В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 34
Текст из файла (страница 34)
150 ГЛ. Гн'. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2' Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким образом, к тому случаю, когда а Е Е и а — предельная точка множества Е. Из определения 1 видно, что (~: Е -+ К непрерывна в и Е Е, еде а — предельная )почка Е) ~=~ аа ( !!т Дх) = Да)). ЕЭх — еа ° я В самом деле, если а — предельная точка Е, то определена база Е ) х -+ а О проколотых окрестностей с)е(а) = с"е(а) ~ а точки а, Если ~ непрерывна в точке а, то, найдя для окрестности Ъ'Ща)) окрестность с'е(а) такую, что ~(с)е(а)) С У®а)), мы одновременно будем иметь 0 Дс!е(а)) С $'(~(а)) ивсилуопределенияпредела,такимобразом, 1пп Дх) = = ~(а). Е Эх + а Обратно, если известно., что 1ш1 ~(х) = Да), то по окрестности Ъ'®а)) ЕЭх-ра О О найдем проколотую окрестность с'е(а) так, что ДУе(а)) С У(Да)).
Но поскольку ~(а) Е Ъ'(~(а)), то тогда и ДУе(а)) С Ъ'Ц'(а)). В силу определения 1 это означает, что функция ~ непрерывна в точке а е Е. ь 3' Поскольку соотношение 1пп ~(х) = ~(а) можно переписать в форме ЕЭх-ра мы теперь приходим к полезному заключению, что непрерывные в точке функции (операции) и только они перестановочны с операцией предельного перехода. Это означает, что то число Да), которое получается при выполнении операции ~ над числом а, можно сколь угодно точно аппроксимировать значениями, получаемыми при выполнении операции ~ над соответствующими заданной точности приближенными значениями х величины а.
4' Если заметить, что при а Е Е окрестности с'е(а) точки а образуют базу 8, (независимо от того, является ли а предельной или изолированной точкой множества), то мы увидим, что само определение 1 непрерывности функции в точке а совпадает с определением того, что число ~(а) — значение функции в точке а — является пределом функции ~ по этой базе, т. е. У: Я -! Й непрерывна в а Н и) аа (!1т У(х) = У(а)). В 5' Заметим, однако, что если 1пп ~(х) существует, то, поскольку а е с'е(а) Ва для любой окрестности с)е(а), этот предел неизбежно оказывается равным У(а) Таким образом, непрерывность функции ~: Е -+ Ж в точке а б Е равносильна существованию предела этой функции по базе 8, окрестностей (но не проколотых окрестностей) !.)е(а) точки а в Е.
151 1 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ Итак, (У: Е -е Е ненрервыне е а Е Е) ав (В )ат ~(н)). В б' В силу критерия Коши существования предела теперь можно сказать, что функция непрерывна в точке а е Е тогда и только тогда, когда для любого е > О найдется окрестность Уе(а) точки а в Е такая, на которой колебание м® бе(а)) функции меньше е. Определение 2. Величина ш(~;а) = 11ш ~(~;Сед(а)) (где У~Е(а) есть Ю-++О о-окрестность точки а в множестве Е) называется колебанием функции ~: Е -» К в тпочке а. Формально символ ш® Х) уже занят, он обозначает колебание функции на множестве Х. Однако мы никогда не будем рассматривать колебание функции на множестве, состоящем из одной точки (это колебание, очевидно, равно нулю); поэтому символ м®а), где а — точка, всегда будет обозначать то понятие колебания функции в точке, которое мы только что ввели определением 2.
Колебание функции на подмножестве не превышает колебания функции на множестве, поэтому величина м® У~е(а)) есть невозрастающая функция от о. Поскольку она неотс ицательна, то либо она имеет конечный предел при о -+ +О, либо при любом д > О выполнено ~)® У~в(а)) = +со. В последнем случае естественно полагают м® а) = +со. 7' Используя определение 2, сказанное в б теперь можно резюмировать так: функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее колебание в этой точке равно нулю, Зафиксируем это: (~: Е -+ К непрерывна в а Е Е) С=» (~)® а) = О). Определение 3. Функция ~: Š— » К называется непрерывной на множеспзве Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е, Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на множестве Е, условимся обозначать символом С(Е; К) или, короче, С(Е), Мы обсудили понятие непрерывности функции. Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Пример 1. Если ~: Е -» К вЂ” постоянная функция, то ~ б С(Е). Это утверждение очевидно, ибо ДЕ) = с С $'(с), какова бы ни была окрестность Ъ'(с) точки с)= К. Пример 2. Функция ~(х) = х непрерывна на К. Действительно, для любой точки хо б К имеем ~Дх) — ~(хо) ~ = )х — хо~ < е, как только ~х — хо~ < о = е.
ГЛ. ГЧ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ П р и м е р 3. Функция Дх) = а1п х непрерывна на К. В самом деле, для любой точки хо б К имеем х+хо . х — хо )ввпх — ввпхо! = ~2сов всп ~ < 2 2 < 2 )всп — о) < 2 ) о ) = )х — хо) < в, как только ~х — хо~ < 6 = е. Мы воспользовались неравенством ~а1пх~ < ~х~, доказанным в гл. Ш, ~ 2, п.26, пример 9, П р и м е р 4. Функция ~(х) = соя х непрерывна на К. Действительно, как и в предыдущем примере, для любой точки хо 6 К имеем )сов х — санхо) = ) — 2в!и в!и ) < х+хо . х — хо 2 2 < 2 ) всп о ( < ~х — хо~ < в, 2 как только ~х — хо~ < о = е. Пример 5.
Функция Дх) = ах непрерывна на К. Действительно, по свойству 3) показательной функции (см. гл. П1, ~ 2, п. Ы, пример 10а) в любой точке хо Е К имеем ах ахо в х-Фхо что, как мы теперь знаем, равносильно непрерывности функции ах в точке хо. Пример 6. Функция Дх) = 1ояох непрерывна в любой точке хо Е К+ области определения К+ —— 1х Е К ~х > О). В самом деле, по свойству 3) логарифмической функции (см.
гл. Ш, ~ 2, и. 2с1, пример 10Ь) в любой точке хо Е К+ имеем 1пп 1оя, х = 1ояо хо, И+ Э х ~хо что равносильно непрерывности функции 1ояо х в точке хо. Попробуем, кстати, по заданному е > 0 найти окрестность Уи+(хо) точки хо так, чтобы в любой точке х Е Уи+(хо) иметь 11од,х — 1од,хо! < е. Это неравенство равносильно соотношению — е < 1оя, — < е. хо Пусть для определенности а > 1; тогда последнее соотношение равносильно условию хоа '<х<хоа', » 1.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ Интервал ]хоа ', хоа'1 и есть искомая окрестность точки хо, Полезно обратить внимание на то, что эта окрестность зависит как от величины е, так и от самой точки хо, чего не наблюдалось в примерах 1 — 4. Пример 7. Любая последойательность ~: 1Ч -+ К есть функция, непрерывная на множестве И натуральных чисел, поскольку каждая точка множества 1Ч является его изолированной точкой. 2. Точкя разрыва.
Для того чтобы лучше освоиться с понятием непрерывности, выясним, что происходит с функцией в окрестности той точки, где она не является непрерывной. Определение 4. Если функция ~: Е -+ К не является непрерывной в некоторой точке множества Е, то эта точка называется «почкой разрыва функции ~. Построив отрицание к утверждению «функция ~: Е -+ К непрерывна в точке а Е Е», мы получаем следую1цую запись определения того, что а— точка разрыва функции ~: а е Š— точка разрыва функции ~:= = ЭЪ'Ща)) УТКИН(а) Эх Е Ое(а) ®х) ф Ъ"(~(а))). Иными словами, а ŠŠ— точка разрыва функции ~: Е -+ К, если найдется такая окрестность У®а)) значения Да) функции в точке а, что в любой окрестности Уе(а) точки а в множестве Е найдется точка х е Уе(а), образ которой не содержится в 1~(~(а)).
В е — о-форме это же определение выглядит так: Эя > 0 ЧЮ > 0 Эх Е Е (~х — а! ( 6 л ~У(х) — У(а)~ > я). Рассмотрим примеры. Пример 8. Функция Дх) = яяпх постоянна и, значит, непрерывна в окрестности любой точки а б К, отличной от нуля. В любой же окрестности нуля ее колебание равно 2. Значит, 0 — точка разрыва функции аяпх. Заметим, что функция имеет в точке 0 и предел слева 1пп яяпх = -1, и прех-+-О дел справа 1ип яяпх = 1, но, во-первых, они не совпадают между собой, а х-++О во-вторых, ни один из них не совпадает со значением яяпО = 0 функции в точке О.
Это прямая проверка того, что Π— точка разрыва функции. Пример 9. Функция ~(х) = ~ядпх~ имеет предел 1ип ~в~пх~ = 1 при х-+О х -+ О, но ~(О) = ~ЕЛО~ = О, поэтому 1пп Дх) ф ДО) и 0 — точка разрыва х-+О функции. Заметим, однако, что в данном случае, изменяя значение функции в точке О и полагая его равным 1, мы получим функцию, непрерывную в точке О, т. е.
устраним разрыв. ГЛ. ~Ж. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 154 Определение 5. Если точка разрыва а б Е функции ~: Е-+ К такова, что сУществУет непРеРывнаЯ фУнкциЯ ~: Е -+ К такал, что Де~а —— ~~е~„то а называется точкой устпранимого разрыва функции ~: Е -+ К, Таким образом, точка устранимого разрыва характеризуется тем, что существует предел 1пп Дх) = А, но А ~ ~(а), и достаточно положить ЕЭх-+а Дх) при х Е'Е, х фа, А при х=а, как мы уже получим непрерывную в точке а функцию ~: Е -+ К.
Пример 10. Функция 1 яп — при хфО, 0 при х=О разрывна в точке О. При этом она даже не имеет предела при х -+ О, ибо, как было показано в гл. П1, ~ 2, и. 1, пример 5, не существует предела 1пп яп —, 1 1 х-+О 1рафик функции яп — изображен на рис. 12. х Рис. 12 Примеры 8, 9 и 10 поясняют следующую терминологию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
