В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Покажите, что а) множество (п1 < и2 < ... ) возрастающих последовательностей натуральных чисел равномощно множеству дробей вида О, а1а2..., Ь) множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность континуума. 5.
Покажите, что а) множество Р(Х) подмножеств множества Х равномощно множеству всех функций на Х со значениями О, 1, т. е. множеству отображений 1': Х ~ (О, 1); Ь) для конечного множества Х из и элементов сахйР(Х) = 2"; с) учитывая результаты задач 4Ь) и 5а), можно писать, что саха Р(Х) = 2' '~ н, в частности, сагй Р(1Ч) = 2'" = саха й; о) для любого множества Х сахйХ < 2'"а, в частности, п < 2 при любом п Е И, У к аз ан не. См. теорему Кантора в и. 1 ~ 4, гл. 1. 75 1 4. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 6, Пусть Х1,, Х вЂ” конечная система конечных множеств.
Покажите, что + ~ сагй(Х;,ПХ, ПХ,,) —... +( — 1)™ 1сахй(Х1 П... ПХ ), 11(вр(вЗ причем суммирование ведется по всевозможным наборам индексов в пределах 1,... ..., тп, удовлетворяющих указанным под знаком суммы неравенствам. 7. На отрезке (О, 1] С Й изобразите множество чисел х 6 (О, 1], троичная запись которых х = О, ет1стретз..., где а, Е (О, 1, 2), обладает свойством: а) а1~1; Ь) (а~ ф 1) Л (сто у6 1); с) Ут Е Я (ст; ф 1) (нантпорово множестпво). 8. (Продолжение задачи 7.) Покажите, что а) множество тех чисел х Е [О, 1], троичная запись которых не содержит 1, равно- мощно множеству всех чисел, двоичное представление которых имеет вид О, Д рз...; Ь) канторово множество равномощно множеству всех точек отрезка (О, 1].
ГЛАВА И1 ПРЕДЕЛ Обсуждая различные стороны понятия действительного числа, мы, в частности, отметили, что при измерении реальных физических величин получаются последовательности их приближенных значений, с которыми затем и приходится работать. Такое положение дел немедленно вызывает по крайней мере три следующих вопроса: 1) Какое отношение имеет полученная последовательность приближений к измеряемой величине? Мы имеем в виду математическую сторону дела, т. е. мы хотим получить точную запись того, что вообще означает выражение «последовательность приближенных значений» и в какой мере такая последовательность описывает значение величины; однозначно ли это описание или одна и та же последовательность может отвечать разным значениям измеряемой величины. 2) Как связаны операции над приближенными значениями величин с теми же операциями над их точными значениями и чем характеризуются те операции,при выполнении которых допустима подмена точных значений величин приближенными? .3) Как по самой последовательности чисел определить, может ли она быть последовательностью сколь угодно точных приближений значения некоторой величины? Ответом на эти и близкие к ним вопросы служит понятие предела функции — одно из основных понятий анализа.
Изложение теории предела мы начнем с рассмотрения предела функций натурального аргумента (последовательностей) ввиду уже выяснившейся фундаментальной роли этих функций и потому, что на самом деле все основные факты теории предела отчетливо видны уже в этой простейшей ситуации. » 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ~ 1. Предел последовательности 1. Определения и примеры.
Напомним следующее О п р е д е л е н и е 1. Функция ~: 1Ч -+ Х, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью. Значения ~(и) функции 1' называются членами последовательности, Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое идет отображение, наделяя символ соответствующим индексом аргумента, х„:= 1(и). Саму последовательность в связи с этим обозначают символом (х„), а также записывают в виде х1, х», ..., х„, ... и называют последовательностью в Х или последовательностью элементов множества Х.
Элемент х„называется и-м членом последовательности. Всюду дальше в ближайших параграфах будут рассматриваться только последовательности 1.: И -+ К действительных чисел. Определение 2. Число А е К называется иределом числовой последовательности (х„), если для любой окрестности У(А) точки А существует такой номер Л (выбираемый в зависимости от У(А)), что все члены последовательности, номера которых больше Ф, содержатся в указанной окрестности точки А. Ниже мы приведем формально-логическую запись этого определения, но прежде укажем другую распространенную формулировку определения предела числовой последовательности: Число А е К называется пределом последовательности (х„), если для любого я > О существует номер № такой, что при всех и > Ф имеем ~х„— А~ < е. Эквивалентность этих формулировок легко проверить (проверьте'.), если заметить, что в любой окрестности У(А) точки А содержится некоторая я-окрестность этой же точки.
Последняя формулировка определения предела означает, что, какую бы точность я > О мы ни задали, найдется номер Х такой, что абсолютная погрешность приближения числа А членами последовательности (х„) меньше чем я, как только и > № Запишем теперь приведенные формулировки определения предела в логической символике, договорившись, что запись «1пп х„= А» означает, что А — предел последовательности (х„). Итак, и соответственно 1пп х„= А:= Чв > О ЗЮб И Чи > Ю (~х„— А~ < в).
ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ О и р е д е л е н и е 3. Если 1пп х„= А, то говорят, что последовательность п-+оо 1х„~ сходишсл к А или стремишсл к А и пишут х„— ~ А при и — ~ оо. Последовательность, имеющая предел, называется сходящебся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 1. 1пп — = О, так как ~ — — О~ = — < я при и > Ф = ~ — ~ ~). 1 !1 ! 1 (11~ И-+ОО И ~и и е' Пример 2. 1пп — = 1, так как ~ — 1~ = — < е при и > Х = ~п.
и+1 !и+1 ! 1 П'! И-+ОО И и и Ы Пример 3. 1пп 1+ — ( = 1, так как ~1+ ) — 1 = — < е ( — 1)" ~ 1 ( — 1)" ~ и-~ ОО и и при и>Х= Прим е р 4. 1ип — = О, так как ~ — — О~ < — < е при и > Х = ~-~. вши !япи ! 1 11 ! И-+ОО И и ~ и Ы Пример 5. 1ип — „= О, если !д! > 1. 1 П вЂ” ФОО Я Проверим зто по определению предела. Как было доказано в гл. П, ~ 2, 1 п.
4с, для любого е > О можно найти число Х Е Ы такое, что — < е. По!ю!" ~1 ! 1 1 скольку !д! > 1, то для любого и > Х будем иметь! — — О~ = — < — < е ! 11о ~ !ч!о фм и определение предела удовлетворено. Пример 6. Последовательность 1, 2, —, 4, —, 6, —, ... с и-м членом 1 1 1 х„= и1 ), и Е М, — расходящаяся. Действительно, если А — предел последовательности, то, как следует из определения предела, в любой окрестности А лежат все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного их числа.
Число А ~ О не может быть пределом данной последовательности, ибо вне я-окрестности А при я = — > О лежат все члены нашей последовательности !А! 2 вида, для которых < —. 1 1 !А! + 2й+ 1 Число О тоже не может быть пределом этой последовательности, поскольку, например, вне единичной окрестности нуля, очевидно, тоже имеется бесконечно много членов нашей последовательности. Пример 7. Аналогичноможнопроверить, чтопоследовательность 1, — 1, +1, — 1,..., для которой х„= ( — 1)", не имеет предела.
~! [х! — целая часть числа х; см. следствие 10о принципа Архимеда, гл. 11, Е 2, п. 3. 11. пРедел пОследОВАтельнОсти 2. Свойства предела последовательности а. Общие свойства. Мы выделим в эту группу те свойства, которыми обладают, как будет видно из дальнейшего, не только числовые последовательности, хотя здесь мы эти свойства будем рассматривать только для числовых последовательностей.
Последовательность, принимающую только одно значение, будем называть постоянной. Определение 4. Если существуют число А и номер Л такие, что х„= = А при любом п > Ф, то последовательность (х„) будем называть финально постоянной. Определение 5. Последовательность (х„) называется ограниченной, если существует число М такое, что ~х„~ < М при любом п Е Я.
Теорема 1. а) Финально постоянная последовательность сходится. Ь) Любая окрестность предела последовательности содержит все члены последовательности, за исключением конечного их числа. с) Последовательность не может иметь двух различных пределов. й) Сходящаяся последовательность ограничена. «~ а) Если х„= А при и > Ф, то для любой окрестности Ъ'(А) точки А имеем х„Е Ъ'(4) при и > Х, т. е.
1пп х„= А. и-+ос Ь) Утверждение непосредственно следует из определения предела последовательности. с) Это важнейший пункт теоремы. Пусть 1пп х„= А1 и 1пп х„= Ар. та-+ со и-+оо Если А1 ~ А~, то фиксируем непересекающиеся окрестности Ъ'(А1), $~(А~) точек А1, А2. В качестве таковых можно взять, например, о-окрестности этих точек при д < -~А1 — А2~. По определению предела найдем числа Х1 и Ю~ так, что Чп > 1 > Х1 (х„Е 1'(А1)) и Чп > Х~ (х„Е $'(А2)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
