В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Инвариантпностпь определения скоростпи. Теперь мы в состоянии проверить, что вектор мгновенной скорости материальной точки, который был определен в п. 1 ~ 1, не зависит от выбора системы декартовых координат. Мы проверим это даже для любой из аффинных систем координат. Пусть (х1, хг) и (х1, хг) — координаты одной и той же точки плоскости в двух различных системах координат, связанных между собой соотношениями 192 ~ Л.
Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Таким образом, координаты (и', о2) = (х', х2) вектора скорости в первой системе и координаты (61, 62) = (х', х~) вектора скорости во второй системе оказались связанными соотношениями (2), говорящими нам о том, что мы имеем дело с двумя различными записями одного и того же вектора. Пример 2. Пусть ~(х) = фх. Покажем, что ~'(х) = — всюду, где вшх сов х ф О, т, е. в области определения функции ф х = —. сов х В примерах 1 и 2 из ~ 1 было показано, что яп' х = сов х, сов'х = — яп х, поэтому из утверждения с) теоремы 1 получаем при сов х ~ О: lвш ~', в1п'хсовх — вшхсов'х $д х = ~ — ~ (х)— ~сов / сов~ х совхсовх+ япхяпх 1 сов~ х сов2 х Пример 3. с~~'х = — —.
при япх ф О, т. е. в области определения 1 вш2х функции сйх = —. сов х в|в х Действительно, Гсов 1', сов'хвшх — совхв1п х ~вш яп2 х — япхяпх — совхсовх яп2 х яп х Пример 4. Если Р(х) = со+ с1х+ ... + с„х" — полипом, то Р'(х) = = с1 + 2срх +... + пс„х" '. <Ь Их" Действительно, поскольку — = 1, то по следствию 2 — = пх" 1 и теперь Ых ах утверждение вытекает из следствия 1. 2.
Дифференцирование композиции функций Теорема (теорема о дифференциале композиции функций). Если функцил ~: Х -+ У С К дифференцируема в точке х Е Х, а функцил д: У -+ К 'дифференцируема в точке р = Дх) Е У, то композиция д о ~: Х -+ К этих функций дифференцируема в тдчке х, причем дифференциал И(д о~)(х): ТК(х) -+ ТК(д(~(х))) композиции равен композиции сКд(у) од~(х) дифференциалов ф'(х): ТК(х) — ~ ТК(у = Дх)), дд(у = ~(х)): ТК(у) -+ ТК(д(р)). ~ Условия дифференцируемости функций ~ и д имеют вид ~(х+Ь) — ~(х) = ~'(х)Ь+о(Ь) при Ь-+О, х+Ь Е Х, д(у+$,) — д(р) =д(р)1+о(1) при Ф-+О, р+ФЕ К 193 $2.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Заметим, что в последнем равенстве функцию о($) можно считать определенной и при $ = О, а в представлении о($) = 7($) $, где у(Ф) -+ 0 при $ -+ О, у+ ~ е У, можно считать у(0) ~ О. Полагая ~(х) = у, У(х+ Ь) = у + ~, в силу дифференцируемости, а значит, и непрерывности функции ~ в точке х заключаем, что при Ь -+ 0 также ~ -+ О, и если х + Ь Е Х, то у + $ Е х . По теореме о пределе композиции теперь имеем у(~(х + Ь) — Дх)) = а(Ь) -+ 0 при Ь -+ О, х + Ь Е Х, и, таким образом, если 1 = Дх + Ь) — ~(х), то о(й) = у®х + Ь) — ~(х)) Щх + Ь) — ~(х)) = (Ь)(У'(х)Ь+о(Ь)) = (Ь)У'(х)Ь+ (Ь)о(Ь) = = о(Ь)+о(Ь) = о(Ь) при Ь -+О, х+Ь б Х.
Далее, (д о ~) (х + Ь) — (д о ~) (х) = д(У(х + Ь)) — д(~(х)) = = д(у+~) — д(у) = д'(у)~+ой) = = д'(Дх))(Дх+ Ь) — Дх)) + о(~(х+ Ь) — Дх)) = = д'Щх))(~'(х)Ь+ о(Ь)) + о®х+ Ь) — Дх)) = = д (У(х)) (~ (х) Ь) + д (У(х)) (о(Ь)) + о(Х(х + Ь) — У( )). Поскольку величину д'(~(х)) (~'(х) Ь), очевидно, можно интерпретировать кзк значение ИИ~~(х)) ~щх)6 композиции о ~ — — е И'(Лх)) ~'(х)Ь отопву(у)овал) ражений Ь ~ — ~ ~'(х)Ь, т ~ — + д'(у)т на смещении Ь, то для завершения 4У(*), ФЬ) доказательства теоремы остается заметить, что сумма д'®х)) (о(Ь)) + о(~(х+ Ь) — У( )) есть величина бесконечно малая в сравнении с Ь при Ь -+ О, х + Ь Е Х, ибо, как мы уже установили, о(~(х+ Ь) — Дх)) = о(Ь) при Ь -+ О, х+ Ь Е Х. Итак, показано, что (д о Щх + Ь) — (д о ~)(х) = Й д'(~(х)) ° ~~(х) Ь+ о(Ь) при Ь -+ О, х+ Ь е Х.
° Следствие 4. Производнаа (до~)'(х) композиции дифференцируемых вещестпвеннозначных функций равна произведению д'(~(х)) ~'(х) производных этих функций, вычисленных в соотвешстпвующих точках. 194 ГЛ. ~. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Большим искушением к короткому доказательству последнего утверждения являются содержательные обозначения Лейбница для производной, в которых, если х = х(р), а р = р(х), имеем <Ь сЬ о,р сЬ с~р сЬ ' что представляется вполне естественным, если символ — или — рассматриох ор Ну ях вать не как единый, а как отношение йх к Йр или, соответственно, пр к сЬ.
Возникающая в связи с этим идея доказательства состоит в том, чтобы рассмотреть разностное отношение ~х ~р Ьх и затем перейти к пределу при Ьх -+ О. Трудность, которая тут появляется (и с которой нам тоже отчасти пришлось считаться.'), состоит в том, что Ьр может быть нулем, даже если Ьх ф О. Следствие 5. Если имеетсл композиция (~„о... о ~1)(х) дифференцирремых фракций р1 — — ~1(х), ..., р„= У„(р„1), то (1' о" оЛ)'(х) = У'(р -1)У' 1(р -2)" Л(х) ~ При и = 1 утверждение очевидно. Если оно справедливо для некоторого п Е Я, то из теоремы 2 следует, что оно справедливо также для а+ 1, т. е.
по принципу индукции уСтановлено, что оно справедливо для любого п Е И. > а П р и м е р 5. Покажем, что при а Е й в области х > О имеем — * = ах дх т. е. сЬ'" = ах" 1пх, и (х + Ь) — х~ = ах~ 1Ь + о(Ь) при Ь -~ О. ~ Запишем х" = е ~"* и применим доказанную теорему с учетом результатов примеров 9 и 11 из ~ 1 и пункта Ь) теоремы 1. Пусть д(р) = е" и р = Дх) = а 1п х. Тогда х'" = (д о ~)(х) и (до~)'(х) = д'(р) ~'(х) = е". — = е™х а =х .
— = ах'" х х х П р и м е р 6. Производная от логарифма модуля дифференцируемой функции часто называется лоеарифмичесхоо, производной. Поскольку Г(х) = 1п~~(х) ~ = (1п о ~ ~ о ~)(х), то в силу результата примера 1 11 из ~ 1 Р'(х) = (1п~Д)'(х) = —. Дх) 195 5 2.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Таким образом, ~(1 ШН-) = ".'Ь = "".*' ~(х) Дх) П р и м е р 7. Абсолютпная и отпноситпельнал погрешностпи значения дифЯеренцируемой функции, вызванные погрешностт!лми в задании аргументпа. Если функция ~ дифференцируема в точке х, то Дх+ Ь) — Дх) = т'(х)Ь+ а(х; Ь), где а(х; 6) = о(й) при Ь -+ О.
Таким образом, если при вычислении значения ~(х) функции аргумент х определен с абсолютной погрешностью Ь, то вызванная этой погрешностью абсолютная погрешность )Дх+ Ь) — Дх) ~ в значении функции при достаточно малых Ь может быть заменена модулем значения дифференциала !сд(х)Ь! = = ~~'(х)6! на смещении и. Тогда относительная погрешность может быть вычислена как отношение ~У'(х)Л~ )~Ч(х)Ь~ ~ У'(х) ~ Щх)! ~Дх)! или как модуль произведения ~ — ~ !6! логарифмической ~п-) ~ производной функции на величину абсолютной погрешности аргумента. Заметим, кстати, что если Дх) = 1п х, то с~1пх = — и абсолютная погрешИх ность в определении значения логарифма равна относительной погрешности в определении аргумента. Это обстоятельство прекрасно используется, например, в логарифмической линейке (и многих других приборах с неравномерным масштабом шкал). А именно, представим себе, что с каждой точкой числовой оси, лежащей правее нуля, мы связали ее координату у и записали ее над точкой, а под этой точкой записали число х = е!!.
Тогда у = 1п х. Одна и та же числовая полуось оказалась наделенной одной равномерной шкалой у и одной неравномерной (ее называют логарифмической) шкалой х. Чтобы найти 1п х, надо установить визир на числе х и прочитать наверху соответствующее число у. Поскольку точность установки визира на какую-то точку не зависит от числа х или у, ей отвечающего, и измеряется некоторой величиной Ьу (длиной отрезка возможного уклонения) в равномерной шкале, то при определении по числу х его логарифма у мы будем иметь примерно одну и ту же абсолютную погрешность, а при определении числа по его логарифму будем иметь примерно одинаковую относительную погрешность во всех частях шкалы.
Пример В. Продифференцируем функцию и(х)"(*), где и(х) и о(х)— дифференцируемые функции и и(х) > О. Запишем и(х)"!*) = е"!*) '" "(*) и воспользуемся следствием 5. Тогда с(ех(х)!и и(х) с!х = е" ( ) '" "(*) о'(х) 1п и(х) + о(х)— и(х) / = и(х) "(*) о'(х) 1п и(х) + о(х) и(х)"(*) ! и'(х). ГЛ. Ч.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3. Дифференцирование обратной функции Т е о р е м а 2 (теорема о производной обратной функции). Пусть функции т: Х + У, ~ 1: У -+ Х взаимно обратны и непрерывны в точках хо 6 Х и Дхо) = уо б У соотпветпстпвенно. Если функция т" дифференцируема в точке хо и .т'(хо) ф О, то функция ~ 1 также дифференцируема в точке уоу причем (,~ ) (уо) (.~ (хо)) ~ Поскольку функции ~: Х -+ У, ~ 1: У -~ Х взаимно обратны, то величины т (х) — т (хо), ~ 1(у) — т' '(уо) при у = т'(х) не обращаются в нуль, если х ф хо. Из непрерывности ~ в хо и ~ ' в уо можно, кроме того, заключить, что (Х э х -+ хо) ФФ (У Э у -+ уо). Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим ~'эд-+д у — уо хэ*+*,,т (х) — Дхо) 1 1 1пп хэх- х, У(х) — У(хо) У'(хо) ' х — хо Таким образом, показано, что в точке уо функция ~ ': У -+ Х имеет производную и У ') (уо) = (У'(хо)) Замечание 1. Если бы нам заранее было известно, что функция ~ ' дифференцируема в точке уо, то из тождества Ц 1 о ~)(х) = х по теореме о дифференцировании композиции функций мы сразу же нашли бы, что У ') (уо).У'(хо) =1 Замечание 2.
Условие ~'(хо) ф О, очевидно, равносильно тому, что отображение й ~-+ ~'(хо) и, осуществляемое дифференциалом ~Щхо): ТИ(хо) ~ -+ Тй(уо), имеет обратное отображение ~~Щхо)~ ': Тй(уо) -+ Тй(хо), задаваемое формулой т ~-+ (~'(хо)) 'т. Значит, в терминах дифференциалов вторую фразу формулировки теоремы 3 можно было бы записать следующим образом: Если функция ~ дифференцируема в точке хо и в этпой тпочке ее дифференциал сЧ(хо): ТК(хо) -+ Тй(уо) обратим, то дифференциал функции ~ ', обратной к т, существует в точке уо — — У(хо) и является отображением 4Х '(уо) = Щ(хо)Г': Тй(уо) -+ Тй(хо), обратпным к отображению сд(хо): ТЯ(хо) -+ Тн(уд).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
