В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Действительно, пусть х1 — — 1оя„у1 и х2 = 1оя„у2. Тогда у1 — — а*', у2 — — а*' и по 2) у1 у2 — — а*' а*' = = а*'+*', откуда 1оя (у1 . у2) = х1 + х2. 122 ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ Аналогично, свойство 4) показательной функции влечет свойство 4') логарифмической. Очевидно, 5) =Ф 5').
Осталось доказать 3'). В силу свойства 2') логарифма 1оК, у — 1оК, уо — — 1оК, 1 у~ позтому неравенства -е < 1оК,У вЂ” 1оК уо (е равносильны соотношению 1ОКа1,а ) — Е ( 1ОКа ( Е 1ОКа(а )~ Уо которое по свойству 4') логарифма равносильно — а < — (а е у х Уо при а>1, а « — а' Уо при 0<а<1.
В любом случае мы получаем, что если уоа ' ( у < уоа' при а > 1 или уоа' ( у < уоа ' при 0 < а ( 1, то — Е ( 1ОКа У вЂ” 1ОК, УО ( Е. Таким образом, проверено,что 1ип 1оКау = 1оК уо. н+эу — ~уоен+ Рис. 9 На рис. 9 изображены графики функций е*, 10*, 1пх, 1оКи,х = ,~ 1 ~ х =: 1оКх, а на рис.
10 — графики функций ~-~, 10,1)*, 1ОК1~,х, 1оКо1х. Остановимся еще на одном свойстве логарифма, которым тоже часто приходится пользоваться. 123 $2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ (0, (1,/е) Щ1 ел Рис. 10 Покажем, что для любого Ь > 0 и любого а Е К справедливо равенство 6') 1о~ (Ь") = а1од,Ь. ~ 1' Равенство справедливо при а = и е Ы, ибо из свойства 2') логарифма по индукции получаем 1од,(у~...
у„) = 1оя, у~ +... + 1од, у„, значит, 1ОД,(Ь") = 1ОД, Ь+... + 1ОД, Ь = и 10$, Ь. 2' 1ои,(Ь ') = — 1ои, Ь, ибо если,О = 1од, Ь, то Ь '=а д и 1ои,(Ь ')= — ~3. 3 Из 1' и 2' теперь заключаем, что для а Е У равенство 1ои,(Ь") = а 1ои Ь справедливо. 4' 1о~,(Ь'~") = — 1ои, Ь при и б У. Действительно, ~ а 1ои, Ь = 1ои, (Ь'~")" = и 1о~„(Ь'~"). 5' Теперь можно проверить, что для любого рационального числа а = — Е в Е Я утверждение справедливо. В самом деле, — ои, Ь = т 1ои, (Ь'~") = 1од, (Ь~~") = 1оя, (Ь ~").
6' Но если равенство 1оя, Ь' = т 1ои, Ь справедливо для любого г е Ц, то, устремляя т по Я к а, на основании свойства 3) показательной и свойства 3') ГЛ. 1П. ПРЕДЕЛ 124 логарифмической функций получаем, что если т достаточно близко к а, то Ь" близко к Ьа и 1одо У близко к 1оя„Ьа. Это означает, что 1пп 1о~ Ь' = 1ояо Ьа.
ЯЭ~ -+а Но 1ояо У = г 1оя Ь, поэтому 1одо Ь = 1ип 1оя„Ь" = 1пп т1о~о Ь = а1ояо Ь, ° ЯЭг-»а ЯЭт-«а Из доказанного свойства логарифма можно сделать вывод, что для любых а,,8 б Ж и а > 0 имеет место равенство 6) (аа)Д = аале. ° я При а = 1 считаем, по определению, 1а = 1 для а Е Й. Таким образом, в этом случае равенство тривиально. Если же а ф 1, то по доказанному 1одо((а~)д) =,81од,(а ) = 8 а1оя а =,8 а = 1од,(а~д), с) Степенная функция.
Если считать 1а = 1, то при любом х > 0 и а Е К мы определили величину ха (читается «х в степени а»). Определение 10. Функция х «-+ ха, определенная на множестве К+ положительных чисел, называется степенной функцией, а число а называется показателем стеиени.
Степенная функция, очевидно, является композицией показатель- ной и логарифмической функций, точнее, Ха а1оя (ж") аа1оя « На рис. 11 изображены графики функции у = ха при различных значениях показателя степени. Рис. 11 3. Общее определение предела функции (предел по базе).
Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств В1), Вр), указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта. что в силу свойства 4') логарифма доказывает справедливость указанного равенства.
° $2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Обозначение базы Определение и обозначение элементов базы Из каких множеств (элементов) состоит база Чтение обозначения У(а):= =(хай~а — б1< < х < а+ бг Л х ,-~ а), гдеб1 >О,бг>0 База проколотых окрестностей точ- ки а б Ж х стремится к а (~( о):= =(хЕЖ~б < ~х9, где б е Ж База окрестностей бесконечности х стремится к бесконечности Ув(а):= Е П У(а) База" ~ проколотых окрестностей точки а в множестве Е х -+ а, х Е Е х стремится к а по множеству Е Е Э х -+ а База" ~ окрестностей бесконечности в мно- жестве Е ЙЬ(оо):= Е П У(оо) х-+со, х» Е Е Э х -+ оо х стремится к бесконечности по множеству Е '> Предполагается> что а — предельная точка множества Е.
' > Предполагается, что множество Е не ограничено. Если Е = Е+ = (х б Й~х > а) (Е = Е,, = (х е К~х < а)), то вместо х -+ а, х б Е пишут х -+ а+ 0 (х -+ а — 0) и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При а = 0 принята краткая запись х -+ +О (х -+ -0) вместо х -+ О+ 0 (х -+ 0 — 0). а. База; определение и основные примеры Определение 11, Совокупность В подмножеств В С Х множества Х будем называть базой в множестве Х, если выполнены два условия: В,) ЧВ ~ В (В ~ а); Вг) ЧВ1 ЕВ 7ВгЕВ ЗВАЛИ (ВСВ1ПВг).
Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности. Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы. 12б ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ Запись Е Э х -+ а+ О (Е Э х -+ а — О) будет употребляться вместо х ~ а, х Е Е П Е+ (х -+ а, х Е Е П Е,, ). Она означает, что х стремится по множеству .Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.
Если Е = Е+ = (х е К~с < х) (Е = Е,, = ~х е К~х < с)), то вместо х -+ оо, х е Е пишут х -+ +со (х -+ -оо) и говорят, что х с«премитися к илокос бесконенностни (соответственно, к минус бесконечностпи). Запись Е Э х -+ +со (Е Э х -+ — оо) будет употребляться вместо х -+ оо, хЕЕПЕ+ (х — ~ос, хЕЕПЕ ). При Е = 1Ч вместо х -+ оо, х е М мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать 㫠— + оо.
Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси'). Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А, Картаном понятия предела по фильтру 2) .
Ь. Предел функции по базе Определение 12. Пусть ~: Х -+ К вЂ” функция на множестве Х; В— база в Х. Число А Е К называется пределом фрнкиии ~: Х -+ К ио базе В, если для любой окрестности Р(А) точки А найдется элемент В б В базы, образ которого ~(В) содержится в окрестности 1'(А). Если А — предел функции ~: Х вЂ” + К по базе В, то пишут 11шДх) = А. Повторим определение предела по базе в логической символике: Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного определения: 1пп ~(х) = А:= Че > О ЗВ б В Чх Е В (~.1'(х) — А~ < е).
11Например, совокупность открытых (беэ граничной окружности) кругов, содержащих данную точку плоскости, является базой. Пересечение двух элементов базы не всегда круг, но всегда содержит круг иэ нашей совокупности. э) Подробнее об этом см.: Бурбаки Н. Общая топология. М.: ИЛ, 1958. 127 ~ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В этой формулировке вместо произвольной окрестности Р(А) берется симметричная (относительно точки А) окрестность (я-окрестность).
Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрестности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!). Мы дали общее определение предела функции по базе. Вьппе были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В конкретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкретной базы. Так, 1пп ~(х) = А:= Чя > О Эб > О Чх Е~а — б,а~ (~~(х) — А~ < я), х-~а-О 1пп ~(х) = А:= Уе > О Эб Е К Чх < б (~Дх) — А~ < я).
Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрестности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответствии с общим определением предела разумно принять следующие соглашения: 1ппУ(х) = оо:= У$'(оо) ЭВ е В (У(В)) С $'(оо)) или, что то же самое, 11ш ~(х) = оо:= Че ) О ЭВ Е В Чх Е В (е < ~~(х)1)) 1пп~(х) =+со:= Че 6 К ЭВ Е В Ух 6 В (я < ~(х)), 11т~(х) = -оо:= Че 6 К ЭВ б В Чх Е В (Дх) я). Обычно под я подразумевают малую величину. В приведенных определениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми соглашениями, например, можем записать 1пп ~(х) = — оо:= Че б К Эб б К Чх) б (~(х) < я). Советуем читателю самостоятельно написать полное определение предела для различных баз в случае конечных (числовых) и бесконечных пределов.
Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы Е Э х -+ а,необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций. Определение 13. Функция ~: Х -+ К называется финально пос~иоянной при базе В, если существуют число А б К и такой элемент В Е В базы, в любой точке х Е В которого Дх) = А. ГЛ. П1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
