В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 92
Текст из файла (страница 92)
задачу 9 в конце параграфа). Заметим, что из формулы (19) видно, что если т — 1 О, то о -+ 2"+1Ъ'. Таким образом, промежуточные массы действительно заметно увеличивают передаваемую малой массе т часть кинетической энергии массы М. 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных а. График функции и криволинейные координаты. Пусть х, у, 2— декартовы координаты точки пространства Й~, и пусть 2 = ~(х, у) — непрерывная функция, определенная в некоторой области С плоскости Й2 переменных (х, р). ГЛ.
ЧШ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 462 Ь. Касательная плоскость к графику функции. Если функция л = = ~(х, у) дифференцируема в точке (хо, уо) Е С, то это означает, что У(х у) = ~(хо, уо) + .4 (х — хо) + В (у — уо) + ) при (х, у) -+ (хо,уо), (20) где А и  — некоторые постоянные. Рассмотрим в Жз плоскость ~ = ~о + А(х — хо) + В(у — уо), (21) В силу общего определения графика функции, график функции ~: С вЂ” ~ И в нашем случае есть множество Я = ((х, у, ~) е К~ ~ (х, у) е С, л = Дх, у)) в пространстве Кз, Г Отображение С вЂ” + Я, определяемое соотношением (х, у) ~-+ (х, у, ~(х,у)), очевидно, есть непрерывное взаимно однозначное отображение С на Я, в силу которого любую точку множества Я можно задать, указывая соответствующую ей точку области С или, что то же самое, задавая координаты (х, у) этой точки С.
Таким образом, пары чисел (х, у) Е С можно рассматривать как некоторые координаты точек множества Я вЂ” графика функции л = ~(х, у). Поскольку точки Я задаются парами чисел, то Я будем условно называть двумерной поверхностью в Жз (общее определение поверхности будет дано позже). Если задать путь Г: Х -+ С в С, то автоматически возникает путь Е о Г: 1 -+ Я на поверхности Я. Если х = х($), у = у(~) — параметрическое задание пути Г, то путь с' о Г на Я задается тремя функциями: х = х(Ф), у = у(1), я = Дх(1),у($)). В частности, если положить х = хо + $, у = уо, то мы получим кривую х = хо+ 1, у = уо, л = Дхо+ 1,уо) на поверхности 5, вдоль которой координата у = уо точек Я не меняется.
Аналогично можно указать кривую х = хо, у = уо+ 8, ~ = ~(хо, уо+ $) на Я, вдоль которой не меняется первая координата хо точек 5. Эти линии на Я по аналогии с плоским случаем естественно называть координатными линиями на поверхности Я. Однако, в отличие от координатных линий в С с К~, являющихся кусками прямых, координатные линии на Я, вообще говоря, являются кривыми в Кэ.
По этой причине введенные координаты (х, у) точек поверхности Я часто называют криволинейными хоординатпами на Я. Итак, график непрерывной функции ~ = ~(х,у), определенной в области С с К2, есть двумерная поверхность Я в Йз, точки которой можно задавать криволинейными координатами (х, у) Е С. Мы пока не останавливаемся на общем определении поверхности, поскольку сейчас нас интересует только частный случай поверхности — график функции, однако мы предполагаем, что из курса аналитической геометрии читателю хорошо знакомы некоторые важные конкретные поверхности в К~ (плоскость, эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды).
463 ~ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ где юо — — У(хо, уо). Сравнивая равенства (20) и (21), видим, что график нашей функции в окрестности точки (хо,уо,ло) хорошо аппроксимируется плоскостью (21). Точнее, точка (х, у, ~(х, у)) графика функции уклоняется от точки (х, у, ~(х, у)) плоскости (21) на величину, бесконечно малую в сравнении с величиной (х — хо)з + (у — уо)~ смещения ее криволинейных координат (х, у) от координат (хо, уо) точки (хо, уо, ~о). В силу единственности дифференциала функции, плоскость (21), обладающая указанным свойством, единственна и имеет вид — У(хо> Уо) + д (хо>уо)(х хо) + д (хо> Уо)(У Уо). д~ д~ (22) Она называется касательной плоскостью к графику ууункцин г = ~(х,у) е точке (хо, уо, Дхо, уо)).
Итак, дифференцируемость функции л = ~(х, у) в точке (хо, уо) и наличие у графика этой функции касательной плоскости в точке (хо, уо, ~(хо, уо) ) суть равносильные условия. с. Нормальный вектор. Записывая уравнение (22) касательной плоскости в каноническом виде д (хо>уо)(х хо) + д (хо>уо)(У Уо) (~ У(хо>уо)) — О> Ю ~У заключаем, что вектор с у Ооо уо) у— (оо уо) >) д~ д~ (23) является нормальным вектором касательной плоскости.
Его направление считается направлением, нормальным или ортогональным к поверхности Я (графику функции) в точке (хо, уо, Дхо, уо)). В частности, если (хо, уо) — критическая точка функции ~(х, у), то в точке (хо, уо, Дхо, уо)) графика нормальный вектор имеет вид (О, О, — 1) и, следовательно, касательная плоскость к графику функции в такой точке горизонтальна (параллельна плоскости (х,у)). Следующие три рисунка иллюстрируют сказанное.
Рис. 53 ГЛ. р"111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ На рис. 53а, с изображено расположение графика функции по отношению к касательной плоскости в окрестности точки локального экстремума (соответственно, минимума и максимума), а на рис. 536 — в окрестности так называемой седловой критической точки. с1. Касательная плоскость и касательный вектор.
Мы знаем, что если путь Г: 1 -+ кз в кз задается дифференцируемыми функциями х = х(1), у = у(Ф), з = з(й), то вектор (х(0), у(0), й(0)) есть вектор скорости в момент й = О. Это направляющий вектор касательной в точке хе — х(0), уо — — у(0), ло = я(0) к кривой в Жз, являющейся носителем пути Г. Рассмотрим теперь путь Г: 1 -+ Я на графике функции я = ~(х, у), задаваемый в виде х = х(Ф), У = У(Ф), з =,1 (х(Ф), У(Ф)). В этом конкретном случае находим, что )р(0), р(0), и(0)) = (р(О), р(0), †(хо, ро) р(0) >. †(то, ро) р(О)), д~ .
д~ х = хо + О У = Уо + 61> я = У(хо + И Уо + 9~) В самом деле, для него ~(0) = — (хо уо)1+ — (хо уо)9. д,1 д1 дх ' ду х(0) = (, у(0) = т~, Ввиду того, что д (хо>Уо)х(0) + д„(хо>Уо)У(0) — я(0) = 0 д~ . д~ и по условию также (хо Ро)~+ (хо Уо)Ч ~ — О д~ д.1 заключаем, что (х(О), у(О), '(О)) = (6Ч,О. откуда видно, что найденный вектор ортогонален вектору (23), нормальному к графику Я функции в точке (хо, уо, ~(хо> уо)).
Таким образом, мы показали, что если вектор ® и, 1",) касателен в точке (хе, Уе, Дхо, Уо)) к некоторой кривой на поверхности Я, то он ортогонален вектору (23) и (в этом смысле) лежит в плоскости (22), касательной к поверхности Я в указанной точке. Точнее можно было бы сказать, что вся прямая х = хо+ ~Ф> у = уо+ цФ, ~ = Дхо> уо) + ~1 лежит в касательной плоскости (22), Покажем теперь, что верно и обратное утверждение, т. е.
если прямая х = хо+ ~Ф> у = уо+ т~8, л = Дхо, уо) + ~Ф или, что то же самое, вектор ((, и, ~) лежит в плоскости (22), касательной к графику Я функции я = ~(х, у) в точке (хо,уе,~(хо, уо)), то на Я есть путь, для которого вектор ((',ц,(') является вектором скорости в точке (хо уо,1'(хо, уо)). В качестве такового можно взять, например, путь $4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Итак, касательная плоскость к поверхности Я в точке (хо, уо, ~о) образована векторами, касательными в точке (хо, уо,хо) к кривым, проходящим на поверхности Я через указанную точку (рис. 54).
Это уже более геометричное описание касательной плоскости. Во всяком случае, из него видно, что если инвариантно (относительно выбора системы координат) определена касательная к кривой, то касательная плоскость также определена инвариантно. Для наглядности мы рассматривали функции двух переменных, однако все сказанное, очевидно, переносится и на общий случай функции (24) т переменных, где т Е И. Плоскость, касательная к графику такой функции в точке (х~о,..., хо™, ~(х~о,..., хо~)), запишется в виде Рис. 54 тл Р = Лхо >хо™) +,)', д,(*о .
хо )(* хо) вектор Задачи и упражнения 1. Пусть я = Дх, р) — функция класса С~ц(С; К). а) Если — (х, у) = О в С, то можно лн утверждать, что функция ~ не зависит от д~ у в области С? Ь) Прн каком условии на область С ответ на предыдущий вопрос положителен? 2. а) Проверьте, что для функции ~2 2 ху, если х2+у ~ О, х2+ 1,2 О, если х~+у~ = О, Дх,р) = есть нормальный вектор плоскости (25). Сама эта плоскость, как и график функции (24), имеет размерность т, т. е. любая точка задается теперь набором (х1, ..., х"') из т координат.
Таким образом, уравнение (25) задает гиперплоскость в К +'. Дословно повторяя проведенные выше рассуждения, можно проверить, что касательная плоскость (25) состоит из векторов, касательных в точке (х~о,..., хо™', ~(х~о,..., хо~)) к кривым, проходящим через эту точку и лежащим на т;мерной поверхности Я вЂ” графике функции (24). 466 ГЛ. У111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ имеют место следующие соотношения: — (О,О) =1~ -1= — (О,О). дгу дг~ дхду ' дудх д1 д1 Ь) Докажите, что если функция 1(х,у) имеет частные производные — и — в дх ду дг~ некоторой окрестности с1 точки (хо, уо) и если смешанная производная — (нли дхду — ) существует в У и непрерывна в (хо,уо), то смешанная пронзводная— дгу дудх ду дх дгу (соответственно, — ) также существует в этой точке и имеет место равенство ' дхду дгу д'~ дхду ' дудх (хо, уо) = — (хо, уо).
3. Пусть х1,..., х~ — декартовы координаты в К™м. Дифференциальный оператор ФИ дг ь =,~ 1=1 действующий на функции ~ Е С~ (С; К) по правилу Ь~=~~ — (х,...,х ), 1=1 называется оператором Лапласа. Уравнение Ь~ = О относительно функции ~ в области С С й™' называется уравнением Лапласа, а его решения — гармоническими 1руннцилми е обласпги С. а) Покажите, что если х = (х',..., х™) и ЙхО = ~~) (х'), 1=1 то при т > 2 функция Лх) =П4Г ' является гармонической в области Ж™ ~ О, где О = (О, ..., О). Ь) Проверьте, что функция 1 / ~~х~~ 1 определенная при Ф > О и х = (х~,..., х ) Е Й", удовлетворяет уравнению нгенлонроеооностии — =а Ь~, дУ г д$ д~ дг~ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
