В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Теперь, после того как теорема 4 доказана, полезно вновь вернуться к разобранным выше примерам непрерывных, но не равномерно непрерывных функций и выяснить, как, например, функция аш х~, равномерно непрерывная по теореме Кантора на каждом отрезке вещественной прямой, оказывается не равномерно непрерывной на К. Причина здесь вполне аналогична той, по которой вообще непрерывная функция может оказаться не равномерно непрерывной. На сей раз мы предоставляем читателю возможность самостоятельно разобраться в этом вопРосе. Теперь перейдем к последней теореме параграфа — теореме об обратной функции, Нам предстоит выяснить условия, при которых непрерывная на отрезке вещественнозначная функция имеет обратную и в каких случаях эта обратная функция непрерывна. Утверждение 1.
Непрерывное отпображение ~: Е -+ К отпрезка Е = = ~а,Ь] в К инъектпивно в тпом и тполько в твом случае, когда функция ~ стпрого монотпонна на отпрезке (а, дд]. 4 Если функция т" возрастает или убывает на произвольном множестве Е С К, то отображение ~: Е -+ К, очевидно, инъективно: в различных точках множества Е функция принимает различные значения. Таким образом, наиболее содержательная часть утверждения 1 состоит в том, что всякое непрерывное инъективное отображение ~: [а, 6] -+ К отрезка осуществляется строго монотонной функцией. Предположив, что это не так, мы найдем три точки хд < хр < хз отрезка ~а, 6] такие, что ~(х~) не лежит между ~(хд) и т (хз).
В таком случае либо ~(хз) лежит между т(хд) и ~(хг), либо Дхд) лежит между т(х~) и д (хз). Пусть для определенности имеет место последняя из двух указанных возможностей. По условию функция ~ непрерывна на отрезке (х2,хз], и потому (см, следствие теоремы 2) на нем есть точка х', такая, что Дхд) = Дхд). Таким образом, хд < х', и ~(хд) = т(хд), что несовместимо с инъективностью отображения. Случай, когда Дхз) лежит между Дхд) и ~(хр), разбирается аналогично. ~ Утверждение 2, Каждая стпрого монотпонная функция ~: Х -+ К, определенная на числовом множестпве Х С К, обладаетп обратпной функцией д: У -+ К, котпорая определена на множестве У = ~(Х) значений функции ,т и имеетп на 1' тпотп же характпер монотпонностпи, какой имеетп функция т на множестве Х. $2.
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 1бЗ ~ Отображение ~: Х -+ У = ~(Х) сюръективно, т. е. является отображением на множество У. Пусть для определенности ~: Х вЂ” + У возрастает на Х. В этом случае Чхг Е Х Чх2 Е Х (хг < х2 ~ Дхг) < ~(х2)). (1) Таким образом, отображение ~: Х +.
У в различных точках принимает различные значения, т, е, оно инъективно. Следовательно, ~: Х -+ У биективно, т. е. ~ — взаимно однозначное отображение Х на У. Значит, определено обратное отображение ~ ': У + Х, задаваемое формулой х = ~ 1(у), если у = ~(х). Сопоставляя определение отображения ~ ~: У -+ Х с соотношением (1), приходим к соотношению Чуг Е У Чу2 Е У (~ (уг) < ~ (у2) ФФ уг < у2)> (2) означающему, что функция ~ ' возрастает на области своего определения.
Случай, когда ~: Х + У убывает на Х, очевидно, разбирается аналогично. ° В соответствии с доказанным утверждением 2, если интересоваться непрерывностью функции, обратной к вещественнозначной функции, полезно исследовать условия непрерывности монотонных функций. Утверждение 3. Функтгия ~: Е -+ Ж, монотпонная на множестпве Е г.
С Й, можетп иметпь на Е разрывы тполько первого рода. М Пусть, для определенности, ~ — неубывающая функция. Предположим, что а Е Е есть точка разрыва функции ~. Поскольку а не может быть изолированной точкой множества Е, то а — предельная точка по крайней мере для одного из двух множеств Ео = (х Е Е ~ х < а), Е+ = (х Е Е ~ х > а).
Поскольку ~ — неубывающая функция, для любой точки х Е Е имеем ~(х) < Да) и ограничение ~~, функции ~ на множество Е, оказывается неубывающей а ограниченной сверху функцией. Тогда существует предел 1пп ф )(х) = 1пп ~(х) = Да — О). Е, Эх>о Аналогично доказывается существование предела 1пп Дх) = ~(а+ О), ЕЭх-+о+О если а — предельная точка множества Е+. Случай, когда ~ — невозрастающая функция, можно либо разобрать, повторив проведенное доказательство, либо, перейдя к функции — ~, свести дело к уже рассмотренному случаю.
В Следствие 1. Если а — точка разрыва монотпонной функции ~: Е + К, тпо по крайней мере один из пределов 1пп ~(х) = ~(а — 0), 1ип Дх) = Да+ 0) ЖЭх->о-О ЕЭх»о+О 164 ГЛ. 1Ч. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ определен; по крайней мере в одном из неравенстпв ~(а — О) <,1(а) < ~(а +О), если ~ — неубывающая (или Да — О) > Да) > ~(а+ О), если ~ — невозрастпающая) функция, имеетп место знак стпрогого неравенства; в интервале, определяемом эшим стпрогим неравенстпвом, нет ни одного значения функции; указанные интпервалы, отпвечающие различным точкам разрыва монотпонной функции, не пересекаютпся. ~ Действительно, если а — точка разрыва, то она предельная для множества Е и в силу утверждения 3 является точкой разрыва первого рода.
Таким образом, по крайней мере одна из баз Е Э х -+ а-0, Е Э х -+ а+О определена и по ней (а в случае определенности обеих баз — по каждой из них) существует предел функции ~. Пусть, для определенности, 1 — неубывающая функция. Поскольку а — точка разрыва, то по крайней мере в одном из неравенств ~(а — О) < ~(а) < Да+ О) на самом деле имеет место строгое неравенство. Поскольку Дх) < 11пт Дх) = Да — О), если х Е Е и х < а, и, аналогично, ЕЭх-»а-О ~(а+ О) < Дх), если х е Е и а < х, то интервал, определяемый строгим неравенством Да — О) < )".(а) или 1 (а) < Да+ О), действительно свободен от значений функции. Пусть а1, ар — две различные точки разрыва функции, и пусть а1 < а~.
Тогда, в силу неубывания функции ~, имеем ~(ад — О) < ~(а1) < ~(а1+О) <,1х(а2 — О) < ~(ар) < ~(а~+О). Отсюда следует, что не содержащие значений функции интервалы, отвечающие различным точкам разрыва, не пересекаются. ~ Следствие 2.
Множестпво точек разрыва монотпонной функции не оолее чем счетно. ° я С каждой точкой разрыва монотонной функции свяжем, по следствию 1, интервал, определяемый значением функции в точке разрыва и одним из пределов функции при приближении аргумента справа или слева к точке разрыва. Эти интервалы не пересекаются.
Но на прямой может быть не более чем счетное множество непересекающихся интервалов. В самом деле, в каждом из них можно выбрать по рациональной точке, и тогда множество интервалов окажется равномощным подмножеству счетного множества Я всех рациональных чисел. Значит, оно само не более чем счетно. Вместе с ним, таким образом, не более чем счетно и равномощное ему по построению множество точек разрыва монотонной функции. 9» У т ве р ж д е н ие 4 (критерий непрерывности монотонной функции). Монотонная функция ~: Е -+ й, заданная на отпрезке Е = [а, Ь|), непрерывна на нем тпогда и только тпогда, когда множестпво ~(Е) ее значений само является отпрезком с концами1) ~(а) и ~(Ь).
11 При этом )'(а) (,т(Ь), если,т — неубывающая, и т(Ь) ( у(а), если т" — невозрастающая функция. $2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 165 м Если т — непрерывная монотонная функция, то ввиду монотонности ~ все значения, которые функция принимает на отрезке [а, Ь], лежат между значениями Да) и ДЬ), которые она принимает в концах отрезка, Ввиду непрерывности функции она обязана принимать также и все промежуточные значения между Да) и ДЬ). Таким образом, множество значений функции, монотонной и непрерывной на отрезке [а, Ь], действительно является отрезком с концами Да) и ~(Ь). Докажем теперь обратное утверждение, Пусть ~ — монотонная на отрезке [а, Ь) функция. Если она разрывна в некоторой точке с [= [а, Ь], то по следствию 1 утверждения 3 один из интервалов )~(с — О), ~(с)[, )~(с), ~(с+ О)[ заведомо определен и в нем нет значений нашей функции.
Но ввиду монотонности функции этот интервал содержится в отрезке с концами ~(а), т(Ь), поэтому если на отрезке [а, Ь) монотонная функция имеет хотя бы одну точку разрыва, то весь отрезок с концами Да), ДЬ) не может лежать в области значений функции. ~ Т е о р е м а 5 (теорема об обратной функции). Функция ~: Х -+ К, строго монотпонная на множестпве Х С К, имеетп обратную функцию т т: У вЂ” т -+ К, определенную на множестве У = У(Х) значений функции ~.
Функция 1: У' -+ К монотонна и имеетп на У тпот же вид монотонности, какот1 имеет функция ~: Х вЂ” ) К на множестпве Х. Если, кроме тпого, Х есть отрезок [а, Ь) и функция ~ непрерывна на нем, тпо множестпво У = ~(Х) есть отпрезок с концами т(а), ~(Ь) и функция ~ ': У + К непрерывна на нем. ~ Утверждение теоремы о том, что в случае Х = [а, Ь) и непрерывности т' множество У = ~(Х) есть отрезок с концами ~(а), ~(Ь), следует из доказанного выше утверждения 4.
Остается проверить, что ~ '. У -+ К вЂ” непрерывная функция. Но ~ ' монотонна на У, У есть отрезок и т 1(У) = Х = [а, Ь)— тоже отрезок. В силу утверждения 4 заключаем, что функция ~ ' непрерывна на отрезке У с концами ~(а), ~(Ь). ~ Пример 8. Функция у = Дх) = япх возрастает и непрерывна на оттг тг1 Г тг тг1 резке [ — —, З]. Зиачит, огрвиичеиие зтои фуикции ка отрезок [ — —, т] имеет обратную функцию х = ~ '(у), обозначаемую х = агсвшу, определенную на отрезке [еш [ — 1 еш [-)[ = [-1 Ц возрастающую от -- до — ииеорервов 2 2 ную на этом отрезке. Пример 9.
Аналогично, ограничение функции у = совх на отрезок [О, тг) есть убывающая непрерывная функция, которая в силу теоремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую х = агссову, определенную на отрезке [ — 1, Ц и убывающую на нем от значения тг до значения О. Пример 10. Ограничение функции у = Сдх иа иитерва» Х = ] — —,-[ есть возрастающая от — оо до +оо непрерывная функция, которая в силу первой части теоремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую х = агсй8у, 166 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
