В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 50
Текст из файла (страница 50)
~ Левый столбец следствий нам уже знаком по обсуждению теоремы Лагранжа, в силу которой Дхр) — ). (х1) = ~'(~)(х2 — х1), где х1, х2 б ~)а, Ь'1 и (— точка между х1 и х2. Из этой формулы видно, что при х1 < хз положительность разности ) (хз) — Дх1) совпадает с положительностью ~'((). 232 ГЛ.У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Правый столбец следствий получается непосредственно из определения производной.
Покажем, например, что если дифференцируемая на ]а, Ь[ функция ~ возрастает, то ~'(х) > 0 на ]а, Ь[. Действительно, .,( ) „. Х(х+ Ь) — У(х) Л-+О Ь Если Ь > О, то Дх+ Ь) — ~(х) > О, а если Ь < О, то ~(х+ Ь) — Дх) < 0; поэтому дробь под знаком предела положительна. Следовательно, ее предел ~'(х) неотрицателен, что и утверждалось. Ь Замечание 1. На примере функции ~(х) = хз видно, что возрастание дифференцируемой функции влечет только неотрицательность производной, а не ее положительность. В нашем примере ~'(О) = Зх~) — о — — О. Замечание 2. В символе А =: В, как мы уже в свое время отмечали, А — условие, достаточное для В, а  — условие, необходимое для того, чтобы было выполнено А. Значит, из утверждения 1, в частности, можно сделать следующие выводы: функция постпоянна на интпервале тпоада и только тпоада, когда ее производная тпождестпвенно ровна нулю на этпом интпервале; для тпоао чшобы дифференцируемая но интпервале функция убывала на нем, достпатпочно, чтпобы ее производная была отрицательна в любой точке этого интнервало; для тпоао чшобы дифференцируемая на интперволе функция убывала на нем, необходимо, чтпобы ее производная быьа неположитпельна на этпом интервале.
Пример 1. Пусть Дх) = хэ — Зх+2най. Тогда~'(х) = Зх2-3 = 3(х2-1) и, поскольку ~'(х) < 0 при ~х~ < 1 и ~'(х) > 0 при ~х~ > 1, можем сказать, что на интервале ] — оо, -1[ функция возрастает, на интервале ]-1, 1[ убывает, а на интервале ]1, +со[ вновь возрастает. 2. Злословия внутреннего экстремума функции. Учитывая лемму Ферма (лемма 1, ~ 3), можно сформулировать следующее Утверждение 2 (необходимые условия внутреннего экстремума). Для того чтобы тпочка хо была тпочкой экстпремума функции т: У(хо) + К, определенной в окрестпностпи У(хо) этпой точки, необходимо выполнение одноао из двух условий: либо функция не дифференцируема в хо, либо ~'(хо) = О. Простые примеры показывают, что эти необходимые условия экстремума не являются достаточными.
Пример 2. Пусть ~(х) = х~ на К. Тогда Г(О) = О, но в точке хо — — 0 экстремума нет. Пример 3. Пусть х при х>О, [ 2х при х <О. $4. исследОВАние Функций Эта функция с изломом в нуле, очевидно, не имеет в нуле ни производной, ни экстремума, Пример 4. Найдем максимум функции Дх) = х2 на отрезке [-2,Ц. В данном случае очевидно, что он будет достигнут в конце -2 отрезка,но регулярный способ его отыскания таков. Находим ~'(х) = 2х и все точки интервала]-2, 1[, где ~'(х) = О.
В нашем случае это одна точка х = О, Максимум ~(х) должен быть либо среди этих точек, либо в одной из концевых точек, о которых утверждение 2 ничего не говорит. Таким образом, надо сравнить значения Д вЂ” 2) = 4, ~(0) = О, ~(1) = 1, откуда заключаем, что максимальное значение функции Дх) = х2 на отрезке [ — 2, Ц равно 4 и принимается в точке -2, являющейся концом этого отрезка. Используя установленную в пункте 1 связь между знаком производной и характером монотонности функции, приходим к следующим достаточным условиям наличия или отсутствия локального экстремума в точке.
Утверждение 3 (достаточные условия экстремума в терминах первой производной). Пусть ~: У(хо) -+ й — фун~щия, определенная в окрестности 0(хо) точки хо, непрерывная в самой этой точке и ди44еренцируемая в ее О о проколотой окрестности Щхо). Пусть 0 (хо) = (х Е У(хо) ~х < хо) и У+(хо) = (х Е У(хо) ! х > хо). Тогда справедливы следуюи4ие эаключения: а) (Ух ~ У (хо) У'(х) < 0)) Л (Чх Е ЕЕ~(хо) (У'(х) < 0)) =ь =~ (~ в хо экстремума не имеет); Ь) (Ух Е У (хо) (У (х) < 0)) Л (Ух Е У~(хо) (~'(х) > 0)) =: =4 (хо — точка строгого локального минимума ~); с) ('Фх Е ~7 (хо) (У'(х) > 0)) Л (Ух Е У+(хо) (У'(х) < 0)) ~ =Ф (хо — точка строгого локального максимума ~); и) (Мх Е У (хо) (~'(х) > 0)) Л (Ух Е У~(хо) (~'(х) > 0)) =~ =~ (~ в хо экстремума не имеет).
Кратко, но менее точно, можно сказать, что если при переходе через точку производная меняет знак, то экстремум есть, а если ее знак при этом не меняется, то экстремума нет. Заметим сразу же, что эти условия, являясь достаточными, не являются необходимыми для экстремума, в чем можно убедиться на следующем примере. Пример 5. Пусть 2х2 + хз в1п — при х ф О, 2 Л)= 0 при х =О.
1Ж й! ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Утверждение 4 (достаточные условия экстремума в терминах высших производных). Пустпь функцил ~: 0(хо) -+ Й, определенная в окрестпностпи У(хо) точки хо, имеетп в хо производные до порядка п включитпельно (и > 1). Если ~!(хо) = ... = ~ф" 1)(хо) = О и ~1") ф О, тпо при п нечетпном в хо экстпремума нетп, а при и четном экстпремум естпь, причем этпо стпроеит1 локальный минимум, если ~~")(хо) > О, и стпроеий локальный максимум, если У(тв) (,), О <«Используя локальную формулу Тейлора ~(х) — ~(хо) = ~ )(хо)(х — хо) + о(х)(х — хо)~, (1) где а(х) -+ О при х + хо, будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма.
Перепишем (1) в виде У(х) — У(хо) = (У<")(хо) + а(х))(х — хо)". (2) Поскольку ~ф") (хо) ~ О, а а(х) -+ О при х -+ хо, то сумма ~ф")(хо) + а(х) имеет знак ~~")(хо), когда х достаточно близко к хо. Если п нечетко, то при переходе через хо скобка (х — хо)" меняет знак и тогда изменится знак всей правой, а следовательно, и левон части равенства (2).
Значит, при п = 2Й+ 1 экстремума нет. Если и четно, то (х — хо)" > О при х ф хо и, следовательно, в малой окрестности точки хо знак разности )!(х) — Дхо), как видно из равенства (2), совпадает со знаком ~~")(хо). ° Поскольку х2 < Дх) < 2хэ, то ясно, что функция имеет строгий локальный минимум в точке хо —— О, однако ни в какой проколотой полуокрестности этой точки ее производная ) (х) = 4х + 2хзш — — соя — не сохраняет знак. Этот ! 1 1 же пример указывает на недоразумения, которые могут возникнуть в связи с приведенной выше сокращенной формулировкой утверждения 3.
Теперь обратимся к доказательству утверждения 3. о <«а) Из утверждения 2 следует, что функция ~ строго убывает на У (хо). Поскольку она непрерывна в хо, имеем, 1пп Дх) = Дхо) и, следова- У (хо)Э*-+оо тельно, Дх) > ~(хо) при х б У (хо). По тем же соображениям ~(хо) > )'(х) о при х Е У+(хо). Таким образом, функция строго убывает во всей окрестности У(хо) и хо не является точкой экстремума.
о Ь) Сначала, как и в а), заключаем, что ввиду убывания т(х) на т.!" (хо) и о непрерывности ~ в хо имеем )'(х) > Дхо) при х Е У (хо). Из возрастания ~ на о о У+(хо) и непрерывности ~ в хо заключаем, что т(хо) < )'(х) при х Е У+(хо). Таким образом, функция ~ имеет в хо строгий локальный минимум. Утверждения с) и д) доказываются аналогично. в $4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 235 Рассмотрим примеры.
Пример б. Зоаон преломления светпа в геометпричестсоб оптпитсе (закон Снеяяиусац). Согласно принципу Ферма истинная траектория света между любыми двумя точками такова, что на ней реализуется минимум времени, которое необходимо свету, чтобы пройти из одной точки в другую по любому фиксированному пути, соединяющему эти точки. Из принципа Ферма и того, что кратчайшей линией между любыми двумя точками является отрезок прямой с концами в этих точках, следует, что в однородной изотропной среде (устроенной одинаково как в каждой точке, так и в каждом направлении) свет распространяется прямолинейно.
Пусть теперь имеются две такие среды и свет распространяется из точки А1 к Аг, А 2 как показано на рис. 22. Ь Если с1, сг — скорости света в этих средах, то время прохождения указанного пути таково: А1 Найдем экстремум функции 8(х): Рис. 22 1 ж 1 а — ж ~с( с, /Д ~~2 ср — О, что в соответствии с обозначениями рисунка дает с, ' 61па1 — — с~ ' 61п аг. Из физических соображений или прямо из вида функции Ф(х), неограниченно растущей при х -+ оо, ясно, что точка, где Ф'(х) = О, является точкой абсолютного минимума непрерывной функции Ф(ж). Таким образом, из принципа Ферма следует закон преломления —. в1в а1 с1 вшаг сг Пример 7.
Покажем, что при х ) 0 х — ах+ а — 1 < О, когда 0 < а < 1, (3) х — ах+а — 1>0, когда а<0 или 1<а. (4) 11В. Снеллиус (1680 — 1626) — нидерландский астроном и математик. й Дифференцируя функцию Дж) = т~ — ах + а — 1, находим ~'(х) = = а(х'* ~ — 1) и т"(ж) = 0 при х = 1. При переходе через точку 1 производная переходит от положительных значений к отрицательным, если 0 < а < 1, и от отрицательных к положительным, если а < 0 или 1 < а. В первом случае в точке 1 строгий максимум, а во втором — строгий минимум (и не только локальный, что следует из соображений монотонности ~ на участках 0 < х < 1, 1 < х).
Но Д1) = О и, таким образом, оба неравенства (3), (4) ГЛ. У, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 236 а'~" Ь'!е < — а+ — Ь, Р 9 а~р" Ь1р~ > — а+ —.Ь, Р Я (5) если р> 1, если р<1, (6) причем знак равенстпва в (5) и (6) имеетп местпо только при а = Ь. а 1 м Для доказательства достаточно в (3) и (4) положить х = — и а = —, Ь Р' 1 1 а также ввести обозначение — = 1 — —.
~ 9 Р Ь. Неравенства Гельдера2). Пустпь х, > О, у; > О (т = 1, ...,и) и — + — = 1. Тогда 1 1 Р 9 х~р~ < (~ рр) (~рд) при р) 1 рр и 1~т и 1те ~,х'ут ~>,~>,х1 ~,ур при р < 1, рф О. р=1 р=1 р=1 В случае р < О в (8) предполагаетпся, чтпо х, > О (т = 1, ..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
