В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. ~в — х„~ = в — х„ < г. Таким образом, доказано, что 1пп х„ = в. ~ и-+оо Разумеется, аналогичную теорему можно сформулировать и доказать для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу. В этом случае 11ш х„= 1пГ х„. о-+оо иек 3 ам е чан и е. Ограниченность сверху (снизу) неубывающей (невозрастающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна ограниченности этой последовательности. Рассмотрим несколько полезных примеров. П р и м е р 11. 11п1 — = О, если о > 1. ~о ~ Деиствительно, если х„= —, то х„»1 — — — х„, и Е И.
Поскольку и и+1 1пп и+1 . / 11 1 . / 11 . 1 1 1 !1ш ~1+ — ) — = 1пп ~1+ — ) 11ш — = 1 — = — < 1, то найи-+оо ио и-+ос и о о-~оо и и-~оо о и+1 дется номер Х такои, что при и > Х будет — < 1. Таким образом, при ио и > Х будем иметь х„+1 < х„, т. е. после члена харч наша последовательность монотонно убывает, Поскольку конечное число членов последовательности, как видно из определения предела, не влияет на сходимость последовательности и ее предел, то достаточно теперь найти предел последовательности хм+1 > хм+2 > 86 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Члены последовательности положительны, т. е.
последовательность ограничена снизу. Значит, она имеет предел. и+1 Пусть х = 1пп х„. Из соотношения хи+1 — — — хи теперь следует и-+Оо ио /и+1 ~ . и+1 . 1 х= 1пп (х„+1) = 1пп ~ х„) = 1пп — 1пп х„= -х, и-~оо и-+оо Ид ~ и-~ос Ид и-+оо откуда находим 1 — -( х = 0 и х = О. ~ 11 Я Следствие 1. Ит 7~~=1, ° я При фиксированном е > 0 по доказанному найдется Ю Е М такое, что при и > Х будем иметь 1 < и < (1+ е)и. Тогда при и > М получим 1 < ~/й < < 1 + е и, значит, действительно 1пп ~/й = 1.
° Следствие 2. 1пп ~/а = 1 при любом а > О. и-+оо м Пусть а > 1. Для любого е > 0 найдем Ю Е И 1 < а < (1+я)и, и тогда при и > Х получаем 1 < ~Га < 1 Если 0<а<1,то1< — и 1 1 1 1пп 7/а= 1пп — = =1. и-+Оо и-+оо и А 1 и 1 йп ~(— а и-+оо а так, что при и > Ж + е, т. е. 1пп ~/а = 1. И-+ ОО П р и м е р 12. 1пп — = О; здесь а — любое действительное число, и Е 1Ч, Я и и1 1 и'.:=1 2 ...
и. м Если д = О, то утверждение очевидно. Далее, поскольку ~ —,~ = —,, ~ я" ~ !я!" то достаточно доказать утверждение для а > О. Рассуждая в этом случае, как и в предыдущем, замечаем, что хи+1 —— — х„. Поскольку множество Я натуральных чисел не ограничено сверху, найдется номер Х такой, что при и > Ю будет 0 « 1. Тогда при и > Х будем иметь х„+1 < хи и, Я и+1 учитывая положительность членов последовательности, можно теперь гарантировать существование предела 1пп хи = х. Но тогда х = 1пп хи+1 = 1пп хи = Ип1 1ш1 хи = О .х = О.
Я ° Ч и-+оо и-+оо и+ 1 и-ьоо и+ 1 и-+оо с. Яисло е 1~и Пример 13. Докажем существование предела 1пп 11+ -) . и-+оо ~ и Пределом в данном случае является число, обозначаемое после Эйлера буквой е, столь же характерное для анализа, как для арифметики 1 или для геометрии я. К нему мы еще неоднократно будем возвращаться по очень разным поводам. $1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Проверим сначала следующее неравенство: (1+ а)" > 1+ иа при и Е М и а > — 1 (называемое иногда неравенством Я.
Бернулли11). м При и = 1 утверждение справедливо. Если оно справедливо для и Е М, то и для и + 1 тоже, поскольку тогда (1+ )"+ = (1+ )(1+а)" > (1+ а)(1+ ) = =1+(и+1)а+иа~ > 1+ (и+1)а. По принципу индукции утверждение, таким образом, справедливо для любого иЕЫ, Из выкладки, кстати, видно, что при а ~ 0 имеет место строгое неравенство. ф 1 ° Я+1 Покажем теперь, что последовательность р„= 1 + — ~ убывающая. м Пусть и > 2. Используя доказанное неравенство, находим, что в (1+ — 1 2п 1+— и~ — 1 и+1 и2 — 1 и+1 и и+1 Поскольку члены последовательности положительны, существует предел 1пп 1+— Но тогда 1пп 1+ — 1+— о+1 в+1 1пп 1+ — .
1пп = 1пп 1+ — . 9 1пп 1+— Итак, Определение 10. ЦЯкоб Бернулли (1654 — 1705) — швейцарский математик, представитель знаменитого семейства ученых Бернулли; стоял у истоков вариационного исчисления и теории вероятностей. 88 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ с1. Подпоследовательность и частичный предел последовательности Определение 11. Если х~, х2, ..., х„,, — некоторая последовательность, а п1 < п2 « ... пь < ... — возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность х„,, х„„..., х„„, ... называется подпоследовательностпью последовательности (х„).
Например, последовательность 1, 3, 5, ... нечетных натуральных чисел, взятых в их естественном порядке, является подпоследовательностью последовательности 1, 2, 3, ... Но последовательность 3, 1, 5, 7, 9, ... уже не является подпоследовательностью последовательности 1, 2, 3, ... Л е м м а 1 (Больцано — Вейерштрасс). Каждая ограниченная последовательностпь дейстпвитпельных чисел содержитп сходящуюся подпоследовательность. ~ Пусть Š— множество значений ограниченной последовательности (х„). Если .Е конечно, то существуют по крайней мере одна точка х Е Е и последовательность п1 < п2 < ...
номеров такие, что х„, = х„, = ... = х. Подпоследовательность (х„„) постоянна и, значит, сходится. Если Е бесконечно, то по принципу Больцано — Вейерштрасса оно обладает по крайней мере одной предельной точкой х. Поскольку х — предельная точка Е, можно выбрать п1 Е И так, что ~х„, — х~ < 1. Если пь Е И уже 1 выбрано так, что ~х„„— х~ < —, то, учитывая, что х — предельная точка Е, 1 наидем пь».1 Е М так, что пь < тц» 1 и ~х„„+, — х~ < 1+1 1 Поскольку 11ш — „= О, построенная подпоследовательность х„,, х„„..., ь-+ о тт х„„, ... сходится к х. 9 Определение 12.
Условимся писать х„— т +со и говорить, что последоватпельность 1х„) стремится н плюс бесхонечности, если для каждого числа с найдется номер Х Е 1Ч такой, что х„> с при любом и > Ф. Запишем зто и два аналогичных определения в логических обозначениях: х„++со:=ЧсЕК ЗМЕИ Чп>Ф (с<х„), х„-+ — оо:= Чс Е К ЗФ Е 1Ч Чп > Ф (х„< с), х„-+ оо:= Чс Е К 3%6 1Ч Чп > И (с < )х„~). В последних двух случаях говорят соответственно: последоватпельность 1х„) стремится к минус бесконечности и последоватпельность 1х„) стремится н бесконечности. Заметим, что последовательность может быть неограниченной, но не стремиться ни к плюс, ни к минус, ни просто к бесконечности.
Например, х„= =п~ Ц. 89 $ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Последовательности, стремящиеся к бесконечности, мы не причисляем к сходящимся. Легко видеть, что в соответствии с этими определениями можно дополнить только что доказанную лемму, сформулировав ее несколько иначе. Лемма 2. Из каждой последовательности действительных чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность или подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности. ~ Новым является только тот случай, когда последовательность (х„» не ограничена.
Тогда по к Е 1Ч будем выбирать пь Е И так, что ~х„,~ ) й и пь < пь+1. Получим подпоследовательность (х„„», которая стремится к бесконечности. ~ Пусть (хь» — произвольная последовательность действительных чисел. Если она ограничена снизу, то можно рассмотреть (уже встречавшуюся нам при доказательстве критерия Коши) последовательность г„= 1пГ хь. По- й)о скольку з„< ~„» 1 для любого и Е 1Ч, то либо последовательность (з„» имеет конечный предел 1пп г„= 1, либо г„-+ +со. Определение 13. Число 1 = 1пп 1пГ хь называется нижним преде- л-+со Ь>о лом последовательности (хь» и обозначается 1пп хь или 1пп1пГхь.
Если Ь-+оо Ь-+со 1„ -+ +со,то принято говорить,что нижний предел последовательности равен плюс бесконечности, и писать 1пп хь = +со или 1пп1пГхь = +со. Если Ь-+оо Ь вЂ” эоо исходная последовательность (хь» не ограничена снизу, то при любом п 1= 1Ч будем иметы„= 1пГ хь = — оо. В этом случае говорят, что нижний предел ь>о последовательности равен минус бесконечности,и пишут 1пп хь = -оо или ь-+со 1пп1пГхь = — оо. Ь-+оо Итак, с учетом всех перечисленных возможностей запишем теперь кратко определение нижнего предела последовательности (хь»: Аналогично, рассматривая последовательность в„= вирхов, приходим к й>п определению верхнего предела последовательности (хь».
Определение 14. Приведем несколько примеров, ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ П р и м е р 14. хй = ( — 1) й, Й Е М: 1ип хй = 1ип ш1'хй = 11тп иК( — 1)" = 1ип ( — 1) = -1, и-+со й>п и-+со й)п и-+оо 1ип хй = 1ип вцрхй —— 1ип зир( — 1) = 1ип 1=1. й-+ос п~оо й>п и-+со й>п П~ОО Пример 15, хй — — Й~ '1, Й Е И: 1ип Й~ ц = 1ип ш1'Й~ Ц = 1ип 0=0, й-+оо и-~ос й)п П-+ОО 1ип Й~ '1 = 1ип вирЙ~ '1 = 1ип (+ос) =+со.
й-+со и +Ос й>п и +ОО П р и м е р 16. хй = Й, Й Е И: 1ип Й = 1ип ш1 Й = 11ш н =+со, и-~со й>п и->со 1ип Й = 1ип вирЙ = 1ип (+со) =+оо. й +со и ~ос й>п и +ос Пример 17. хй =, Й Е И: Пример 18. хй = — Й2, Й Е Я: 1ип ( — Й2) = 1ип ш1 ( — Й~) = -оо. й-+со и-+со й)п Пример 19. хй = ( — 1)йЙ, Й е Я: 1ип ( — 1) Й = 1ип шГ(-1) Й = 1ип ( — со) = — оо, и-+ос й>п п-ь со 1ип ( — 1) Й = 1ип вир( — 1) Й = 1ип (+со) =+ос.
й-+оо и +Ос й)п П-+ОО Чтобы разобраться в происхождении терминов «верхний» и «нижний» пределы последовательности, введем следующее цй ( цй Йп — = 1ип шà — = 1ип Й п~ й>п Й п~ — (-1)" . (-1)й 1ип = 1ип вар — = 1ип й~со Й и-+оо й>, Й и-э ос 1 — — если и = 2т+ 1 и' 1 если и = 2т п+ 1' 1 если п = 2т и' 1 если и = 2т+1 п+1 91 $ 1.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение 15. Число (или символ — оо или +со) называют частичным пределом последовательности, если в ней есть подпоследовательность, стремящаяся к этому числу. Утверждение 1. Нижний и верхний пределы ограниченной последовательности лвллютсл соответственно наименьшим и наибольшим из ее частичных пределов11. ° Ф Докажем, это, например, для нижнего предела з = 1пп хй. Про последой-+со вательносты„= шГ хй нам известно, что онанеубывающая и 11ш в„= 1 Е К.
й>о Я-+ОО Для чисел и Е М, используя определение нижней грани, по индукции подберем числа й„Е 1ч так, что ~„< хй„< з„+ — и й„( й„+1. Поскольку 1ип з„= 1 11 1ип е„+ -) = з, то, опираясь на своиства предела, можем утверждать, что 1пп хй„= е. Мы доказали, что з — частичный предел последовательности 1хй1, Это наименьший частичный предел, поскольку для каждого г ) О найдется число и б 1Ч такое, что г — е ( з„, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
