В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 54
Текст из файла (страница 54)
35Ь). В заключение рассмотрим еще один П р и м е р 28. Пусть (х, р) — декартовы координаты на плоскости, и пусть движущаяся точка в каждый момент ~ (~ > 0) имеет координаты Ф вЂ” 2Ф' ~2 х= —, ~2 ' Требуется изобразить траекторию движения точки. Нарисуем сначала эскизы графиков каждой из данных координатных функций х = х(8) и у = у(Ф) (рис.
36а, 36Ь). Рис. 36 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Второй из этих графиков несколько интереснее, поэтому поясним его построение, Поведение функции у = р(Ф) при Ф -+ +О, Ф -+ 1 — О, 1 -+ 1+0 и асимптотику у(Ф) = 28+ о(1) при 1 -++со усматриваем непосредственно из вида аналитического выражения для у(1).
Вычислив производную 1 — 58~ + 21~ (1 ~г)г находим ее нули: Ф1 т 0,5 и 1р в 1,5 в области 1 > О. Составив таблицу: находим участки монотонности и локальные экстремумы р(Ф1) т — (п1ах) и 1 3 у(йр) ю 4 (пип). Теперь, глядя одновременно на оба графика х = х(й) и р = у(й), строим эскиз траектории движения точки по плоскости (см. рис.
36с). Этот эскиз можно уточнять. Например, можно выяснить асимптотику траектории. Поскольку 1пп — = — 1 и 11п1 (у(й) + х(Ф)) = 2, то прямая у = — х + 2 И~) ~~1 ж(1) $-+1 является асимптотой для обоих концов траектории, отвечающих стремлению 1 к 1. Ясно также, что прямая ж = 0 есть вертикальная асимптота для участка траектории, отвечающего 8 -+ +со. Найдем далее 1, 1 5~2+2~4 Рх х хФ 1+82 1 — 5м+ 2и Функция , как легко выяснить, монотонно убывает от 1 до — 1 1+а при возрастании и от 0 до 1 и возрастает от — 1 до +со при возрастании и от 1 до +со. Из характера монотонности у,' можно сделать заключение о характере выпуклости траектории на соответствующем участке.
С учетом сказанного теперь можно построить следующий, более точный эскиз траектории движения точки (см. рис. 360). Если бы мы рассматривали траекторию также для Ф ( О, то, как следует из нечетности функций х(й), у(Ф), к уже построенным на плоскости (х, у) линиям добавились бы еще центрально симметричные им кривые. 1 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 255 Подведем некоторые итоги в виде самых общих рекомендаций относительно порядка построения графика заданной аналитически функции. Вот зти рекомендации. 1' Указать область определения функции.
2' Отметить специфические особенности функции, если они очевидны (например, четность, нечетность, периодичность, совпадение с точностью до простейших преобразований координат с графиками уже известных функций). 3' Выяснить асимптотическое поведение функции при подходе к граничным точкам области определения и, в частности, найти асимптоты, если они существуют. 4' Найти промежутки монотонности функции и указать ее локальные экстремумы. 5 Уточнить характер выпуклости графика и указать точки перегиба. б' Отметить характерные точки графика, в частности точки пересечения с осями координа,т, если таковые имеются и доступны вычислению. Задачи и упражнения 1. Пусть х = (х1, ..., х„), а = (а1,..., а„), причем х, > О, а; > О при з = 1, ..., и п и ~ а, = 1. Для любого числа 1 ~6 О рассмотрим среднее порядка 4 чисел х1,, х„ 1=1 с весами а;: и 1/й Ме(х, а) = ~) а, х,' в'=1 ( ~х~з при ~х~ < 1, /~я~(х) если 1<р~(2, ~х~" при ~х~ > 1, и у„(х) = ~х~" на и, если 2 < р.
В частности, при а1 —— ... =- а„= — и Ф = -1, 1, 2 получаем соответственно среднее 1 гармоническое, среднее арифметическое и среднее квадратическое. Покажите, что а) Бш М~(х,а) = х1'... х„", т. е. в пределе можно получить среднее геометри- Ф-+О ческое; Ь) 1цц Мф(х,а) = шах х;; Ф-ь+оо 1~в~в с) 11ш Мс(х,а) = ш1в х<, Ф-+-оо 1я.вь'п 6) Мс(х, а) — неубывающая функция от Ф на й, причем она строго возрастает, если п > 1 и все числа х, отличны от нуля.
2. Покажите, что ~1+ х~" > 1+ рх+ ср~рр(х), где ср — постоянная, зависящая только от р, а 256 ГЛ. «'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3. Проверьте, что соз х < 1 — 1 при О < [х[ < —. х / 2 4. Исследуйте функцию ~(х) и постройте ее график, если а)»(х) =х»»»х)ох ахх(ххХ вЂ” "); )»)»(х) = х»»»х» (- — юп х); /3 ») )(х) = «»х(х»х) (1) Постройте кривую, заданную в полярных координатах уравнением (р = р2+ р > О, и укажите ее асимптоту.
е) Укажите, как, зная график функции 1( = Дх), получить графики функций ,1'(х)+В; АДХ); У(х+Ь); Х(ах) и, в частности, — У(х) и У( — х). 5. Покажите, что если ~ б С(]а, Ь[) и для любых точек х1, хз Е ]а, Ь[ выполнено неравенство (х, ~-*,) ~(х,) ~-Ях») 2 то функция у выпуклая на ]а, Ь[. 6. Покажите, что: а) Если выпуклая функция 7": Й ~ Й ограничена, то она постоянна. Ь) Если для выпуклой функции у: Й -+ Й 11ш — = Бш — = О, ~(х) .
у(х) х-+ оо Х х-++оо Х то ~ — постоянная. с) Для любой выпуклой функции у, определенной на промежутке а < х < +со (или — оо < х < а), отношение — стремится к конечному пределу или к бесконечДх) ности при стремлении х к бесконечности по области определения функции.
7. Покажите, что если у: ]а, Ь[ -+ й — выпуклая функция, то а) в любой точке х (6 ]а, Ь[ она имеет левую ~' и правую у+ производные: ~(х+ Ь) — у(х) л-+-О Ь Дх+ Ь) — у(х) + л- +() Ь причем ~' (х) < ~+(х); Ь) при х1, хз (= ]а, Ь[ и х1 < хз имеет место неравенство у+(х1) < У' (хг); с) множество угловых точек*графика у(х) (для которых ~' (х) ф у+(х)) не более чем счетно.
8. Преобразованием Лежандра Ц функции У: Х -+ К, определенной в промежутке 1 С К, называется функция ~'($) = нпр($х — у(х)). Ц А. М. Лежандр (1732 — 1833) — известный французский математик. ~4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 257 Покажите,что: а) Множество Г тех значений $ б К, для которых 1'($) Е К (т. е.
1 (Ф) 16 оо), либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является числовым промежутком, причем в последнем случае функция 1" ($) выпукла на Г. Ь) Если 1 — выпуклая функция, то 1' ф И и при 1' Е С(1 ) (1') (х) = апр(хФ вЂ” 1*(1)) = 1(х) Фе1* для любого х Е 1. Таким образом, преобразование Лежандра выпуклой функции инволютивно (квадрат его есть тождественное преобразование).
с) Имеет место неравенство хФ < 1(х)+У*(Ф) при х Е 1 и Ф Е 1'. с1) В случае, когда 1 — выпуклая дифференцируемая функция, 1'($) = 1х~ — 1(хс), где х~ определяется из уравнения $ = 1'(х); получите отсюда геометрическую интерпретацию преобразования Лежандра 1 и его аргумента $, показывающую, что преобразование Лежандра есть функция, определенная на множестве касательных к графику функции 1. е) Преобразованием Лежандра функции 1(х) = — х при а > 1 и х > О является 1 функция 1 (1) = — $, где $ > О и — + — = 1; получите отсюда, с учетом с), уже 1 в знакомое неравенство Юнга х$< — х +-х . 1а 1я а ~3 1) Преобразованием Лежандра функции 1(х) = е является функция 1'($) 81п †, 1 > О, и справедливо неравенство х1( е + 11пв е прихЕК и $>О.
9. Кривизна, радиус и иентпр кривизны кривой в точке. Пусть некоторая точка движется в плоскости по закону, задаваемому парой дважды дифференцируемых координатных функций х = х(1), у = у(1) от времени. При этом она описывает некоторую кривую, про которую говорят, что кривая задана в параметрическом виде х = х(1), у = у(1). Частным случаем такого задания является случай графика функции у = 1(х), где можно считать, что х = 8 и у = 1(1). Мы хотим указать число, характеризующее кривизну кривой в некоторой точке, подобно тому как величина, обратная радиусу окружности, может служить показателем искривленности окружности. Этим сравнением мы и воспользуемся.
а) Найдите тангенциальную а~ и нормальную а„составляющие вектора а = = (х(1), у($)) ускорения точки, т. е. представьте а в виде суммы а~ + а„, где вектор а~ коллинеарен вектору ч($) = (х($),у(Ф)) скорости, т. е. направлен по касательной к траектории, а вектор а„направлен по нормали к траектории. Ь) Покажите, что при движении по окружности радиуса т имеет место соотношение ~ч(1) ~ т= —.
3а (1)!' ГЛ. ~/. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ с) При движении по любой кривой, учктывая Ъ), величину г(Ф) =— ~ч(Ф)~ ~а„(Ф)~ естественно назвать радиусом кривизны кривой в точке (х(Ф), у(й)). Покажите, что радиус кривизны вычисляется по формуле (,2 + з1з/з г(Ф) = ~ху — ху~ 6) Величину, обратную радиусу кривизны, называют абсолеязноб кривизноб плоской кривой в данной точке (х(Ф),у($)). Наряду с абсолютной кривизной рассматривается величина /®= (х2 + у2) 3/2 ' называемая крив изноб. Покажите, что знак кривизны характеризует каправлекие поворота кривой по отношеккю к касательной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
