В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 86
Текст из файла (страница 86)
З 3. Основные законы днфференцнрованнл 1. Линейность операции дифференцирования Теорема 1. Если отпображенил 11, Е -+ Ж", 6: Е -+ Ж", определенные на множестпве Е С Ж, дифференцируемы в точке х Е Е, то их линебная комбинацил (Л1 11 + Лр~2): Е -+ Ж" тпакже являетпся дифференцируемым в этпой точке отпображением, причем имеет местпо равенстпво (Л1Л + ЛаЬ) (х) = (Л1Л + Л2У2)(х). Равенство (1) показывает, что операция дифференцирования, т. е.
сопоставление отображению его дифференциала в точке, является линейной операцией на векторном пространстве отображений ~: Е -+ Ж", дифференцируемых в фиксированной точке множества Е. Слева в (1) стоит, по определению, линейное отображение (Л1Л + Л2~г)'(х), а справа стоит линейная комбинация (Л1Д + Л~Д)(х) линейных отображений Л(х): Ж -+ Ж", Д(х): Ж™ -+ Ж", которая, как нам известно из ~ 1, также является линейным отображением. Теорема 1 утверждает, что эти отображения совпадают. (Л1~1 + Л2,6) (х + Ь) — (Л1 ~1 + Л2~2) (х) = = (Л1~1(х+ Ь) + Л2Хг(х+ Ь)) — (Л1~1(х) + Ля~я(х)) = = Л~(~~( + Ь) — ~1(~)) + Л~(~~(~+ Ь) — Я~)) = = Лд(л(х)Ь+ о(Ь)) + Л~(Д(х)Ь+ о(Ь)) = = (Л1~1(х) + Л~Д(х))Ь+ о(Ь). Если рассматриваемые функции вещественнозначны, то над ними выполнимы также операции умножения и (при необращении знаменателя в нуль) деления.
Имеет место Теорема 2. Если функции ~: Е -+ Ж, д: Е ~ Ж, определенные на множестпве Е С Ж, дифференцируемы в точке х Е Е, тпо 433 ~ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФ4>ЕРЕНЦИРОВАНИЯ а) их произведение дифферениируемо в х, причем (~ д)'(х) = д(х)~'(х) + ~(х)д (х); Ь) их отношение дифферениируемо в х, если д(х) ф О, аричем (2) < Р— (х) = ,' (д(х)У (') — У(х)д (х)).
д д2(х) Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством соответствующих пунктов теоремы 1 из ~ 2 гл, У, поэтому мы на нем не останавливаемся. Соотношения (1), (2), (3) можно переписать также и в иных обозначениях дифференциала. А именно: Н(Л1Л + Лр~~)(х) = (Л1Н~1 + Лрд~р)(х), д(Х д)(х) = д(хЖ(х) + У(х)дд(х) д ~ — ) (х) = — (д(х) сЩх) — Ях) Йд(х)) . (.) Посмотрим, что означают эти равенства в координатном представлении отображений, Нам известно, что если отображение ~р: Е -+ К", дифференцируемое во внутренней точке х множества Е С ЗГ', записать в координатном виде у'(х', ...,х'") то его дифференциалу Йр(х): К™ + К" в этой точке будет соответствовать матрица Якоби дю ° д у у(х) = ...
(х) = (д;~о~)(х). д1 у ° ° дну При фиксированных базисах в К™ и К" соответствие между линейными отображениями Ь: К -+ К" и мха-матрицами — взаимно однозначное, поэтому линейное отображение Ь можно отождествить с задающей его матрицей. Для обозначения матрицы Якоби мы все же, как правило, будем использовать символ ~'(х), а не символ <Щх), ибо это больше соответствует тому традиционному разделению понятий производной и дифференциала, которое проводится в одномерном случае, 434 ГЛ. Ч111.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Таким образом, в силу единетвенности дифференциала, во внутренней точке х множества Е получаем следующие координатные формы записи соотношений (1), (2), (3), означающие равенства соответствующих матриц Якоби: (д;(Л,Л'+ Л,а))(х) = = (Л1дЛ +А2дД)(х) (1=1,...,т, 1 = 1,...,и), (1) (д1(~ д))(х) = д(х)дД(х) + Дх)д1д(х) (1 = 1,..., т), (2') с д;( — Д(х) = (д(х)д;Дх) — ~(х)д1д(х)) (1 = 1,..., т).
(3') '~ Л =д() Ъ Из поэлементного равенства указанных матриц, например, следует, что частную производную по переменной х' от произведения вещественнозначных функций 1(х1, ..., х~) и д(х',..., х™) надо брать так: — (х,...,х™) = дУ. д) дх' = д(х', ..., х™) — 1(х , ...,х™) + ~(х', ...,х™) †,.(х', ...,х™). „ж~,, дд Отметим, что как это равенство, так и матричные равенства (1'), (2'), (3') являются очевидными следствиями определения частной производной и обычных правил дифференцирования вещественнозначных функций одного вещественного переменного.
Однако нам известно, что наличия частных производных еще может оказаться недостаточно для дифференцируемости функции многих переменных. Поэтому наряду с важными и вполне очевидными равенствами (1'), (2'), (3') особую роль в теоремах 1 и 2 приобретают утверждения о существовании дифференциала соответствующего отображения. Заметим, наконец, что по индукции из равенства (2) можно получить соотношение 4Л" Б)(х) =(Ь" Б)(х)Я1(х)+" +(Л Б-1)(х)~Б(х) для дифференциала произведения (~1... ~ь) дифференцируемых вещественно- значных функций.
2. Дифференцирование композиции отображений а. Основная теорема Теорема 3. Если отображение ~: Х -+ У множества Х С К'" в множество У С К" дифференцируемо в точке х Е Х, а отображение д: У -+ К" дифференцируемо в точке у = ~(х) Е У, то композиция д о ~: Х -+ К" этих отооражений дифференцируема в точке х, причем дифференциал д(д о 1): ТК™ — ~ ТК~~ ~ композиции равен композиции 11д(у) о сЦ(х) дифференциалов И~(х): ТК -+ ТК,"1 > „, дд(у): ТК", -+ ТК~ь<„~. 435 5 3, ОснОВные ЗАкОны диФФеРенциРОВАния (д о ~) (х + Ь) — (д о ~) (х) = д Ц(х + Ь) ) — д(~(х)) = = у'Щх))(~(х+ Ь) — ~(х)) + о®х+ Ь) — ~(х)) = = д'(у) (~ (х) Ь + о(Ь)) + о(~(х + Ь) — Дх)) = = д'(у)(У'(х)Ь) + д'(у)(о(Ь)) + о(У(х+ Ь) — Дх)) = = (д~(д) .
У'(х)) Ь+ ~(х; Ь), где д'(р) о Г(х) есть линейное отображение (как композиция линейных отображений), а а(х; Ь) = д'(р) (о(Ь)) + оЦ(х + Ь) — ~(х)). Но, как показывают соотношения (17), (18) из ~ 1, д'(р)(о(Ь)) = о(Ь) при Ь -+ О, ~(х + Ь) — Дх) = ~'(х) Ь + о(Ь) = 0(Ь) + о(Ь) = 0(Ь) при Ь -+ О о(~(х+ Ь) — Дх)) = о(0(Ь)) = о(Ь) при Ь -+ О. Следовательно, а(х;Ь) =о(Ь)+о(Ь) =о(Ь) при Ь-э О, и теорема доказана. ° Будучи переписана в координатной форме, теорема 3 означает, что если х — внутренняя точка множества Х и д,У'(х) ... д Р(х) = (д, ~Р)(х), У'(х) = д1У"(х) ... д У"(х) а р = ~(х) — внутренняя точка множества У и д,д'® ...
д.д'Ь) к( ) (д ю)( ) д1д~(д) ... д„д" (у) 15 Зорич В. А. Доказательство этой теоремы почти полностью повторяет доказательство теоремы 2 из ~ 2 гл. Ч. Чтобы обратить внимание на одну новую, появляющуюся теперь деталь, мы все же проведем еще раз это доказательство, не вдаваясь, однако, в уже разобранные технические подробности. ~ Используя дифференцируемость отображений ~ и д в точках х и у = = Дх), а также линейность дифференциала д'(х), можно написать, что ГЛ, Ч111.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ то д1(9~о~)(х) ... д,„(д'о~)(х) (до~)'(х) = = (д,(91о~))(х) = д1 (дь о ~) (х) ... д,„(д" о ~) (х) д19'(р) ... д д'(р) д1У'(х) ... д ~1(х) = Яд'(р). д,.~~(х)). д19"(у) ... д„д (у) д1У"(х) ... д~У"(х) В равенстве (д«(д о ~))(х) = (д~9 Ц(х)) ' д«У~(х)) (4) справа имеется в виду суммирование по индексу 1 в пределах его изменения, т. е. от 1 до и.
В отличие от равенств (1'), (2'), (3'), соотношение (4) нетривиально даже в смысле позлементного равенства участвующих в нем матриц. Рассмотрим некоторые важные частные случаи доказанной теоремы. Ъ. Дифференциал и частные производные сложной вещественнозначной функции. Пусть а = 9(у1,..., р") — вещественнозначная функция вещественных переменных у', ..., у", каждое из которых в свою очередь есть функция р~ = ~~(х',..., х™) (1 = 1, ..., п) переменных Х1, ..., х .
В предположении дифференцируемости функций д и ~1 Ц = 1,..., а) найдем частную д(9 о ~) производную 9 . (х) композиции отображений ~: Х -ф У и д: У' -+ Ж. дх*' По формуле (4), в которой при наших условиях 1 = 1, находим д;(д о 1«)(х) = д-дЦ(х)) дД~(х) (5) или, в более подробной записи, дх д(д о ~) дд ду1 дд др" —.(х) = . (х,..., Х™) = — . —. +... +— дх' дх« ' ' др дх' ду" дх' = д19®х)) . д;~~(х) +... + д„д®х)) . д;У"(х). с.
Производная по вектору и градиент функции в точке. Рассмотрим установившийся поток жидкости или газа в некоторой области О пространства Кз. Термин «установившийся» означает, что скорость потока в каждой точке области С не меняется со временем, хотя в различных точках области С она, разумеется, может быть различной. Пусть, например, ,1 (х) = 1 (х', х2, хз) — давление в потоке в точке х = (х', х2, хз) Е О. Если мы будем перемещаться в потоке по закону х = х(Ф), где 1 — время, то в момент 1 мы будем регистрировать давление (~ о х)(Ф) = ~(х(Ф)). Скорость изменения $3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ давления со временем вдоль нашей траектории, очевидно, есть производная — (1) по времени от функции (~ о х)(Ф). Найдем ее в предположении, что Н(~о х) Ю Дх1, х~, х~) — дифференцируемая в области С функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
