В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1Г 2. Покажите, что а) из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот отрезок; 1) Б. Больцаио (1781 — 1848) — чешский математик и философ; К. Вейерштрасс (1815— 1897) — немецкий математик, уделлвший большое внимание логическому обоснованию математического анализа. Это условие, очевидно, равносильно тому, что в любой окрестности точки р есть по крайней мере одна не совпадающая с р точка множества Х. (Проверьте!) Приведем несколько примеров. Г1 ! 1 Если Х = 41 — Е К ~ и Е И), то предельнои для Х является только точка 04= К.
Для интервала ]а, Ь[ предельной является каждая точка отрезка [а, Ь~), и других предельных точек в этом случае нет. Для множества Ц рациональных чисел предельной является каждая точка К, ибо, как мы знаем, в любом интервале вещественных чисел имеются рациональные числа. Л е м м а (Больцано — Вейерштрасс1)). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
~ Пусть Х вЂ” данное подмножество К. Из определения ограниченности множества Х следует, что Х содержится в некотором отрезке [а, Ь) = 1 С К. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка 1 является предельной для Х. Если бы это было не так, то каждая точка х Е 1 имела бы окрестность У(х), в которой либо вообще нет точек множества Х, либо их там конечное число. Совокупность (У(х)) таких окрестностей, построенных для каждой точки х Е 1, образует покрытие отрезка 1 интервалами У(х), из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему У(х1), ..., У(х„) интервалов, покрывающую отрезок 1.
Но, поскольку Х С 1, эта же система покрывает все множество Х. Однако в каждом интервале У(х1) только конечное число точек множества Х, значит, и в их объединении тоже конечное число точек Х, т. е. Х вЂ” конечное множество. Полученное противоречие завершает доказательство. й ~ 4. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА Ь) из системы интервалов, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрываюшую этот интервал; с) из системы отрезков, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал.
3. Покажите, что если вместо полного множества Ж всех вещественных чисел взять только множество Ц рациональных чисел, а под отрезком, интервалом и окрестностью тачки г Е Я понимать соответствующие подмножества Ц, то нн одна из доказанных выше трех основных лемм не останется в силе. 4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действительных чисел взять а) принцип Больцано — Вейерштрасса нлн Ь) принцип Бореля — Лебега, то получится равносильная прежней система аксиом Ж. Указание. Из а) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в прежней форме, с) Замена аксиомы полноты принципом Коши — Кантора приводит к системе аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа Коши— Кантора постулировать также принцип Архимеда (см.
задачу 21 предыдущего параграфа). З 4. Счетные и несчетные множества Сейчас мы сделаем небольшое, полезное для дальнейшего добавление к тем сведениям о множествах, которые уже были изложены в главе 1. 1. Счетные множества О п р е д ел е н и е 1. Множество Х называется счетным, если оно равно- мощно множеству И натуральных чисел, т. е. сагс1Х = сагг1 И. Утверждение. а) Бесконечное подмножество счетноео множества счетно. Ь) Обьединение множеств конечной или счетной системы счетных множество есть множество счетное. М а) Достаточно проверить, что всякое бесконечное подмножество Е множества И натуральных чисел равномощно И. Нужное биективное отображение ~: И + Е построим следующим образом.
В Е1 .— — Е имеется минимальный элемент, который мы сопоставим числу 1 Е И и обозначим е1 Е Е. Множество Е бесконечно, поэтому Е2 .— — Е ~ е1 непусто. Минимальный элемент множества Е2 сопоставим числу 2 и назовем его е2 е Е2. Затем рассмотрим Ез .— — Е ~1е1, ер ) и т. д. Поскольку Š— бесконечное множество, то построение не может оборваться ни на каком шаге с номером и Е И, и, как следует из принципа индукции, таким способом каждому числу и е И будет сопоставлено некоторое число е„е Е.
Построенное отображение ~: И -+ Е, очевидно, инъективно. ГЛ. 11. ДЕИСХВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Остается проверить его сюръективность, т. е. что )'(И) = .Е. Пусть е Е Е. Множество (и Е И ~ и < е) конечно, и тем более конечно его подмножество (и Е Е ~ и < е). Пусть й — число элементов в последнем множестве. Тогда по построению е = еь. Ь) Если Х1,..., Х„, ... — счетная система множеств, причем каждое множество Х = (х1,..., х",...
) само счетно, то поскольку мощность множества Х = О Х, состоящего из элементов х", где т, и Е И, не меньше мощтьен ности каждого из множеств Х, то Х вЂ” бесконечное множество. Элемент х" Е Х можно отождествить с задающей его упорядоченной парой (т, и) натуральных чисел.
Тогда мощность Х не больше мощности множества таких упорядоченных пар. Но отображение ~: И х И -+ И, задаваемое формулой (т+ и)(т+ и+ 1) 2 + т, как легко проверить, биективно (оно имеет наглядный смысл: мы нумеруем точки плоскости с координатами (т,и), последовательно переходя от точек одной диагонали, где т + и постоянно, к точкам следующей, где эта сумма на 1 больше).
Таким образом, множество упорядоченных пар (т, и) натуральных чисел счетно. Но тогда сагс( Х < сагс1 И и, поскольку Х вЂ” бесконечное множество, на основании доказанного в а) заключаем, что сагс1 Х = сагс1 И. ° Из доказанного утверждения следует, что любое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно.
Если про множество известно, что оно либо конечно, либо счетно,то говорят,что оно не более чем счетно (равносильная запись: саго'Х < сагг1И). Мы можем, в частности, утверждать теперь, что объединение не более чем счетного семейства не более чем счетных множеств само не более чем счетно. Следствия. 1) сагой = сагс1И. 2) сагйИ~ = сагс1И. Этот результат означает, что прямое произведение счетных множеств счетно.
3) сагс1 Я = сагп И, т. е. множество рациональных чисел счетно. Рациональное число ™ задается упорядоченной парой (т,и) целых чисел. Две пары (т, и), (т', и') задают одно и то же рациональное число в том и только в том случае, когда они пропорциональны. Таким~рбразом, выбирая каждый раз для записи рационального числа единственную пару (т,и), с минимальным возможным натуральным знаменателем и Е И, мы получим,' что множество Я равномощно некоторому бесконечному подмножеству множества Ж х У.. Но сагййз = сагйИ и, значит, сагйЯ = сагс1И. в 1 4. счетные и несчетные мнОжестВА 4) Множество алгебраических чисел счетно.
~ Заметим сначала, что из равенства сагс1Я х Я = сагс1И по индукции получаем, что для любого Й Е И выполнено сагс1 Я" = сагс1 1Ч. Элемент г Е Ц~ есть упорядоченный набор (г1,..., гь) Й рациональных чисел. Алгебраическое уравнение степени й с рациональными коэффициентами можно записать в приведенном виде х" + т1 х~ 1 +... + гь = О, где коэффициент при старшей степени равен 1. Таким образом, различных алгебраических уравнений степени Й столько же, сколько различных упорядоченных наборов (т1,..., гь) рациональных чисел, т. е. счетное множество. Алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами (произвольных степеней) тоже счетное множество как счетное объединение (по степеням) счетных множеств.
У каждого такого уравнения лишь конечное число корней, значит, множество алгебраических чисел не более чем счетно. Но оно бесконечно и, значит, счетно. у 2. Мощность континуума 0 п ре д еле н и е 2. Множество К действительных чисел называют также числовым хонтинуумом1~, а его мощность — мощностью континуума.
Теорема (Кантор), сагй1Ч < сагс1К. Теорема утверждает, что бесконечное множество К имеет мощность ббльшую, чем бесконечное множество 1Ч. ~ Покажем, что уже множество точек отрезка [О, Ц несчетно. Предположим, что оно счетно, т. е. может быть записано в виде последовательности х1, х2, ..., х„, ... Возьмем точку х1 и на отрезке [О, Ц = 1о фиксируем отрезок ненулевой длины, не содержащий точку х1.
В отрезке 11 строим отрезок 12, не содержащий х2, и если уже построен отрезок 1„, то, поскольку ~1„[ ) О, в нем строим отрезок 1„»1 так, что х„+1 ф 1'„».1 и [1„+1~ ) О. По лемме о вложенных отрезках найдется точка с, принадлежащая всем отрезкам Хо, 11, ..., 1„, ... Но эта точка отрезка 1о — — [О, Ц по построению не может совпадать ни с одной из точек последовательности х1, х~, ..., хо~ ° ° ° Следствия. 1) Я у~ К и существуют иррациональные числа. 2) Существуют трансцендентные числа, поскольку множество алгебраических чисел счетно. (После решения задачи 3, помещенной в конце параграфа, читатель, наверное, захочет переиначить последнее утверждение и сформулировать его так: «В множестве действительных чисел иногда встречаются также и алгебраические числа».) Ц Соп«1ппшп (лати.) — непрерывное, сплошное. ГЛ.
11, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Уже на заре теории множеств возник вопрос о том, существуют ли множества промежуточной мощности между счетными множествами и множествами мощности континуума, и было высказано предположение, называемое гипотезой континуума, что промежуточные мощности отсутствуют. Вопрос оказался глубоко затрагивающим основания математики. Он был окончательно решен в 1963 г.
современным американским математиком П. Коэном. Коэн доказал неразрешимость гипотезы континуума, показав, что и она сама, и ее отрицание порознь не противоречат принятой в теории множеств аксиоматике, а потому гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках этой аксиоматики,— ситуация, вполне аналогичная независимости пятого постулата Евклида о параллельных от остальных аксиом геометрии. Задачи и упражнения 1. Покажите, что множество всех действительных чисел равномощно множеству точек интервала ) — 1, 1[.
2. Установите непосредственно взаимно однозначное соответствие между а) точками двух интервалов; Ъ) точками двух отрезков; с) точками отрезка и интервала; а) точками отрезка [О, Ц и множеством й. 3. Покажите, что а) любое бесконечное множество содержит счетное подмножество; Ь) множество четных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел; с) объединение бесконечного множества н не более чем счетного множества имеет ту же мощность, что и исходное бесконечное множество; й) множество иррациональных чисел имеет мощность континуума; е) множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
