В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Это означает, что если в момент $ = Ф = 0 в точке х = 2 = 0 происходит вспышка, то через время ~ в системе (х,8) свет достигнет точек с координатами ю такими, что ж2 = (сФ)2, а в системе (х, Ф) этому событию будут отвечать время Ф и координаты х точек такие, что опять ж2 = (с8)2. Таким образом, если х2 — с2~2 = О, то и У2 — с2Р = О, и обратно.
В силу некоторых дополнительных физических соображений следует считать, что вообще Ю2 с212 — х2 с2$2, (12) если (ж,Ф) и (х, Ф) отвечают одному и тому же событию в различных системах координат, связанных соотношением (5). Условия (12) дают следующие соотношения на коэффициенты а,,8, 7, о преобразования (5): а2 с272 = 1 аР— с27д = О, ~3~ — с~6~ = — с2. ГЛ. ~. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ г04 Если бы было с = 1, то вместо (13) мы имели бы 2,„2 Р о а' (14) откуда легко следует, что общее (с точностью до перемен знака в парах (а„8), ( у, о)) решение системы (14) может быть дано в виде а = СЬ(р, 7 = зЬ9р,,в = зЬ(р, д = сЬ(р, где <р — некоторый параметр.
Тогда общее решение системы (13) имеет вид и преобразования (5) конкретизируются: х = сЬу х+ сзЬу Ф, ~ = — зЬ<р х + сЬ~р 1, с (15) х = — сСЬ~р 8, Таким образом, ФЬ р= —. (16) с Сопоставляя общий закон (10) преобразования скоростей с преобразованиями Лоренца (15), получаем сЬ<рЪ" + сзЬу 1 ) — зЬу Ъ'+ сЬ<р с или, с учетом (16), У= (17) 1+— г Формула (17) есть релятивистский закон сложения скоростей, который при ~иЦ « с2, т.
е. при с -+ оо, переходит в классический, выраженный формулой (11). Это — преобразования Лоренца. Чтобы уяснить себе, каким образом определяется свободный параметр у, вспомним, что ось х движется со скоростью — ю относительно оси х, т. е. точка х = О этой оси, наблюдаемая из системы (х, Ф), имеет скорость -о. Полагая в (15) х = О, находим ее закон движения в системе (х, Ф): 205 $ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Сами преобразования Лоренца (15) с учетом соотношения (16) можно записать в следующей более естественной форме: откуда видно, что при ~о~ (( с„т. е. при с -+ оо, они превращаются в класси- ческие преобразования Галилея (4).
6. Производные высших порядков. Если функция ~: Е + К дифференцируема в любой точке х Е Е, то на множестве Е возникает новая функция г': Е + К, значение которой в точке х е Е равно производной ~'(х) функции ~ в этой точке. Функция ~': Е + К сама может иметь производную (~')': Е -+ К на Е, которая по отношению к исходной функции ~ называется вшорой иронзводной от ~ и обозначается одним из символов сРУ(х) а если хотят явно указать переменную дифференцирования, то в первом случае еще, например, пишут Д',(х). Определение. По индукции, если определена производная ~<" 1~(х) порядка и — 1 от ~, то производная порядка и определяется формулой УС )(х) (УС вЂ” ))'(х) Для производной порядка и приняты обозначения Условились считать, что ~®(х):= Дх).
Множество всех функций ~: Е -+ К, имеющих на Е непрерывные производные до порядка и включительно, будем обозначать символом С<"~(Е, К), а когда это не ведет к недоразумению — более простыми символами С~">(Е) или С" (Е, К) и С" (Е) соответственно. В частности, С®(Е) = С(Е) в силу принятого соглашения, что ~®(х) = = ~(х). Рассмотрим несколько примеров вычисления производных высших порядков. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕН11Е 206 Примеры. ,)т(х) ~'(х) у(п) ( ) х1 а*1п а 16.
а* ах 1па ех 17. ех 18. а1п х — яшх — соя х соя х — 81П Х 19. сов х а(а — 1) х 21. ха а-1 -2 — х 1па 1 — х 1па 22. 1ок, ~х~ 23. 1п)х1 х ' ( 1) -2 ( 1)п-1( 1)) — п П ример 24. Формула Лейбнииа. Пусть и(х) и э(х) — функции, имеющие на общем множестве Е производные до порядка п включительно. Тогда для п-й производной от их произведения справедлива следующая формула Лейбница: (и„)(п) ~,' Стпи1п — тп),р1 и) (19) тп=О Формула Лейбница очень похожа на формулу бинома Ньютона и на самом деле с нею непосредственно связана. ~ При п = 1 формула (19) совпадает с уже установленным правилом дифференцирования произведения. Если функции и, и имеют производные до порядка п+ 1 включительно, то, в предположении справедливости формулы (19) для порядка и, после дифференцирования ее левой и правой частей получаем (ии)1"+') = ~ С„и1" + )1т1 ) +,» С и1" )и1 +') = тп=0 тп=О п (и+1)и10) + ~~» '(Сс + Сс-1) Ип+1) — с) 1с) + и10)1т1п+1) С=1 и+1 = ~~С„иИ"+~) ~)э~ ).
и+1 С=О Мы объединили слагаемые, содержащие одинаковые произведения производных от функций и, и, и воспользовались тем, что Сс + Сс 1 = Сс+1. Таким образом, по индукции установлена справедливость формулы Лейбница. ° 20. (1+х)а а(1+х) -1 а(а — 1Н1+х) -2 а1п (х + ял1'/2) сов (х + пл'/2) а(а — 1)... (т2 — и + 1) х х(1+ х) а(а — 1)... (а — и+ 1)х хха " (-1)п-1(п — 1)' 1па 207 $ г.
ОснОВные пРАВилА диФФБРенциРОВАния Пример 25. Если Р„(х) = се+ с1х+... +с„х", то Р„(0) = со, Р~(х) = с1 +2сгх+...+пс х 1 и Р~(0) =с1, Р„"(х) = 2сг+3 2сзх+... +п(п — 1)с„х" г и Р,",(0) =2!сг> Р(з)(х) 3 2сз+ .. +п(п — 1)(п — 2)с„х" — з и РСз)(0) = Юсз, Р~"~(х) = п(п — 1)(п — 2)... 2с„и Р~"~(О) = и.'с„, Р®(х): — 0 при Ус > и. Таким образом, полином Р„(х) можно записать в виде Р„(х) — Р~®(0) + Р®(0)х+ Р~ 2(0) хг+... + — Р~ )(0) х . Пример 26.
Используя формулу Лейбница и то обстоятельство, что производные от полинома, имеющие порядок вьппе его степени, тождественно равны нулю, можно найти и-ю производную функции /(х) = хг яп х: ~<"~(х) = в1п~"~х хг+ С„'в1п~" цх.2х+С~в1п~" ~2х = хвв1и(х+ п — ) + 2пхв!ивх В- (п — 1)-1»- 2/ 2/ -«(-п1п-1) в)и(х Ип-,)) = (х — и (и — 1)) яп ~х + и — ) — 2п х сов ~х + и — ) .
г / 2Г1 Я'1 2/ 2/ Пример 27. Пусть/(х) = агсСдх. Найдемзначения ~~")(0) (и =1,2,...). Поскольку /'(х) = —, то (1+ хг)/'(х) = 1, Применяя формулу Лейбница к последнему равенству, находим рекуррентную формулу (1+ хг) ~~"+~~(х) + 2пх~~"~(х) + п(п — 1)~~" ~2(х) = О, из которой можно последовательно найти все производные функции /(х). Полагая х = О, получаем При и = 1 имеем ~<г>(0) = О, поэтому вообще ~~~"~(0) = О, Для производных нечетного порядка имеем 208 ГЛ. »'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ и, поскольку ~'(О) = 1, получаем У(2»>+1) (0) ( Ц»>(2 ) ! Пример 28.
Ускорение. Если х = х(Ф) — зависимость от времени коорссх(С) динаты движущейся вдоль числовой оси материальной точки, то — = х(с) Ю Их(с) (Юх(с) есть скорость точки, а тогда — = — = х(с) есть ее ускорение в мосв си2 мент Ф. Если х($) = аФ + ф, то х(с) = с:с, а х(с) = О, т. е. ускорение в равномерном движении равно нулю. Вскоре мы проверим, что если вторая производная функции равна нулю, то сама функция имеет вид а$+ ф. Таким образом, в равномерных движениях и только в них ускорение равно нулю. Но в том случае, если мы желаем, чтобы наблюдаемое из двух систем координат движущееся по инерции в пустом пространстве тело в обеих системах двигалось равномерно и прямолинейно, нужно, чтобы формулы перехода из одной инерциальной системы в другую были линейными.
Именно по этой причине в примере 15 были выбраны линейные формулы (5) преобразования координат. Пример 29. Вторая производная простейшей сселвссо заданной фусссссссссс. Пусть Р = Р(с) и х = х(с) — дважды дифференцируемые функции. Предположим, что функция х = х(с) имеет дифференцируемую обратную функцию Ф = с(х), тогда величину у(с) можно считать зависящей неявно от х, ибо у = у(с) = у(с(х)). Найдем вторую производную у," в предположении, что х'(Ф) ~е О. По правилу дифференцирования такой функции, рассмотренному в пункте 5, имеем ! Рс у = > х,'' поэтому х ! ! х ус! хс усхсс ! ! Рхх (Ух)х ! = ! хс хс ! и в ! хс усс — хсс ус (жс) ( !)з Рс е с и (Рх)с е +се ! ! с с = с(с+ 1)е . с х' 1/~ ' ** х', 1/~ Мы специально взяли простой пример, в котором можно явно выразить Ф через х, Ф = е*, и, подставив $ = е в у(с) = е', найти явную зависимость Заметим, что явные выражения всех участвующих здесь функций, в том числе и Р,"„зависят от 8, но они дают возможность получить значение у,", в конкретной точке х после подстановки вместо 8 значения $ = с(х), отвечающего заданному значению х.
Например, если Р = е', х = 1п ~, то 209 $ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИ<В4>ЕРЕНЦИРОВАНИЯ у = е' от х. Дифференцируя последнюю функцию, можно проверить правильность полученных вьппе результатов. Ясно, что так можно искать производные любого порядка, последовательно применяя формулу Задачи и упражнения 1. Пусть ае, а1, ..., а„— заданные вещественные числа. Укажите многочлен Р (х) степени п, который в фиксированной точке хо Е К имеет производные Р~ (хо) = аъ, й = 0,1, ..., и.
2. Вычислите ~'(х), если а) 1(х) = р(- — ',) р ~о, 0 при х=О; х з1п — при х~О, р . 1 Ь) ~(х) = х о при х =О. с) Проверьте, что функция из задачи а) бесконечно дифференцируема на В, причем ~(")(0) = О. й) Покажите, что производная функции из задачи Ь) определена на Ж, но не является непрерывкой функцией на Й. е) Покажите, что функция 1 1 Дх) = (1+х)~ (1 — х)~ 0 при 1 < ~х~ бесконечно дифференцируема ка Й.
3. Пусть | Е С( 1(К). Покажите, что при х ~ 0 4. Пусть 1 — дифференцируемаа на К функция. Покажите, что: а) Если ~ — четная, то у' — нечетная функция. Ь) Если у — нечетная, то ~' — четная функция. с) (1~ нечетка) ~=Ь (~ четка). 5, Покажите, что: а) Функция ~(х) дифференцируема в точке хо в том и только в том случае, когда ,1 (х) — ~(хе) = у(х)(х — хо), где у(х) — функция, непрерывная в хо (и в таком случае ~Р(хо) = У (хо)). Ь) Если У(х) — У(хо) = <р(х)(х-хо) и ср б С(" '1(У(хо)), где У(хо) — окрестность точки хо, то функция ~(х) имеет в точке хе производную ~~" ~(хе) порядка и, ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 210 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
