В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 44
Текст из файла (страница 44)
197 1 2. ОснОВные пРАВилА диФФВРенциРОВАния Пример 9: Покажем, что ассе!о'р = при ]р] С !. грункнни „г ввп: ]-т/2,т/2] ~ ]-1, Ц и ысв!и: ]-1, Ц -г ]-т/2,т/2] вванмно обратны и непрерывны (см. гл. 1У, ~ 2, пример 8), причем яп' х = соя х ф О, если ]х~ < к/2. При ф < т/2 для значений у = япх имеем ]у~ < 1. Таким образом, по теореме 3 1 1 1 1 агсяп' у — —., с!и'в соси /!;„'г" /! рг' Знак перед радикалом выбран с учетом того, что сов х > О при ]х~ ( т/2. Пример 10. Рассуждая, как и в предыдущем примере, можно показать (с учетом примера 9 из ~ 2 гл.
1У), что 1 агссов' р =— р2 при ]у~ ( 1. Действительно, 1 1 1 1 агссоя' у = — = — —— сов и в!пи ггг — совгв /! — рг Знак перед радикалом выбран с учетом того, что яп х > О, если О ( х < л. Пример 11. агс~]~'р =, р Е К. 1 2 ! Действительно, / 1 1 2 1 1 агс~8'р = —, = = совхх = ~8'х ( 1 ~1 1+$82х 1+ р2' ~соя2х/ Пример 12. агсс$8'у = — —, у Е К. 1+у'' Действительно, агссф8'р = —, = = — яп2х— сф8'х 1 1 1+ сГ82х 1+ у2 81п2х/ (У ')'(р) = —, ~/(х) а'1па у1па' 1 1 /'(х) =, — — у1па = а*1па. (У ') (р) у 1па Пример 13. Мы уже знаем (см.
примеры 10, 12 из ~ 1), что функции р = /(х) = а* и х = ~ 1(у) = 1оя, х имеют производные ~'(х) = а* 1па и (У ')'(р) = — „„,. Проверим, как это согласуется с теоремой 3: 198 ГЛ. р', ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 14. Гиперболические, обрагпные гиперболические функции и их производные. Функции яЬх = — (е* — е *), 2(' +' называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом') от х. Эти в данный момент вводимые нами чисто формально функции, как выяснится, во многих вопросах появляются так же естественно, как появляются круговые функции я1пх, соях. Заметим, что яЬ( — х) = — яЬх, сЬ(-х) = сЬх, т.
е. гиперболический синус — нечетная функция, а гиперболический косинус — функция четная. Кроме того, очевидно следующее основное тождество: сЬ х — яЬ х=1. Графики функций у = яЬх и у = сЬ х изображе- ны на рис. 19. Рнс. 19 Из определения функции яЬх и свойств функ- ции е* следует, что яЬх — непрерывная строго возрастающая функция, отображающая взаимно однозначно К на й. Обратная функция к яЬ х, таким образом, существует, определена на Ж, непрерывна и строго монотонно возрастает, Ее обозначают символом атяЬ у (читается вареа-синус~) от у»). Эту функцию легко выразить через уже известные.
Решая уравнение — (е* — е *) =у 2 относительно х,найдем последовательно е* = р + Э/Т Э ре (е* > О, поэтому е* .В р — теГт рэ) и и = 1п(р в эу1 + рэ) ~1От лат. внзпз ЬурегЬо11с1, сов1ппв ЬурегЬо11с1. з1Полное название — агеа в1ппв ЬурегЬо11с1 (лот,); почему здесь используется термин »площадь» (агеа), а не »дуга» (агспз), как в круговых функциях, выяснится несколько позже. 199 1 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Итак, агвЬ р = 12(у + г/1 + уг), р У 11.
Аналогично, используя монотонность функции у = сЬ х на участках К = (х Е К ~ х < О), К+ —— (х )- :К ~ х > О), можно построить функции агсЬ у и агсЬ+ у, определенные для у > 1 и обратные к ограничению функции сЬ х на К и К» соответственно. Они задаются формулами агсЬ р = 1п1у — Г/уг — 1), агсЬг р = 1п (р а,/уг — 1). Из приведенных определений находим аЬ'х = — (е*+е ) = сЬх, 2 сЬ'х = — (е — е *) = аЬх, 2 а на основе теоремы о производной обратной функции получаем 1 1 1 1 агаЬ'у = —, вЬ х сЬх /Г В.вЬ2 /1 В. Рг ' 1 1 1 1 агсЬ у=, — — — —, у >1, сЬ х вЬ х ггЯ~~ 1 Ргуг 1 ' 1 1 1 1 агсЬ+ у = —, = — —, у > 1.
сЬ'х вЬх /Ьгх 1 /Уг 1' Последние три соотношения можно проверить, используя явные выражения для обратных гиперболических функций агаЬу и агсЬу. Например, агвЬ'р= (1а — 11.~.Р~) .2у) = Р~- 1+Р2 2 2/Г а ус + р р+ г/Г+ р' г/1+ р' г/Г+ ух Подобно Сд х и снях можно рассмотреть функции аЬх сЬх 1Ьх = — и сФЬ = —, хсЬ аЬх называемые гиперболическим тпангенсом и гиперболическим хотпангенсом со- ответственно, а также обратные им функции ареа-тангенс: агг,Ьу = — 1п —, )у~ (1, 1 1+у 2 1-у' ГЛ. ~.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ и апеа-когпангенс агсйЬУ = — 1п —, 1у! > 1. у+1 2 у — 1' Решения элементарных уравнений, приводящие к этим формулам, мы опускаем. По правилам дифференцирования имеем вЬ'хсЬх — вЬхсЬ'х сЬхсЬх — зЬхвЬх СЬ' х— сЬ х сЬ х сЬ'хвЬх — сЬхзЬ'х зЬхяЬх — сЬхсЬх СФЬ х Ь2 Ь2 вЬ х яЬ х сЬ х По теореме о производной обратной функции агйЬ'х —, = — сЬ х — —, ~у~ (1, 1 1 2 1 1 ГЬ'х 1 1-ГЬ2х 1 — У2' сЬ2 х агсгЬ х = ю 1 1 2 = — зЬ х= сгЬ' х 1 зЬ2 х 1 сФЬ х — 1 1у! >1.
У2 1 Две последние формулы можно проверить и непосредственным дифференци- рованием явных формул для функций аггЬ у и агсгЬ у, 4. Таблица производных основных элементарных функций. Выпишем теперь (см. табл. 1) производные основных элементарных функций, подсчитанные в ~ 1 и 2 . '~УЙ) ф(й(х)) Ыу(й) сй(х) ~Н * *=*о Их, сй, дх, „Мха сй х=с, уа(го) х'(йо) (Здесь использовано стандартное обозначение У(х) ~, „:= Дхо).) 5.
Дифференцирование простейшей неявно заданной функции. Пусть у = у($) и х = х($) — дифференцируемые функции, определенные в окрестности У($е) точки 8е Е К. Предположим, что функция х = х(г) имеет обратную функцию Ф = $(х), определенную в окрестности ~(хя) точки хя — — х(Фя). Тогда величину у = у(г), зависящую от Ф, можно рассматривать также как функцию, неявно зависяшую от х, поскольку у(г) = у(г(х)).
Найдем производную этой функции по х в точке хя, предполагая, что х'(~я) ~ О. Используя теорему о дифференцировании композиции и теорему о дифференцировании обратной функции, получаем 201 $2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Таблица 1 Ограничения на область изменения аргумента х б К Производная У'(х) Функция Дх) 1.
С (сопвй) ха (лха -1 х>0 при аЕК хЕК при сс61ч' хЕК (а>0, аФ1) а*1па 1 х1па хЕК~О (а>0, аф1) сов х — вшх 1 с062 х 1 х в6 ~ + ~тй, й (= Е хф~гй, ЙЕЖ вш~ х 1 )х~ < 1 9. ахсвшх М вЂ” х 1 )х~ < 1 10. атссовх Л х2 1 1+ х~ 1 1+ х~ 11. агс$8х 12.
атссф8х 13. вЬх 14. сЬх 15. ФЬх 16. сСЬх 17. агвь х = 1~ (х + /) + ~~ ) вЬх 1 сЬ2 х 1 вЬ2 х 1 18. агсйл = 1п(х~ уР- 1) )х~ ) 1 19. ахФЬх = — 1п— 1 1+х 2 1 — х 20 ахс~Ьх 1 1д х+1 2 х — 1 )х~ < 1 )х~ > 1 Если одна и та же величина рассматривается как функция различных аргументов, то во избежание недоразумений при дифференцировании явно указывают переменную, по которой зто дифференцирование проводится, что мы и сделали. 3. а* 4.
1оя ф 5. вшх 6. совх 7. СЕх 8. сВ8х ~/Г~- х~ 1 ~/И вЂ” 1 1 1 — х2 1 1 — х~ гог ГЛ. ~. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ х=х+И, (4) Рассмотрим несколько более общую линейную связь х = ах+,В~, 8= ух+И, (5) разумеется, в предположении, что эта связь обратима, т. е. определитель матрицы отличен от нуля. ~7 б/ Пусть х = х(1) и х = хф) — закон движения наблюдаемой точки, записанный в этих системах координат. Зная зависимость х = х(~), из формул (5) найдем х(8) = ахИ) +,88, Ф(8) = 'ух(8) + б1, (6) а в силу обратимости преобразований (5), записав х = Йх+Д1, зная х = х(Ф), можно найти хф) = йхф)+3~, е) = 7хИ) + й. (8) Из соотношений (6) и (8) видно, что для данной точки существуют взаимно обратные зависимости 1 = 1(1) и 1 — — 1ф).
Пример 15. Закон сложения скоростпей. Движение точки вдоль прямой вполне определяется, если в каждый момент 1 выбранной нами системы отсчета времени мы знаем координату х точки в выбранной системе координат (числовой оси). Таким образом, пара чисел (х,1) определяет положение точки в пространстве и во времени. Закон движения точки запишется в виде некоторой функции х = х($). Предположим, что движение этой же точки мы хотим описать в терминах другой системы координат (х,~).
К примеру, новая числовая ось движется равномерно со скоростью — е относительно первой (вектор скорости в данном случае можно отождествить с задающим его одним числом). Будем для простоты считать, что координаты (О, О) и в той и в другой системе относятся к одной и той же точке или, точнее, что в момент ~ = О точка х = О совпадала с точкой х = О, в которой часы показывали ~ = О. Тогда один из возможных вариантов связи координат (х, 1), (х, 1), описывающих движение одной и той же точки, наблюдаемое из разных систем координат, доставляют классические преобразования Галилея 20З $2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Рассмотрим теперь вопрос о связи скоростей У($) = — = жс(8) и Ъ'(1) = = = х~ф) сЬ(~) сйф) ~Й сЫ нашей точки, вычисленных в системах координат (х, Ф) и (х, 1) соответственно.
Используя правило дифференцирования неявной функции и формулы (6), имеем или аъ'(~) +,8 (9) 7~(й)+б' где $ и Ф вЂ” координаты одного и того же момента времени в системах (х, 8) и (х, ~). Это всегда имеется в виду при сокращенной записи (10) формулы (9).
В случае преобразований (4) Галилея из (10) получаем классический закон сложения скоростей Ъ'= ~+о. Экспериментально с достаточной степенью точности установлено (и это стало одним из постулатов специальной теории относительности), что в вакууме свет всегда распространяется с определенной скоростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
