В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рассмотрим еще некоторые, поясняющие основное определение примеры. Пример 2. Функция 1 при х>0, 0 при х=О, -1 при х<0 (читается «сигнум хоц) определена на всей числовой оси. Покажем, что у нее нет предела при х, стремящемся к О, Это значит, что ЧА Е К ЗЪ'(А) ИУ(0) Зх Е с'(0) (~(х) ф Ъ'(А)), т. е., какое бы А (претендующее на то, чтобы быть пределом аяп х при х -+ 0) мы ни взяли, найдется такая окрестность Ъ'(А) точки А, что, какую бы (ма- о лую) проколотую окрестность с'(0) точки 0 ни взять, в ней есть по крайней о мере одна точка х б У(0), значение функции в которой не лежит в Р'(А), Поскольку функция Вяп х принимает только значения -1, О, 1, то ясно, что никакое число А, отличное от них, не может быть пределом функции, ибо оно имеет окрестность ~'(А), не содержащую ни одно из этих трех чисел.
Если же А Е ( — 1, 0,1), то возьмем в качестве 1~(А) е-окрестность точки А при е = 1/2. В такую окрестность заведомо не могут попасть одновременно о обе точки -1 и 1. Но, какую бы проколотую окрестность У(0) точки 0 ни взять, в ней есть как положительные, так и отрицательные числа, т. е. есть и точки х, где ~(х) = 1, и точки, где ~(х) = — 1. о Значит, найдется точка х е У(0) такая, что Дх) ф $'(А). Условимся, если функция ~: Е -+ К определена во всей проколотой окрест- о о о ности некоторой точки а Е К, т.
е. когда Уе(а) = Уи(а) = с'(а), вместо записи Е Э х -+ в употреблять более короткую запись х -+ а. П р и м е р 3. Покажем, что 1пп ~за х ~ = 1. х-«0 Действительно, при х Е К ~ 0 имеем ~вцпх~ = 1, т. е. функция постоянна о и равна 1 в любой проколотой окрестности с'(0) точки О. Значит, для любой о окрестности ~(1) получим ~(У(О)) = 1 Е Ъ'(1). Обратите внимание, что хотя в данном случае функция ~ щп х ~ и определена в самой точке 0 и ~адпО~ = О, но это значение не имеет никакого влияния на величину рассматриваемого предела. Таким образом, не следует смепшвать значение ~(а) функции в точке а с пределом 1пп ~(х) функции при х, стремящемся к а. х-оо 1~ Б1 рппп (хати.) — знак. 108 ГЛ.
П1. ПРЕДЕЛ Пусть К и К+ — множества отрицательных и положительных чисел соответственно. Пример 4. В примере 2 мы видели, что предел 1пп аяпх не сущеИах-+О ствУет. ЗамечаЯ, оДнако, что огРаничение 8Дп~и фУнкции 8Яп на К есть постоянная функция, равная — 1, а вяп~ есть постоянная, равная 1, можно, как и в примере 3, показать, что 1ип аяпх = 1, и+ Эх-+О 1пп аяпх = — 1, И Э -+О т. е. ограничение одной и той же функции на различные множества может иметь различные пределы в одной и той же точке или даже не иметь его, как это было в примере 2. я =(хев~т=, век) я~ — (тбв~т=, пбя), 1 к/2+ 2ка' то,подобно рассмотренному в примере 4,получаем,что и 1пп 81п — = 1.
1 Е+ ах-+О х 1пп 81п — = — 1 1 Е- Эх-+О Х Между изученным в предыдущем параграфе понятием предела последовательности и введенным здесь понятием предела произвольной числовой функции имеется тесная связь, которую выражает следующее Утверждение 11). Соотно1иение 1ип )'(х) = А имеет место тогда ЕЗх-~а и только тогда, когда длл любой последовательности (х„) точек х„б Е~а, сходлщейсл к а, последовательность 11'(х„)) сходится к А. ~> Его иногда называют утверждением о равносильности определений предела по Коши (через окрестности) и по Гейне (через последовательности). Э. Гейне (Хайне) (1821 — 1881) — немецкий математик. П р и м е р 5. Развивая идею примера 2, можно аналогично показать, что 1 функция аш — не имеет предела при х -+ О.
х о Действительно, в любой проколотой окрестности У(О) точки 0 всегда есть 1 1 точки вида и, где п Е Ы, в которых функция принима-я(2+ 2кп п(2+ 2кп' ет значения — 1 и 1 соответственно. Но оба эти числа не могут одновременно содержаться в г-окрестности Ъ'(А) точки А Е К, если г ( 1. Значит, ни одно число А Е К не может быть пределом этой функции при х + О. Пример б. Если ~2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ° То, что ( 1!т уСх) = А) т ( Ит уСх„) = А), срезу следует из определений. Действительно, если 1пп Дх) = А, то для любой окрестности Еэх — уа $'(А) точки А найдется проколотая окрестность 0е(а) точки а в Е такая, О что для х Е суе(а) имеем ~(х) Е Ъ'(А).
Если последовательность 1х„) точек множества Е ~ а сходится к а, то найдется номер М такой, что при и ) Х О будет х б Уе(а) и, значит, ~(х„) Е 1'(А). На основании определения предела последовательности, таким образом, заключаем, что 1пп ~(х„) = А. Перейдем к доказательству обратного утверждения.
Если А не является пределом У(х) при Е Э х -+ а, то найдется окрестность |'(А) такая, что при 1 любом п Е М в --окрестности точки а наидется точка х„Е Е ~ а такая, что У(х„) ф $'(А). Но это означает, что последовательность (Дх„)) не сходится к А, хотя последовательность (х„) стремится к а. ~ 2. Свойства предела функции. Теперь установим ряд постоянно используемых свойств предела функции, многие из которых аналогичны уже доказанным свойствам предела последовательности и потому, в сущности, нам уже знакомы. Более того, на основании только что доказанного утверждения 1 многие важные свойства предела функции, очевидно, немедленно следуют из соответствующих свойств предела последовательности: единственность предела, арифметические свойства предела, предельный переход в неравенствах. Тем не менее мы вновь проведем все доказательства.
В этом, как выяснится, есть определенный смысл. Мы хотим обратить внимание читателя на то, что для установления всех свойств предела функции требуются всего два свойства проколотых окрест- О ностей предельной точки множества: В1) ануе(а) ф Я, т.
е. проколотая окрестность непуста, и В2) МУе(а) ЧУе(а) Всуе(а)(бе(а) С Уе(а) П ууе(а))), т. е. в пересечении любой пары проколотых окрестностей содержится проколотая окрестность. Это наблюдение приведет нас к общему понятию предела функции и возможности в будущем использовать теорию предела уже не только для функций, определенных на числовых множествах.
Чтобы изложение не было простым повторением сказанного в ~ 1, мы используем здесь некоторые новые полезные приемы и понятия, которые не демонстрировались в ~ 1. а. Общие свойства предела функции. Сначала несколько определений. Определение 4. Функцию ~: Е -+ К, принимающую только одно значение, будем, как и прежде, называть постоляяой. Функция ~: Е + К называется ууинсльно постоянной при Е у х — ~ а, если она постоянна в некоторой О проколотой окрестности Уе(а) точки а,предельной для множества Е.
О п р е д ел е н и е 5. Функция ~: Е -+ К называется ограниченной, ограниченной сверху, ограниченной снизу, если найдется число С Е К такое, что для любого х Е Е выполнено соответственно ~~(х)~ < С, ~(х) < С, С < ~(х). ГЛ. 1П. ПРЕДЕЛ В случае„если первое, второе или третье из зтих соотношений выполнено О лишь в некоторой проколотой окрестности ануе(а) точки а, функция ~: Е -1 К называется соответственно финально ограниченной при Е Э х -+ а, финально ограниченной сверху при Е Э х -+ а, финально ограниченной снизу при Е Э х -+ а. Пример 7. Функция У(х) = (в1п — -Вхеов — ), опредеденнвя этой фор- 1 1~ х х~' мулой при х ~~ О, не является ограниченной на области определения, но она финально ограничена при х -+ О.
Пример 8. То же самое относится к функции 1(х) = х на К. Теорема 1. а) (~: Е -+ К при Е Э х -+ а есть финально мостолниав А) т ( 11т у!х) = А). ЕЭх-ра Ь) (3 1!т У(х)) т (У: Е о Е фииаааио оеранииена при Е и х -в а). ЕЭхра е) ( 11т у!х) =А,) д ( 1!т увх) = Ав) т (Ав =Ав). Ч Утверждение а) о наличии предела у финально постоянной функции и утверждение Ь) о финальной ограниченности функции, имеющей предел, вытека1от прямо из соответствующих определений.
Обратимся к доказательству единственности предела. Предположим, что А1 ф А~. Возьмем тогда окрестности 1'(А1), Ъ'(Аз) так, чтобы они не имели общих точек, т. е. Ъ'(А1) й Ъ'(А~) = )о. По определению предела имеем 1пп 1(х) = А1 =. "3 ануе(а) (,1'(йА'е(а)) с $'(А1)), 11п1 .1(х) = Аз =. -)адуев(а) (,1'(Уе(а)) С 'ру(А~)). ЕЭх-ра О Возьмем теперь проколотую окрестность ануе(а) точки а (предельной О О О О для Е) такую, что Уе(а) С Й1е(а) ) ) 1уео(а) (например, можно взять 0е(а) = О О = аде(а) П 1.)е(а), поскольку это пересечение тоже есть проколотая окрестность).
Поскольку йАе(а) ф И, берем 'х:Е 'ануе(а). Тогда Дх) 6 ру(А1) П Ъ'(Ай), что невозможно, так как окрестности Ъ'(А1), Ъ~(А2) по построению не имеют общих точек. в Ь. Предельный переход и арифметические операции Определение 6. Если две числовые функции ~: Е -+ К, д: Е -+ К имеют общую область определения Е, то их суммой, произведением и частным называются соответственно функции, определенные на том же множестве $ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ следующими формулами: (~ + д) (х) г= ~(х) + д(х), (~ д)(х):= Дх) д(х), — )(х):= —, если д(х) ф.О при х е Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
