В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Сравнивая последнее равенство с формулой (22), получаем СОБР= Б(еч+е щ), япр = —.(е'" — е '"). 24 ЦЛ. Эйлер (1707 — 1783) — выдающийся математик н механнк, швенцарец по пронсхожденню, большую часть жизни проживший в Петербурге. По выражению Лапласа, »Эйлер— общнй учитель всех математиков второй половины Х'ЛП века». 268 Гл. у.
диФФеРенциАльнОе исчисление Поскольку у — любое комплексное число, то эти равенства лучше переписать в обозначениях, не вызывающих недоразумений: созг = — (е" +е "), ы 2 з1пг = —.(е" — е "). 1 1л -за 2$ (23) Таким образом, если принять, что ехрз задается соотношением (19), то формулы (23) (равносильные разложениям (20), (21)), как и формулы сп г = - (е' + е '), зпг = -(е' — е '), (24) можно принять в качестве определений соответствующих круговых и гиперболических функций. Забыв все наводящие и подчас не вполне строго обоснованные соображения, относившиеся к тригонометрическим функциям (которые, однако, привели нас к формуле Эйлера), можно было бы теперь проделать типичный математический трюк, приняв формулы (23), (24) за определения и получить из них уже совсем формально свойства круговых и гиперболических функций. Например, основные тождества соз~г+яп г =1, сп~ г — за~ а = 1, как и свойства четности, проверяются непосредственно. Более глубокие свойства, как, например, формулы для косинуса или синуса суммы, вытекают из характеристического свойства показательной функции: ехр(г1 + гг) = ехр(г1) ехр(гг) (25) е'~" +" ~ = соз (л1 + ~г) + ю яп (г1 + ~г) (26) С другой стороны, по свойству показательной функции и формуле Эйлера е'~"~"~ = е"'е'" = (созе+ вяни)(созгг+ гзшгг) = = (соз г1 соз гг — зш г1 зш гг) + г (яп г1 соз гг + соз з1 яп гг).
(27) Если бы г1 и ~г были действительными числами, то, приравнивая действительные и мнимые части чисел из формул (26) и (27), мы уже получили бы искомые формулы. Поскольку мы собираемся доказать их для любых г1, аг Е С, которое, очевидно, следует из определения (19) и формулы (18). Выведем формулы для косинуса и синуса суммы. С одной стороны, по формуле Эйлера $ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ 4>УНКЦИИ то, пользуясь четностью со82 и нечетностью 81п 2, запишем еще одно равен- ство: е '("+") = (со821 со822 — ашг1 8ш22) — г(8ш21 со822+ со821 81пя2).
(28) Сравнивал (27) и (28), находим СО8 (21 + 22) = — ~Е1(»'+»') + Е '(»'+*')) = СО8 21 СО822 — 81П 21 8Ш 1»; 2 81П(21 + 22) = —.~ЕС(~1~~') — Е 4(~'~~')) = 81П21 СО822+ СО821 81П82. 1»+» -1» 2$ Совершенно аналогично можно было бы получить соответствующие формулы для гиперболических функций сЬ 2 и 8Ь 2, которые, кстати, как видно из формул (23), (24), связаны с функциями соя 2, 8ш 2 простыми соотношениями СЬ 2 = СО812, 8Ь2 = — 18Ш12. со8(ж+ 2гг) = со8ж, 81п(х+ 2л) = 8шж, со80 = 1, 81пО = О, то из формулы Эйлера (22) получаем соотношение е'»+1= О, (29) в котором представлены важнейшие постоянные различных областей математики (1 — арифметика, 1г — геометрия, е — анализ, 1 — алгебра). Из (25) и (29), как и из формулы (22), видно, что ехр(2+121г) = ехр2, т. е. экспонента оказывается периодической функцией на С с чисто мнимым периодом Т = г2я.
Однако получить такие геометрические очевидности, как 81пл' = О или соя(2+ 27г) = соя а, из определений (23), (24) уже очень трудно. Значит, стремясь к точности, не следует забывать те задачи, где соответствующие функции естественным образом возникают. По этой причине мы не станем здесь преодолевать возможные затруднения в описании свойств тригонометрических функций, связанные с определениями (23), (24), а еще раз вернемся к этим функциям после теории интеграла. Наша цель сейчас состояла только в том, чтобы продемонстрировать замечательное единство, казалось бы, совершенно различных функций, которое невозможно было обнаружить без выхода в область комплексных чисел. Если считать известным, что для ж Е К 270 ГЛ.У.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учитывая формулу Эйлера, тригонометрическую запись (7) комплексного числа теперь можно представить в виде где г — модуль числа л, а <р — его аргумент. Формула Муавра теперь становится совсем простой: (30) 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность. Функция ш = Дл) комплексного переменного я с комплексными значениями и~, определенная на некотором множестве Е С С, есть отображение ~: Е + С.
График такой функции есть подмножество в С х С = К~ х К~ = К4 и поэтому традиционной наглядности не имеет. Чтобы как-то компенсировать эту потерю, обычно берут два экземпляра комплексной плоскости С и в одном отмечают точки области определения, а в другом — точки области значений. В рассмотренных ниже примерах указаны область Е и ее образ при соответствующем отображении. Пример 9. Рис.
37 Пример 10. Рис. 38 271 $5 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Пример 11. Рис. 39 Это следует из того, что ~ = е'"~~, л = ге'"' и Ы = ге'~"+ ~~~, т, е. произошел поворот на угол —. 2' Пример 12. Рис. 40 Ибо если ~ = ге'~, то ~2 = ~~е~2~. Пример 13. Рис. 41 гтг ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 14. Рис.
42 Из примеров 12, 13 понятно, что в данном случае образом единичного круга снова будет единичный круг, но только накрытый в два слоя. Пример 15. М = 3) Рис. 43 Если ю = ге'~', то в силу (30) ~" = г" е'"~', поэтому в нашем случае образом круга радиуса г будет круг радиуса т" и каждая точка последнего является образом п точек исходного круга (расположенных, кстати, в вершинах правильного п-угольника).
Исключение в этом смысле составляет только точка ю = О, прообраз которой есть точка л = О. Однако при л -+ 0 функция л" есть бесконечно малая порядка п, поэтому говорят, что при г = 0 функция имеет нуль порядка и. С учетом такой кратности нуля можно теперь говорить,что число прообразов любой точки ю при отображении ~ ~-~ л" = и равно и. В частности, уравнение ю" = 0 имеет и совпадающих корней л1 — — ...
— — л„= О. В соответствии с общим определением непрерывности, функция Д~) комплексного переменного называется непрерывной в точке зо Е С, если для любой окрестности Ъ'(~(юо)) ее значения Дго) найдется окрестность У(ло) такая, что при любом л Е У(~о) будет Дю) Е Г(~(~о)).
Короче говоря, 11ш У(~) = ~(ло). Производной функции ~(л) в точке ~о, как и для вещественного случая, назовем величину У(~) — У(~о) если этот предел существует. (31) 273 1 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Равенство (31) эквивалентно равенству У(г) — У(2О) = У'(го)(г — го) + о(г — ~О) (32) при г -+ го, соответствующему определению дифференцируемостпи функции в точке гоПоскольку определение дифференцируемости в комплексном случае совпадает с соответствующим определением для вещественных функций, а арифметические свойства поля С и поля 1т.
одинаковы, то можно сказать, что все общие правила дифференцирования справедливы и в комплексном случае. Пример 16. (У+ у)'( ) = У'( ) + у'( ), (У у)'( ) = У'( ) у( ) + У( )у'( ), (и о У)'(2) = у'(У(2)) . У'(~), поэтому если У(г) = г2, то У'(г) = 1 л+ г 1 = 2л, или если У(2) = 2", то У((г) — п~~~ 1 а если Р„( )=со+ ( — )+...+ „( — ж~)", то Рю(г) = с1+ 2с2(2 ЕО) + ° ° ° + пса(з зО) Теорема 1. Сумма У(г) = 2 с„(2-2О)" стпепенного ряда — бесконечно о=о дифференцируемая функция во всем круге сходимостпи ряда.
При этпом 1~У У®(~) =,т, — „(с~(г — гО)"), й = О> 1, ~Ь п.=о < Выражения для коэффициентов с„очевидным образом получаются из выражений для У®(~) при Й = и и ~ = го. В свою очередь, формулы для У®(г) достаточно проверить только при Й = 1, ибо тогда У'(г) снова окажется суммой степенного ряда. итак, проверим, что функция у(г) = ~~~ пс„(г — го)" ' действительно и=1 является производной для У(г).
Прежде всего заметим, что в силу формулы Коши — Адамара (17) радиус сходимости последнего ряда совпадает с радиусом сходимости В исходного степенного ряда для У(г). 274 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ < Е ПС.тп-1 <Е. 3 п=Х+1 ПСп2п 1 п=Ф+1 Таким образом, с точностью до — функция р(2) в любой точке круга ~2~ < т совпадает с Ф-й частичной суммой определяющего ее ряда. Пусть теперь 1, и 2 — произвольные точки этого круга. Преобразование М) — У(г) - à — л" — сп — 2 п=1 ,(~п-1 + ~п-2 + + ~ и-2 + и-1) И ОцЕНКа ~С„(1,п 1+...
+2п 1) ~ < ~С„~оп 1 ПОЗВОЛяЮт, КаК И ВЬППЕ, ЗаКЛЮЧИтЬ, что интересующее нас разностное отношение при Ц < г и ~2~ < т совпадает, с точностью до ~, с Ф-й частичной суммой определяющего его ряда. Значит, при Ц < г и ~2~ < г и Сп — ~~~ НСп2" 1 пж1 пж1 У(0 — У(2) (,) < + 2-. е 3 Если теперь, фиксировав 2, устремить ~ к 2, то, переходя к пределу в конечной сумме, видим, что при 1, достаточно близких к 2 правая часть последнего неравенства, а с нею и левая становятся меньше е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
