В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 88
Текст из файла (страница 88)
е) Какой алгоритм, пригодный для ЭВМ, вы могли бы предложить для отыскания минимума функции ~(х, у) = х + 4у~? 3. Говорят,что в области С пространства К™ задано векторное иоле, если ка; ждой точке х Е С сопоставлен'некоторый вектор ч(х) Е ТК™. Векторное поле ч(х) в С называется потенциальным, если в области С есть числовая функция У: 0 — ~ К такая, что ч(х) = 8гайУ(х). Функцию У(х) называют потпецциалом поля ч(х), (В физике потенциалом обычно называют функцию — с1(х), а функцию 1'(х) на зывают сцлоеой фуюсццеб, если речь идет о поле сил.) а) Изобразите на плоскости с декартовыми координатами (х, у) поле 8тай У(х, у) для каждой из функций 11(х, у) = х +у2; ~2(х, у) = — (х +у ); 1з(х, у) = агсФ8 (х/у) в области у > 0; Ях, у) = ху.
Ь) Согласно закону Ньютона частица массы т, находящаяся в точке 0 Е Кз, притягивает частицу массы 1, находящуюся в точке х Е К~ (х Ф 0), с силой Р = -з — + = — т~г~ г, где г — вектор Ох (размерную постоянную С мы опустили). Покажите, что векторное поле л'(х) в Кз '1 0 потенциально. с) Проверьте, что массы т,, (1 = 1, ..., и), помещенные в точках (~;,111,~;) (1 = = 1,...,п) соответственно, создают вне этих точек ньютоновское поле сил, потенциалом которого служит функция й) Укажите потенциал кулоновского электростатического поля напряженности, создаваемого точечными зарядами д, (1 = 1,..., и), помещенными в точках (5, ц;, 1,1) (г = 1,..., и) соответственно.
4. Рассмотрим движение идеальной несжимаемой жидкости в пространстве, свободном от внешних (в том числе н гравитационных) снл. Пусть ч = ч(х,у,е,1), а = а(х,у,я,Ф), р = р(х,у,е,$), р = р(х,у,е,Ф) суть соответственно скорость, ускорение, плотность и давление в точке (х, у, я) среды в момейт времени Ф. Идеальность жидкости означает, что давление в любой ее точке не зависит от направления. а) Выделите из жидкости объем в виде небольшого параллелепипеда, одно из ребер которого параллельно вектору 8тайр(х,у,е,Ф) (где 8гас1р берется по пространственным координатам). Оцените действующую на объем за счет перепада давления $3.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ силу и дайте приближенную формулу для ускорения этого объема, считая жидкость несжимаемой. Ь) Проверьте, согласуется ли полученный вами в а) результат с уравнением Эйлера ра = — атас(р. с) Линия, в любой точке которой касательная имеет направление вектора'скорости в этой точке, называется линией тока. Движение называется установившимся, если функции ~г, а, р, р не зависят от Ф. Используя Ь), покажите, что вдоль линий тока в установившемся потоке несжимаемой жидкости величина — 8иЙ + р/р 2 постоянна (закон Бернулли ц). й) Как изменятся формулы в а) и Ь), если движение будет происходить в поле тяжести вблизи поверхности Земли' ? Покажите, что в этом случае ра = — р'ай(де+ р) и потому вдоль каждой линии тока установившегося движения несжимаемой жидкости на сей раз постоянна величина -~~ч~~~ + дл + р/р, где д — ускорение силы тяжести, а л — высота точки линии тока, отсчитываемая от некоторого нулевого уровня.
е) Объясните на основании предыдущих результатов, почему несущее крыло имеет характерный выпуклый вверх профиль. 1) В цилиндрический стакан с круглым дном радиуса В налита до уровня Ь несжимаемая идеальная жидкость плотности р. После этого стакан стали вращать вокруг его оси с угловой скоростью ы. Используя несжимаемость жидкости, найдите уравнение л = /(х, у) ее поверхности в установившемся режиме (см. также задачу 3 из гл. Ч, 8 1).
я) По найденному в 1') уравнению л = /(х,у) поверхности напишите формулу р = р(х, у, л) для давления в любой точке (х, у, л) объема, заполненного вращающейся жидкостью. Проверьте, выполнено ли для найденной вами формулы полученное в с1) уравнение ра = — я7ас1(дл + р). Ь) Не могли бы вы теперь объяснить, почему чаинки тонут (хотя и не слишком быстро!), а при вращении чая собираются не у стенок стакана, а в центре дна? 5.
Оценка поерешностпей вычисления значений фунниии, а) Используя определение дифференцнруемой функции и приближенное равенство Ь/(х; Ь) и <Щх)Ь, покажите, что относительная погрешность б = б(/(х);Ь) в значении произведения Дх) = х ... х т отличных от нуля сомножителей, вызванная погрешностями в задании самих сомножителей, может быть найдена в виде юга б ~ ~б,, где б; — относительная погрешность задания ~-го сомножителя. 1=1 Ъ) Используя то, что 41п/(х) = — ~Щх), еще раз получите результат преды- 1 У(х) дущей задачи и покажите, что вообще относительную погрешность дроби У1 1п (х1,...,х, ) д1 ..
дь ОД. Бернулли (1700 — 1782) — швейцарский ученый, один из наиболее выдающихся физиков и математиков своего времени. ГЛ. ~1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ можно найти как сумму относительных погрешностей значений функций у1, ..., у„, 911 ° ° ° ~ Уь 6. Однородные функции и тпождестпво Эйлера. Функция у: С -+ К, определенная в некоторой области С С К™, называется однородной (пояожитпельно однородной) стпепени и, если для любых х Е К™ и Л Е К таких, что х Е С и Лх Е С, имеет место равенство у (Лх) = Л" у(х) ®Лх) = ~Л~" ~(х)). Функция называется локально однородной степени и в области С, если она явля- ется однородной функцией указанной степени в некоторой окрестности любой точки области С. а) Докажите, что в въшуклой области всякая локально однородная функция явля- ется однородной.
Ь) Пусть область С есть плоскость Кг без луч» г", = ((х, у) Е Кг ~ х = 2 Л у > О). Проверьте, что функция у~/х, есин х>2Лу>0, у(х,у) = у~ в остальных точках области, локально однородна в С, но не является однородной функцией в этой области. с) Укажите степень однородности или положительной однородности следующих функций, рассматриваемых в их естественной области определения: у1(х,...,х™) =х х +х х +...+х х™; г з 4 х х +х х 1г З4 х'хгхг+ хгхгх4 ' Уз(х~,..., х™) = !х ...
х о) Продифференцнровав равенство ДФх) = $" у(х) по 1, покажите, что если дифференцируемая функция )" С вЂ” т К локально однородна степени п в области С С К то она удовлетворяет в С следующему тпождестпву Эйлера дяя однородных функций: х — (х,...,х )+...+х — (х,...,х ) =п~(х,...,х ). , д~,,„,„дУ дх' ' '''' ''' дх'" е) Покажите, что если для дифференцируемой в области С функции у: С + -+ К выполнено тождество Эйлера, то эта функция локально однородна степени п в области С. Указание.
Проверьте, что функция у(Ф) = Ф "у(Фх) при любом х Е С определена и постоянна в некоторой окрестности единицы. 7. Однородные функции и метпод размерностпи. 1' Размерностпь физической величины и особенностпи функциональных связей между физическими величинами. Физические заковы устанавливают взаимосвязи физических величин, поэтому если для некоторых из этих величин принять какие-то единицы измерения, то единицы измерения связанных с ними других величин будут определенным образом выра; жаться через единицы измерения фиксированных величин.
Так возникают основные и производные единицы той или иной системы единиц измерения. В системе СИ (ЯувСЬше 1пйегпа6опа1) за основные механические единицы измерения приняты единицы длины — метр (м), массы — килограмм (кг) и времени— секунда (с). 445 $3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Выражение производной единицы измерения через основные называется ее размерностью. Это определение ниже будет уточнено. Размерность любой механической величины записывают символически в виде формулы, выражающей ее через предложенные Максвелломц символы г, М, Т размерностей указанных выше основных единиц.
Например, размерности скорости, ускорения и силы имеют соответственно вид [а) = г Т, Щ = Мт Т [ $ 7 ] ~ Т Если физические законы не зависят от выбора единиц измерения, то отражением зтой инвариантности должны быть определенные особенности функциональной зависимости хо = Дх1,...,хь,хь+1, ...,х ) (*) у(а1 х1, агхг, азхз) = (р(ат, аг, аз) У(х1, хг, хз), с некоторой конкретной функцией (р.
Функция (р в равенстве (*я) полностью характеризует зависимость численного значения рассматриваемой физической величины от изменения масштабов основных фиксированных физических величин. Таким образом, зту функцию и следует считать размерностью данной физической величины по отношению к фиксированным основным единицам измерения. Уточним теперь вид функции размерности. а) Пусть х р-+ у(х) — функция одного переменного, удовлетворяющая условию ,1(ах) = (р(а) 1.
(х), где ~у и (р — дифференцируемые функции. Покажите, что (р(а) = а~. Ь) Покажите, что функция размерности (о в равенстве (*ь) всегда имеет вид а, аг аз, где показатели степени А, дг, Из суть некоторые деиствительные числа.
Таким образом, если, например, фиксированы основные единицы я', М, Т, ЦДж. К. Максвелл (1831 — 1879) — выдающийся английский физик; создал математическую теорию электромагнитного поля, известен также исследованиями по кинетической теории газов, оптике и механике. между числовыми характеристиками физических величин. Расс»с р~, »апр ер, еа~сспсесе с = у(е,р) = »еа + Вс е ду д»»е» пестов и длиной гипотенузы прямоугольного треугольника.
Изменение масштаба длин должно одинаково сказаться на всех длинах, поэтому для любых допустимых значений а и Ь должно быть выполнено соотношение у(аа, аЬ) = (((у(аЩа, Ь), причем в патнем случае (р(а) = а. Основная (на первый взгляд очевидная) предпосылка теории размерности состоит в том, что претендующая на физическую значимостпь зависимостпь (я) должна бытпь тпакот1, чтобы при изменении масштабов основных единиц измерения численные значения всех одноименных величин, участпвующих в формуле, менялись в одно и то же число раз. В частности, если х1, хг, хз — основные независимые физические величины и (х1, хг, хз) р-р,т (х1, хг, хз) — зависимость от них некоторой четвертой физической величины, то, в силу сформулированного принципа, при любых допустимых значениях х1, хг, хз должно быть выполнено равенство ГЛ. дт111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ то набор (д1, 14, дэ) показателей в степенном выражении Ь"1 М ' Т"о также можно считать раэмеркостьто данной физической величины.
с) В Ь) было получено, что функция размерности всегда имеет вид степенной зависимости, т. е. является однородной функцией определенной степени по каждой из основных единиц измерения. Что означает, что степень однородности функции размерности некоторой физической величины по отношению к одной из основных единиц измерения равна нулю? 2' П-теорема и метод раэмерностпи. Пусть [х;] = Х; (1 = О, 1, ..., и) — размерности физических величин, участвующих в законе (ф). Предположим, что размерности величин хо, хо+1, ..., х„могут быть выражены через размерности величин х1, ..., ху„т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
