В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Соотношение (36), называемое формулой Тейлоре с остпатпочмым членом в форме Пеако, очевидно, является обобщением определения дифференцируемости функции в точке, в которое оно переходит при и = 1. Заметим, что формула (35) практически всегда более содержательна, ибо, с одной стороны, как мы видели, она позволяет оценивать абсолютную величину остаточного члена, а с другой, например, при ограниченности ~<"+Ц(х) в окрестности хо из нее вытекает также асимптотическая формула ~(х) ~(хе) + 1 (х хе) + + (х хе) + 0((х хе) + ) (37) У (хо) ~ ")(*.) и+1 226 ГЛ. Ч. ДИ<ь4>ЕРЕНЦиАЛЬИОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 14.
Покажем что 1псовх = --х — — х — — х +0(х ) при 1 г 1 4 1 6 в Ъ 2 12 45 х -+ О. На сей раз, вместо того чтобы вычислять подряд шесть производнах, мы воспользуемся уже известными разложениями совх при х -+ 0 и 1п(1 + и) при и -+ 0: 1п со~~ = 1~ (1 — — ~ ~.
— ~ — — й + 0(й )) = 'п(1 ~- ~~) = 2 1 4 1 6 8 2.' 4! 6! =и — -и +-и +О(и)=~ — — х + — х — — х +0(х))— 2 1 3 4 1 2 1 4 1 6 3 2 3 2.' 4! 6! — — ~ — х — 2 ° — х +0(х )) + — ~ — — х +0(х )) = 4 1 6 8 1 1 6 8 2 ~(2~)г 2~4 ) З~ (2,)3 = — -х — — х — — х +О(х ). 2 1 4 1 6 8 2 12 45 Пример 15. Найдем значения первых шести производных функции 1псовх при х =О. Имеем (1п сов)'х =, и потому ясно, что в нуле данная функция име- СОВ Ж ет производные любого порядка, ибо сов 0 у'- О. Мы не станем искать функциональные выражения этих производных, а воспользуемся единственностью полинома Тейлора и результатом предыдущего примера. Если ~(х) = се+ с1х+...
+с„х" +о(х") при х -+ О, то ~®(0) с~ = ' ' и ~!"1(0) =Ыс~. Ы Таким образом, в нашем случае получаем (!псов)(0) = О, (1псов)'(0) = О, (1псов)" (0) = — — * 2!, ) (31 (О) О (! ) (4) (О) 41 1 12 (1псов)®(0) = О, (1псов)®(0) = — — 6!. 1 45 Пример 16. Пусть!'(х) — бесконечнодифференцируемаявточкехе = 0 функция, и пусть известно разложение ~'(х) = с~+с1х+...
+ с,',х" + 0(х"+') ее производной в окрестности нуля. Тогда из единственности тейлоровского разложения имеем (~')®(0) = й!с~„ $3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 227 поэтому У!~+1!(О) = Ыс~. Таким образом, для самой функции У(х) имеем разложение с~ 1!с1 и1~ у(х) = у(О)+ —,х+ — ',' '+... + "„х"+'+О(х"+'), ) или, после упрощений, СЕ С1 Сл л+1 у(х) = у(О)+ ~ х+ — 'х'+... + — "х"+'+О(х"+').
1 2 !1+1 Пример 17. Найдем тейлоровское разложение функции у(х) = агах в нуле. Поскольку у'(х) = —, = (1 + х2) ! = 1 — х2 + х4 — ... + ( — 1)" х2" + + 0(х2"+2), то по соображениям, изложенным в предыдущем примере, ( 1)л у( ) у(О)+ 1 3 ! 3 ! ( ) 2л+1+О( 2л+3) 1 3 5 2!1+1 т. е 3+ Ь + ) 2л+1 ! 0( 2л+3) 1 1 ь (-1)" $5 2а+1 Пример 18.
АналОгично, раскладывая функцию агс31п'х = (1 — х ) по формуле Тейлора в окрестности нуля, последовательно находим 1 1( --( — - 11 (1+ и) ~~2 = 1+ — ц+ ~2+ 1! 2! -- — 1 ... -- — и+1 !4" + 0(и"+ ) (1 — х) =1+ — х + — х +.. 2-1~2 12 13 2 22 ° 2! .. + ' ) х2" + 0(х2"+ ), 1-3 ... (2а — 1) 2л . !1! агсвшх = х+ — х + х + .. 1 3 1 ° 3 3 2 ° 3 22 2'.-5 + ' ' х "+ +О(х "+ ) (2!2 — 1) 11 (2а) !! (2и -1- 1) или, после элементарных преобразований, ° + 3+ а ° з 3+ + 1 ") 2л+1+0( 2л+3) 1 !311! 1(2!3 — 1) 1!1 3! 5! (2!1 + 1)! Здесь (2п — 1)!1:= 1 3 ... (2!2 — 1), (2!2)11:= 2 ° 4 °... ° (2!1).
ГЛ. б'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 228 Пример 19. Воспользуемсярезультатамн примеров 5, 12, 17, 18 и найдем [х — —,хб ~. Обхб)] [х о. хб а обхб)] агобдх — бшх . [* б» ~ Об~ )] 1нп . = 1пп о бах — шшбах о [ а б б ао~ б)] 3 — 1 хз + О(х5) = 1пп 6 = -1. *-+о хЗ + О(х5) 6 Задачи и упражнения 1+ ахз 1. Подберите числа а и Ь так, чтобы функция 1(х) = соя х — — — -д- при х -+ 0 была бесконечно малой возможно более высокого порядка.
2. На»д» е ббш»[- — ( —.) ]. 3. Напишите полипом Тейлора функции е* в нуле, который позволял бы вычислять значения е* на отрезке -1 < х < 2 с точностью до 10 з. 4. Пусть 1 — бесконечно дифференцируемая в нуле функция. Покажите, что а) если 1 четная, то ее ряд Тейлора в нуле содержит только четные степени х; Ъ) если 1 нечетная, то ее ряд Тейлора в нуле содержит только нечетные степени х. 5. Покажите, чтоеслиХЕС~ )[-1,Ц, ~~")(О) = Одляп =0,1,2,... исуществует число С такое, что апр ф")(х)~ (п!С, н Е Я, то 1 ыО на [-1,1]. — 1~»~1 6. Пусть 1 )= С~")(]-1,1[) и лцр ]1(х)] (1.
Пусть иц,(1) = 1пЕф~)(х)[, где1— — 1Сш<1 шшб' промежуток, содержащийся в интервале ] — 1, 1[. Покажите, что а) если 1 разбит на три последовательных промежутка Х1, Хз, 1з и и — длина Хз, то та(1) < — (тл-1(11) + та-1(1з)); Ь) если 1 имеет длину Л, то 1) Г. Дарбу (1842 — 1917) — французский математик. 2 ~"+ )д~я" ть(1) < с) существует такое число а„, зависящее только от п, что если ]Х'(0)] > а„, то уравнение ~~") (х) = 0 имеет в ]-1, 1[ по крайней мере п — 1 различных корней. У к аз ание.
В Ь) используйте а) и принцип индукции; в с) используйте а) и по индукции докажите, что существует такая последовательность хь, < хь, < ... ( хл„ точек интервала ]-1, Ц, что ~~~)(хь,.) Хд~)(хь,.+,) < 0 при 1 ( ~ ( й — 1. 7. Покажите, что если функция 1 определена и дифференцируема на интервале 1 и [а, Ь] С Х, то а) функция 1'(х) (даже не будучи непрерывной!) принимает на [а, Ь] все значения между 1'(а) и 1'(Ь) (теорема Дарбу Ц). Ь) если еще 1" (х) существует в ]а, Ь[, то найдется точка ~ Е ]а, Ь[ такая, что 1'(Ь) — 1'(а) = 1" (()(Ь вЂ” а). $3.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ гг9 8. Функция,1«(х) может быть дифференцируемой на всей числовой прямой, но при этом ~'(х) может не быть непрерывной (см. пример 7 нз $1, п. 5). а) Покажите, что функпр«я у'(х) может иметь разрывы только второго рода. Ъ) Укажите ошибку в следующем «доказательстве» непрерывности у'(х).
в Пусть х0 — произвольная точка на К и у'(х0) — производная функции У в точке х0. По определению производной и теореме Лагранжа ~'(хо) = 1пп = 11ш ~'((') = 11ш ~'(~), 1(х) У(х0) где ( — точка между х0 и х, стремящаяся, таким образом, к х0 при х -+ х0. Э 9. Пусть | — дважды дифференцируемая функция на промежутке У. Пусть М0 = = вар~~(х)~, М1 —— вир(~'(х)~, М2 = впр~~"(х)~. Покажите, что хе! »Е1 лЕ1 а) если 1 = [ — а, а], то 2 2 ег ~М «гг/Ме, ее д еааХ е е~е 2Е'Ма/Мг, 1И,«4га,ю„е Х=»; с) в задаче Ь) числа 2 и ~Г2 не могут быть заменены меньшими; с1) если 1' дифференцируема р раз в 1«и если величины Мо и М~ = вар ф~~(х)~ »ея конечны, то при 1 < Й < р конечны также величины М» = виар ф"~(х) ~ и М < 2Ьцг-Ь)/2М1-ЬIРМ1е/~г /с ~ 0 У к а з а н и е. Используйте задачи 6Ъ), 9Ь) н принцип индукции.
10. Покажите, что если функция ~ имеет в точке х0 все производные до порядка и + 1 включительно и ~~"~ц(х0) ~Е О, то в остаточном члене формулы 'Гейлора, записанном в форме Лагранжа (х0' х) = — ~~~~(х0 + 8(х х0))(х — х0) где О < д < 1, величина д = 9(х) стремится к — при х -+ х0. 1 «»+ 1 11. Пусть |' — функция, «» раз дифференцируемая на промежутке 1. Покажите, что: а) Если ~ в (и+ 1) точках промежутка 1 обращается в нуль, то найдется точка ( Е 1 такая, что У'"1(~) = О.
Ь) Если х1, х2, ..., хр — точки промежутка 1, то существует и притом единственный многочлен Ь(х) (интперполлционкый поли««ом Лагрв««жв) степени не выше (и — 1) такой, что ~(х«) = Цх«), « = 1, ..., и. Кроме того, для х б 1 найдется точка (' б 1 такая, что (х — х1)... (х — х„) с) Если х1 < х2 «... хр — точки промежутка Е, и (1 < «< р) — натуральные числа такие, что ид + п2 +...
+ «»„= и и ~1~1(х;) = О при О < й < т«1 — 1, то в промежутке [х1, х,.) найдется точка ~, в которой ~~" ц(~) = О. $4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 231 Ь) (Продолжение.) Если существует ~1")(хо), то имеет место оценка ~Ь" ~(хо; Ь1, ..., Ь ) — ~~")(хо) Ь1- .. Ь~~ < <впр ф")(х) — т1")(хо)~ . )Ь1~...)Ь ~. ж е)а,ь[ с) (Продолжение.) Положим Ь"У(хо,Ь, ...,Ь) =: Ь"~(хо;Ь"). Покажите, что если существует У1")(хо), то 1,)~ ., -"~ У(хо',Ь ) ь-о Ь" о) Покажите на примере, что предыдущий предел может существовать даже тогда, когда у1") (х) в точке хо не существует.
Указание. Рассмотрите, например, Ь~|(0; Ь~) для функции з . х вш-, х~О, О, х=О, и покажите, что ~!~~У(0; Ь~) ь-+о Ьз 15. а) Применив теорему Лагранжа к функции —, где а > О, покажите, что при 1 и Е Я и а > О имеет место неравенство ОО Ь) Воспользуйтесь результатом задачи а) и покажите, что ряд 2 — сходится при т>1. З 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления 1. Условия монотонности функции Утверждение 1. Между характпером мокотпоккостпи дифферекцируемой ка иктпервале ~а, Ь'(= Е фуккции ~: Е -+ ж и зкахом (положитпелькостпью) ее производной ~' ка этом иктпервале имеетпся следующая взаимосвязь: ~'(х) > О ~ ~ возрастпаетп =, "~'(х) > О, .т'(х) > О ==:),) ке убываетп =4» ~'(х) > О, у'(х): — О =: ~— : сопв1 = ~'(х): — О, ~'(х) < О ~ ~ ке возрастпаетп =; ~'(х) < О, 1'(х) < О =; ~ убываетп ~ ~'(х) < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
