В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Ч. ДИ4нй>ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 288 М(Ф+ Ь) —. Ф(8) ~ аМ(1) Ь вЂ” — И($) Ь Р (ибо объем рассматриваемой зоны равен примерно 4ятзиЬ, а объем шара -лт ). Коэффициенты а и,8 зависят только от рассматриваемого радио- 4 з 3 активного вещества. Из соотношения (11) после деления на Ь и перехода к пределу при Ь -+ О получаем Ф'($) = а — — М(~), ~(~) =- ~оехр а —— откуда Из полученнои формулы видно, что при ~а- — ~ > О количество неитронов / Р1 т1 будет экспоненциально во времени расти. Характер этого роста, независимо от начального условия Мо, таков, что за очень короткое время происходит практически полный распад вещества с выделением колоссальной энергии— это и есть взрыв. Если а — — ~ < О, то очень скоро реакция прекращается ввиду того, что фЪ теряется больше нейтронов, чем рождается. Если же выполнено пограничное между рассмотренными случаями условие Ф а — — = О, то устанавливается равновесие между рождением неитронов и их выходом из реакции, в результате чего их количество остается примерно постоянным.
Величина т, при которой а — — = О, называется критическим радиусом а Р масса вещества в шаре такого объема называется критической массой вещества. Возьмем вещество в виде шара радиуса т. Если т не слишком мало, то за малый промежуток времени Ь, отсчитываемый от момента й, с одной стороны, произойдет рождение новых нейтронов в количестве, пропорциональном Ь и Ж(Ф), а с другой — потеря части нейтронов за счет их выхода за пределы шара. Если и — скорость нейтрона, то за время Ь покинуть шар могут только те из них, которые удалены от границы не более чем на расстояние иЬ, да и то если их скорость направлена гримерно по радиусу. Считая, что такие нейтроны составляют неизменную долю от попавших в рассматриваемую зону и что нейтроны в шаре распределены примерно равномерно, можно сказать, что количество теряемых за время Ь нейтронов пропорционально Ф($) и отношению объема указанной приграничной области к объему шара.
Сказанное приводит к равенству 289 $6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ для урана Б"' критический радиус равен примерно 8,5 см, а критическая масса около 50 кг, В котлах, где подогрев пара происходит за счет цепной реакции в радиоактивном веществе, имеется искусственный источник нейтронов, который доставляет в делящуюся массу определенное количество п нейтронов в единицу времени. Таким образом, для атомного реактора уравнение (12) немного видоизменяется: (13) Это уравнение решается тем же приемом, что и уравнение (12), ибо М'(ю) есть кронннодннн от функции 1о ~~а — — ~Ж(С) .~.
о], (а — ~3/т)Ж($) + а сд - Д(т если а — — ф О. Следовательно, решение уравнения (13) имеет вид т при а — — фО, Р т при а — — = О. Р Л~о е~дд — дИ~ ~1 еУсд-Ф~т)~ а — ~3/т ~ ~о+ п~ Из зтого решения видно, что если а — — > О (сверхкритическая масса), то Р т произоидет взрыв.
Если же масса докритическая, т. е. а — — ' < О, то очень Р скоро будем иметь И(~) т Р— — О Таким образом, если поддерживать массу радиоактивного вещества в докритическом состоянии, но близком к критическому, то независимо от мощности дополнительного источника нейтронов, т. е. независимо от величины п, можно получить большие значения Ф(1), а значит, и большую мощность реактора.
Удерживание процесса в прикритической зоне — дело деликатное и осуществляется довольно сложной системой автоматического регулирования, 4. Падение тел в атмосфере. Сейчас нас будет интересовать скорость о(~) тела, падающего на Землю под действием силы тяжести. Если бы не было сопротивления воздуха, то при падении с относительно небольших высот имело бы место соотношение 6(~) =д, (14) вытекающее из второго закона Ньютона та = Е и закона всемирного тяго- тения, в силу которого 'при Ь « В ( — радиус Земли) Мт, Мт Е(8) =С „, =0 —, =дт.
ГЛ- ~- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Движущееся в атмосфере тело испытывает сопротивление, зависящее от скорости движения, в результате чего скорость свободного падения тяжелого тела в атмосфере не растет неограниченно, а устанавливается на некотором уровне, Например, при затяжном прыжке скорость параппотиста в нижних слоях атмосферы устанавливается в пределах 50 — 60 м/с, Для диапазона скоростей от 0 до 80 м/с будем считать силу сопротивления пропорциональной скорости тела, Коэффициент пропорциональности, разумеется, зависит от формы тела, которую в одних случаях стремятся сделать хорошо обтекаемой (бомба), а в других случаях (парашют) имеют прямо противоположную цель. Приравнивая действующие на тело силы, приходим к следующему уравнению, которому должна удовлетворять скорость тела, падающего в атмосфере: тд($) = тд — аи. (15) а Разделив это уравнение на т и обозначив — через ~3, окончательно полуш чаем е(Ф) = -~3е+ д.
(13') Мы пришли к уравнению, которое только обозначениями отличается от уравнения (13). Заметим, что если положить —,Ви(Ф) + д = Д$), то, поскольку ,г'(Ф) = —,Ве'(Ф), из (13') можно получить равносильное уравнение которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (8) или уравне- нием (10). Таким образом, мы вновь пришли к уравнению, решением которого является экспоненциальная функция Д~) — ДО) е-8~ Отсюда следует, что решение уравнения (13') имеет вид а решение основного уравнения (15) имеет вид Ф)= — д+ ~о — ™д е (~ >', (16) где ео — — о(0) — начальная вертикальная скорость тела.
Из (16) видно, что при а > 0 падающее в атмосфере тело выходит на стационарный режим движения, причем е($) а~ ™ д. Таким образом, в отличие от падения в безвоздушном пространстве, скорость падения в атмосфере зависит не только от формы тела, но и от его массы.
При а -+ 0 правая часть равенства (16) стремится к во + дФ, т. е. к решению уравнения (14), получающегося из (15) при а =О. 1 б. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 291 Используя формулу (16), можно составить представление о том, как быстро происходит выход на предельную скорость падения в атмосфере.
Например, если параппот рассчитан на то, что человек средней комплекции приземляется при раскрытом параппоте со скоростью порядка 10 м/с, то, раскрыв параппот после затяжного свободного падения, когда скорость падения составляет примерно 50 м/с, он уже через 3 секунды будет иметь скорость около 12 м/с. Действительно, из приведенных данных и соотношения (16) находим — д т а т 10, — а~ 1, ио = 50 м/с, поэтому соотношение (16) приобретает вид э($) = 10+40е ~.
Поскольку ез ы 20, то при 1 = 3 получим о и 12 м/с. 5. Еще раз о числе е и функции ехрж. На примерах мы убедились (см. также задачи 3, 4 в конце параграфа), что целый ряд явлений природы описывается с математической точки зрения одним и тем же дифференциальным уравнением У'( ) = аУ(*), (17) решение которого /'(ю) однозначно определяется, если указано «начальное условие» ~(0). Тогда Дх) = У(0)е~*. ИГ~~) Ю(~) и «Ь Ю У(х) = У( — ) = Р(~), и вместо уравнения /'(х) = а~(х) имеем теперь аР'(Ф) = аР(Ф), или Р'($) = Р(ю).
Итак, рассмотрим уравнение ~'(х) = ~(х) и обозначим через ехр х то его решение, для которого ~(0) = 1. Число е и функцию е* = ехр х мы в свое время ввели довольно формально, сославшись на то,что это действительно важное число и действительно важная функция. Теперь нам ясно, что даже если бы мы не вводили раньше эту функцию, то ее, несомненно, пришлось бы ввести как решение важного, хотя и очень простого уравнения (17).
Точнее, достаточно было бы ввести функцию, являющуюся решением уравнения (17) при некотором конкретном значении а, например при а = 1, ибо общее уравнение (17) приводится к этому случаю после перехода к новой переменной Ф, связанной с х соотношением т = — (а ф. О). Действительно, тогда 292 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Прикинем, согласуется ли это определение с прежним определением функции ехр х.
Попробуем вычислить значение Дх), исходя из того, что ДО) = 1 и ~ удовлетворяет уравнению (18). Поскольку ~ — дифференцируемая функция, то ~ непрерывна, но тогда в силу (18) непрерывна и функция ~'(х), Более того, из (18) следует, что ~ имеет также вторую производную ~" (х) = ~'(х), и вообще из (18) следует, что ~ — бесконечно дифференцируемая функция. Так как скорость ~'(х) изменения функции Дх) непрерывна, то на малом промежутке Ь изменения аргумента функция ~' меняется мало, поэтому Дхе + Ь) = = ~(хо) + ~'(() Ь т Дхо) + ~'(х()) Ь.
Воспользуемся этой приближенной формулой и пройдем отрезок от О до х с малым шагом Ь = *-, где и (= д (. Если хо — — О, хд,.( д —— хд, + Ь, то мы будем иметь У(х,+,) = У(х,) + У'(х,)Ь. Учитывая (18) и условие ~(О) = 1, имеем ~(х) = ~(х„) т Дх„д) + ~'(х„д) Ь = ~(х„д)(1+ Ь) ~ (~(худ-2) + ~ (хур 2)Ь)(1 + Ь) = Дхп-2)(1 + Ь) ... = Их.)( +Ь)" = ПО)(1+Ь)" = + '- Представляется естественным (и это можно доказать), что чем мельче шаг Ь = —, тем точнее приближенная формула Дх) ы ~1+ -д . х / х 'дур уб' уд у' Таким образом, мы приходим к тому, что Дх) = 1пп ( 1+ — ) ур-роо ~ уд ~И В чветиоети, если величииу у(1) = бт (1+ -) обовивчить череа е и показать,что е ~ 1,то получаем,что у(и) = )ет (1Е- — = 1!т (1ОЕ)*~ =)!т[(1+Е) ~ ] = в*, (1р) ибо мы знаем, что и -+ д)б", если и -+ д). Метод численного решения дифференциального уравнения (18), позволивший нам получить формулу (19), был предложен еще Эйлером и называется методом ломшых Эйлера.
Такое название связано с тем, что проведенные выкладки геометрически означают замену решения Дх), точнее, его графика, некоторой аппроксимирующей график ломаной, звенья которой на соответствующих участках ~х~,хд.+д~ (й = О, ..., и — 1) задаются уравнениями д = ~(хд,) + ~'(хд,)(х — хд,) (рис. 46). 29З $ 6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Нам встречалось также определение функции ехрх как суммы степенного ряда ~', —,х".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
