вслед за Ньютоном, показатель степени а т1 то.
в законе Р = 1.т всемирного тяготения. тса $4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ~ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественноэначных функций многих переменных 1. Теорема о среднем Теорема 1. Пустпь ~: С -+ й — веи4естпвеннозначная функция, определенная в областпи С с й™. Пустпь отрезок [х,х+ Ь] с концами х, х+ Ь содержитпся в С. Если при этпих условиях функция ~ непрерывна в тпочках отрезка [х,х+ Ь] и дифференцируема в тпочках интервала ]х,х+ Ь[, тпо найдетпся тпакая тпочка ( е ]х, х + Ь[, чтпо имевтп местпо ров енстпво ~ Рассмотрим вспомогательную функцию РЙ) = У(х+~Ь) определенную на отрезке 0 < 1 < 1.
Функция Р удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа: она непрерывна на [0,1], как композиция непрерывных отображений, и дифференцируема в интервале ]О, 1[, как композиция дифференцируемых отображений. Следовательно, найдется точка В Е ]О, Ц такая, что Г(1) — Р(0) = Р'(В) 1. Но г (1) = Дх+ Ь), Г(О) = Дх), г '(В) = ~'(х+ ВЬ) Ь и, значит, выделенное равенство совпадает с утверждением теоремы 1.
~ Приведем теперь координатную форму записи соотношения (1). Если х = (х1,..., х ), Ь = (Ь1,..., Ь™) и ( = (х1+ ВЬ1,..., х™+ ВЬ"'), то равенство (1) означает, что ~(х + Ь) — ~(х) = ~(х'+ Ь',..., х + Ь™) — Дх',, х™) = Ь1 =УМ)Ь= —,',Ы),...,—,'~Ы) Ьпъ = а,У®Ь'+...+а У®Ь™ = ~О,У( '+ВЬ', ...,х™+ВЬ™)Ь'. 1=1 Используя соглашение о суммировании по повторяющемуся сверху и снизу индексу, окончательно можно записать Дх +Ь,...,х™+Ь™) — Дх', ...,х™) = = д,Дх'+ ВЬ',..., х + ВЬ™) Ь', где 0 < В < 1, причем В зависит и от х, и от Ь. 448 ГЛ.У111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Замечание. Теорема 1 называется теоремой о среднем в связи с тем, что существует некоторая «средняя» точка с б ]х, х+Ь[, в которой выполняется равенство (1). Мы уже отмечали при обсуждении теоремы Лагранжа (см. гл.
У, ~ 3, п. 1), что теорема о среднем специфична именно для вещественнозначных функций. Общая теорема о конечном приращении для отображений будет доказана в главе Х (часть П). Из теоремы 1 вытекает полезное Следствие. Если функция Е: С -+ й дифференцируема в областпи С С С Ж~ и в любой тпочке х б б ее дифференциал равен нулю, п«о,Е' постпоянна в области С. ~ Равенство нулю линейного отображения равносильно обращению в нуль всех элементов отвечающей ему матрицы. В нашем случае сЦ(х)Ь = (д1У,...,д У)(х)Ь, поэтому д1,Е'(х) =...
= д,„Е"(х) = 0 в любой точке х Е О. По определению, область есть открытое связное множество. Воспользуемся этим. Покажем сначала, что если х Е с ', то в шаре В(х; т) С С функция Е постоянна. Действительно, если (х + Ь) 1- „В(х; т), то и [х, х + Ь] С В(х; т) С С. Применяя соотношение (1) или (1'), получаем ,Е (х + Ь) — ~(х) = Е" (~) Ь = 0 Ь = О, т. е. Е(х+ Ь) = Е(х) и значения Е в шаре В(х; т) совпадают со значением Е в центре этого шара. Пусть теперь хо, х1 Е с' — произвольные точки области б. В силу связности 0 найдется путь Е ~-+ х(й) Е С такой, что х(О) = хо, х(1) = хд. Мы предполагаем, что непрерывное отображение $ ~-+ х(Е) определено на отрезке 0 < Е < 1.
Пусть В(хд., т) — шар с центром в хо, содержащийся в С. Поскольку х(0) = хо и отображение Е ~+ х(Е) непрерывно, найдется положительное число о такое, что х(Е) Е В(хд, т) С С при 0 < Е < о. Тогда по доказанному (.Е" ох)(Е) = Е'(хо) на промежутке [О, о]. Пусть Е = впр Б, где верхняя грань берется по всем числам о 6 [О, Ц таким, что (1 о х)(Е) = Е(хо) на промежутке [О,о]. В силу непрерывности функции .1(х(Е)) имеем Е(х(Е)) = ~(хо). Но тогда Е = 1. Действительно, в противном случае можно было бы взять некоторый шар В(х(Е) т) С С, в котором Е(х) = =,Е(х(Е)) = Е(хо), затем в силу непрерывности отображения Е ~-+ х(Е) найти Ь ) 0 так, что х(Е) 1= В(х(Е); т) при Е < Е < Е+ Ь.
Тогда (~ 0 х)(Е) = Е(х(Е)) = =,Е(хо) при 0 < $ < Е+Ь и Е ф вцро. Итак, показано, что (Е 0 х)(Е) = Е'(хо) при любом Е Е [О, 1]. В частности, (Е 0х) (1) = Е (х1) = Дхо) и мы проверили, что в любых двух точках хо, х1 Е С значения функции Е: С -+ К совпадают. ~ 3 4.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 449 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных Теорема 2. Пустпь ~: У(х) -+ К вЂ” функция, определенная в окрестпностпи (1(х) с К™ точки х = (х',..., х ). Есяи функция .т имеетп в каждой тпочке окрестпностпи У(х) все частпные проиэводные —, ... „—, тпо иэ их непрерывностпи в точке х сяедуетп дифдт' д.т' дх1' ''" д ференцируемостпь функции ~ в этой тпочке. ° Без ограничения общности будем считать, что У(х) является шаром В(х; т). Тогда вместе с точками х = (х', ..., х ), х+ Ь = (х'+ Ь',..., х + Ь"') области У(х) должны принадлежать также точки (х', хг+ Ьг,..., х'" + Ь'"), ..., (х1, хг,..., х™ 1, х~ + Ь"') и соединяющие их отрезки.
Воспользуемся этим, применяя в следующей выкладке теорему Лагранжа для функций одной переменной: Х(х+ Ь) — 1(х) = ~(х'+ Ь',..., х + Ь ) — У(х',..., х ) = =У( +Ь,..., +Ь™) — У( 1, +Ь,..., +Ь )+ +у(х1 х'+Ьг х'и+Ь~) — у(х1 хг хз+Ьз в+Ь )+ ... + т(х', х,..., х ', х~+ Ь~) — У(х, ..., х™) = д У( 1+ ~1Ь1 г+ Ьг и + Ь~в) Ь1+ +д У( 1 2+~2Ь2 з+Ьз +Ь~~)Ь2+ ...+д дх1,хг,...,х ',х +д Ь )Ь Пока мы воспользовались лишь наличием у функции Х в области У(х) частных производных по каждой из переменных.
Теперь воспользуемся их непрерывностью в точке х. Продолжая предыдущую выкладку, получаем, что У(х+ Ь) - У(х) = д1У(х1, ..., х"") Ь1+ О1Ь1+ + д У(х1 хпъ)Ьг+ агьг+ .. + д У(х',..., х ) Ь™+ а Ь где величины а1, ..., о„, в силу непрерывности частных производных в точке х стремятся к нулю при Ь -+ О.
Но это означает, что ~(х+ Ь) — Дх) = Х(х)Ь+ о(Ь) при Ь -+ О, где Х (х) Ь = д1 Дх1,..., х ) Ь'+... + д ~(х1,..., х ) Ь™. ~ Из теоремы 2 следует, что если частные производные функции ~: С -т К непрерывны в области С с К, то функция дифференцируема в любой точке этой области. 450 ГЛ. УШ. ДИ4>4>ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Условимся в дальнейшем через С<ц(т; К) или, проще, через С~'>(С) обозначать множество функций, имеющих в области С непрерывные частные производные.
3. 'Частные производные высшего порядка. Если функция ~: б -~ -+ К, определенная в некоторой области 0 С К, имеет частную производную дУ вЂ”,(х) по однои из переменных х', ..., х™, то эта частная производная вновь является некоторой функцией д;~: С -+ К, которая в свою очередь может иметь частную производную д~(д;~)(х) по некоторой переменной хт.
Функция д (д;~): С -+ К называется второй производной от фуксии ~ по переменным х', хт и обозначается одним из символов дгУ д,;~(х),, (х). Порядок индексов указывает, в каком порядке производится дифференцирование по соответствующим переменным. Мы определили частные производные второго порядка. Если определена частная производная порядка Й, то по индукции определяем частную производную порядка Й + 1 соотношением д,,,...,-„У(х):= д,(д,,,...,„~)(х).
Здесь возникает специфический для случая функций многих переменных вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирований на вычисляемую частную производную. Теорема 3. Если функиил ~: С -+ К имеет в о6ласти 0 чвстпныв производные д2У д2У дх'дхт' ' дхт'дх' тпо в любой точтсе х е С, в которой обе этпи производные непрерывны, их значения совпадаютп. ~ Пусть х Е 0 — точка, в которой обе функции д;~~: С -+ К, д~;~: С -+ К непрерывны. Дальнейшие рассмотрения будем проводить в некотором шаре В(х; г) С С, т > О, являющемся выпуклой окрестностью точки х. Мы хотим проверить, что д2У д2У Поскольку во всех дальнейших выкладках меняться будут только переменные х' и х~, то мы для сокращения записи предположим, что ~ есть функция 451 $4.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ двух переменных У(х', х2), и нам надо проверить, что д2У д2 дх1дх2( ' ) дх2дх1( если в точке (х', х2) Е Й2 обе указанные функции непрерывны. Рассмотрим вспомогательную функцию Р(61, Ь') = У(х'+ Ь', х'+ Ь') — У(х1+ Ь', х') — У(х1, х'+ 62) + У(х1, х') где смещение Ь = (Ь', 62) предполагается достаточно малым, а именно таким, что х + Ь е В(х; т). Если г (61, 62) рассмотреть как разность где ~р(~) = У(х'+ ФЬ1, х2+ 62) — У(х1+ Ф61, х2), то по теореме Лагранжа найдем, что Р(61, Ь') = гр'(У~) = (д~У(х1+ д~61, х'+ Ь') — д~У(~1+ 0~61, х2)) 61.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
