В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 41
Текст из файла (страница 41)
рис, 15), что если отображение (24) есть приращение ординаты графика функции у = у(х) при переходе аргумента из точки хд в точку хо + Ь, то дифференциал (23) дает приращение ординаты касательной к графику функции при том же приращении Ь аргумента. 1~Это — небольшое отклонение от наиболее распространенного обозначения Т Р. или тхо(Н 4. Роль системы координат. Аналитическое определение 4 касательной может вызвать некоторую не вполне осознанную неудовлетворенность, Мы постараемся сформулировать, что именно может составить предмет этой неудовлетворенности.
Однако прежде укажем одну более геометрическую конструкцию касательной к кривой в некоторой ее точке Рд (см. рис. 15). ~ Ь ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 181 Возьмем произвольную точку Р кривой, отличную от Ро. Прямая, определяемая парой точек Ро, Р, как уже отмечалось, называется секущей по отношению к кривой. Заставим теперь точку Р вдоль кривой стремиться к точке Ро. Если при этом секущая будет стремиться к некоторому предельному положению, то это предельное положение секущей и есть касательная к кривой в точке Ро, Такое определение касательной при всей его наглядности в данный момент для нас неприемлемо потому, что мы не знаем, что такое кривая, что значит «точка стремится к другой точке вдоль кривой» и, наконец, в каком смысле надо понимать «предельное положение секущей». Вместо того чтобы уточнять сейчас все эти понятия, мы отметим основную разницу между двумя рассмотренными определениями касательной.
Второе было чисто геометрическим, не связанным (во всяком случае, до уточнений) с какой бы то ни было системой координат. В первом же случае мы определили касательную к кривой, являющейся в некоторой системе координат графиком дифференцируемой функции. Естественно может возникнуть вопрос, не получится ли так, что если эту кривую записать в другой системе координат, то, например, соответствующая функция перестанет быть дифференцируемой или будет дифференцируемой, но в результате новых вычислений мы получим другую прямую в качестве касательной. Этот вопрос об инвариантности, т. е.
независимости от системы координат, всегда возникает, когда понятие вводится с помощью некоторой системы координат. В равной степени этот вопрос относится и к понятию скорости, которое мы обсуждали в пункте 1 и которое, кстати, как это уже отмечалось, включает в себя понятие касательной. Точка, вектор, прямая и т. д. имеют в разных системах координат разные численные характеристики (координаты точки, координаты вектора, уравнение прямой).
Однако, зная формулы, связывающие две системы координат, всегда можно по двум однотипным числовым представлениям выяснить, являются ли они записью в разных системах координат одного и того же геометрического объекта или нет. Интуиция подсказывает нам, что процедура определения скорости, описанная в пункте 1, приводит к одному и тому же вектору независимо от системы координат, в которой проводились вычисления. В свое время,при изучении функций многих переменных, мы подробно обсудим подобного рода вопросы. Инвариантность определения скорости относительно различных систем координат будет проверена уже в следующем параграфе. Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных примеров, подведем некоторые итоги.
Мы столкнулись с задачей математического описания мгновенной скорости движущегося тела. Эта задача привела к задаче аппроксимации заданной функции в окрестности исследуемой точки линейной функцией, что в геометрическом плане 182 ГЛ. ~. ДИФ4>ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ У~( ) 1 У( ) У(хо) ЕЭх-+*о Х вЂ” ХО Физический смысл производной — скорость изменения величины Дх) в мо- мент хо, геометрический смысл производной — уг ьовой коэффициент каса- тельной к графику функции у = ~(х) в точке (хо, Дхо)). 5. Некоторые примеры Пример 1. Пусть Дх) = з1пх.
Покажем, что ~'(х) = созх. я1п(х+ Ь) з. 2з1п~ — ! соя ~х+ — ! 1пп = 1пп л-+О Ь ло Ь я1п = 1пп соз1х+ — ) 1пп = созх. л-+о ~ 2) л-+о 2 Мы воспользовались теоремой о пределе произведения, непрерывностью функции соях, эквивалентностью з1п1 ~ при ~ -+ О и теоремой о пределе композиции. Пример 2. Покажем, что соз'х = — з1пх.
— 2яш — зш х+— Ь Ь яш = — 1пп з1п ~х + -) . 1пп = — яш х. л- о ~ 2) л-+о Ь соя(х+ Ь) — созх ° ф 1пп — 1ш1 л-+о Ь л-~о привело к понятию касательной. Функции, описывающие движение реальной механической системы, предполагаются допускающими такую линейную аппроксимацию. Тем самым среди всех функций естественно выделился класс дифференннруемых функций. Было введено понятие дифференциала функции в точке как линейного отображения, определенного на смещениях от рассматриваемой точки, которое с точностью до величины бесконечно малой по сравнению с величиной смещения описывает поведение приращения дифференцируемой функции в окрестности рассматриваемой точки.
Дифференциал ф'(хр)Ь = ~'(хо)Ь вполне определяется числом ~'(хо)— производной функции ~ в точке хо, которое может быть найдено предельным переходом 183 $1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ Пример 3. Покажем, что если ~(Ф) = т соз ы 1, то ~'(1) = -гм яп м Ф. т созш(1 + Ь) — Г сов(48 . 1, 2 / ~ 2/ 1пп — г 1пп Ь-+О 21 Ь-+О = — т 1пп яцын+ — ) 1пп = — гыв1пы1. ° Л+О ~ 2 Ь+О ( 2 Пример 4. Если Д(Ф) = тз1пш1, то ~'(1) = гшсозю1. ~ Доказательство аналогично разобранным в примерах 1 и 3. ~ П р и м е р 5, Мгновенная скоростпь и ускорение матпериаяьной точки.
Пусть материальная точка движется в плоскости и в фиксированной системе координат закон ее движения описывается дифференцируемыми функциями от времени х = х(1), у = у(Ф) или, что то же самое, вектором Как мы выяснили в пункте 1 настоящего параграфа, скорость точки в момент Ф есть вектор у(1) = г(1) = (х(Ф),у(Ф)), где х(1), у($) — производные функций х($), у(1) по времени 1, Ускорение а(й) есть скорость изменения вектора тг(Ф), поэтому а(й) = Ф(й) = г(Ф) = (х(й), у(й)), где х(Ф), у'(й) — производные по й функций х(Ф), у(й), или так называемые вторые производные функций х(1), у(1).
Таким образом, по смыслу физической задачи функции х(Ф), у($), описывающие движение материальной точки, должны иметь и первые и вторые производные. Рассмотрим, в частности, равномерное движение точки по окружности радиуса т. Пусть ь,2 — угловая скорость точки, т. е. величина центрального угла, на который перемещается точка за единицу времени. В декартовых координатах (в силу определений функций созх, япх) это движение запишется в виде г(8) = (гсоз(и1+ о), тз1п(мФ+ а)), а если г(0) = (т, О), то в виде г(Ф) = (тсовшй, тв1пмй). ГЛ.
у'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Без ограничения общности дальнейших выводов и для сокращения записи будем считать, что г(0) = (т, 0). Тогда в силу результатов примеров 3 и 4 ъ(Ф) = г(Ф) = ( — гмв1пыФ, тысовы$). Из подсчета скалярного произведения (~(1), г(1)) = — г~м в1пмФ совы1+ т~ы созм1 япм~ = О, как и следовало в этом случае ожидать, получаем, что вектор ч(1) скорости ортогонален радиус-вектору г(1) и направлен по касательной к окружности. Далее, для ускорения имеем а(й) = Ф(й) = г(й) = ( — тс гсовюй, — тс гв1пый), т. е.
а(Ф) = -шг г(Ф) и ускорение, таким образом, действительно центро- стремительное, ибо имеет направление, противоположное направлению век- тора г(Ф). Далее, 1ч(1) 1г ~Р ~а(й)~ = ы ~г(й)~ = ы г = ' г 1 г У (хо) = 1ш1 2р 2р 1 хо = — 1ип (х+ хо) = -хо. 1 х-+*о х — хо 2р *-у*о р Значит, искомая касательная имеет уравнение 1 г 1 у — — хо —— — хо(х — хо) 2р р или 1 хо(х — хо) — (у — уо) = От р (25) 1 г где ро = — хог. 2р где е = ~~(Ф)~.
' Подсчитаем, исходя из этих формул, например, величину скорости низкого спутника Земли. В этом случае т совпадает с радиусом Земли, т. е. т т т 6400 км, а ~а(й)~ а д, где д а 10 м/сг — ускорение свободного падения у поверхности Земли. Таким образом, ег = ~а(Ф)~т 10 м/сг х 64 105 м = 64. 10в (м/с)г и е и 8 103 м/с. П ример 6. Оптпическое свовспьво параболическоео зеркала. Рассмотрим (рис. 16) параболу у = — хг (р > 0) и построим касательную к ней в 2р 1 г точке (хо уо) = (хо —.хчу). ' 2р Поскольку 1'(х) = — хг, то 1 2р 185 $1.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ если хФО, если х=О. У0) Рис. 16 Рис. 17 Вектор и = — -х0, 1, как видно из последнего уравнения, ортогонален 1 Р прямой (25). Покинем, что векторы е„= (О, 1) и еу = < — хо, Р— ро) обрвчуют '2 с п равные углы. Вектор еи есть единичный вектор направления оси Ор, а / 1 еу — вектор, нвпрвввенныи ив точки кипении (хв, ре) = (хо — хо) < О, -! — фокус параболы. Итак, р~ (е„, п) 1 сове„п = ~еи~)п~ )п~' Р 1 г + ХО 2 2р 1 2 р 1 2 (е п) х0 2 хо соя е йпв ~еу~)п~ '<п~ Таким образом, показано, что волновой источник, помещенный в точке < О, Р— в фокусе параболического зеркала, даст пучок, параллельный оси Ор зеркала, а приходящий параллельно оси Ор пучок зеркало пропустит через фокус (см. рис.
16). П р и м е р 7. Этим примером мы покажем, что касательная является всегонавсего лучшим линейным приближением графика функции в окрестности точки касания и вовсе не обязана иметь с ним единственную общую точку, как это было в случае окружности и как это вообще имеет место в случае выпуклых кривых. (О выпуклых кривых будет специальный разговор.) Пусть функция ~(х) задана в виде х 01п-, если х ф О, 2 ~(х) = О, если х = О. График этой функции изображен на рис. 17. ГЛ.
У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 18б Найдем касательную к графику в точке (О, О). Поскольку Х 81п — — 0 г 1 ~'(0) = 1пп * = оп ха1п — =О, х+О Х 0 х+О Х то касательная имеет уравнение р — 0=0 (х — 0), или просто у = О. Таким образом, в нашем примере касательная совпадает с осью Ох, с которой график имеет бесконечное количество точек пересечения в любой окрестности точки касания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
