В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Но п < и + 1. 8» 3' В любом непустпом оераниченном сверху подмножестпве множества целых чисел имеется матссимальный элемент. Ч Можно дословно повторить доказательство утверждения 1', заменяя М наЖ. Э 4' В любом непустом оераниченном снизу подмножестпве множества целых чисел имеетпся минимальный элементп. ° 4 Можно, например, повторить доказательство утверждения 1', заменяя И на Ж и используя вместо леммы о верхней грани лемму о существовании нижней грани у ограниченного снизу числового множества. 1) Д.
Гильберт (1862 — 1943) — выдающийся немецкий математик, сформулировавший в 1900 г. на Международном конгрессе математиков в Париже двадцать три относящиеся к различным областям математики проблемы, получившие впоследствии название «проблем Гильберта«. Вопрос, о котором идет речь в тексте (седьмая проблема Гильберта), был положительно решен в 1934 г. советским математиком А. О. Гельфондом (1906 — 1968) и немецким математиком Т. Шнайдером (1911 — 1989). з) Архимед (287 — 212 гг.
до н. з.) — гениальный греческий ученый, про которого один из основоположников анализа Лейбниц в свое время сказал: «Изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков«. Гильберта~) состояла в том, чтобы доказать трансцендентность числа сто, где а — алгебраическое, (а ) 0) Л (ст ф 1), а )э' — алгебраическое иррациональное число (например, а = 2,,э = с/2). 1 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 51 Можно также перейти к противоположным числам (»поменять знаки») и воспользоваться уже доказанным в 3'.
° 5' Множество целых чисел не ограничено ни сверху, ни снизу, ~ Вытекает из 3' и 4' или прямо из 2'. ~ Теперь сформулируем б' Принцип Архимеда. Если фиксировать произвольное положительное число Ь, то для любого действительного числа х найдется и притом единстпвенное целое число й такое, чтпо (й — 1) Ь < х < ЬЬ. Н Поскольку Е не ограничено саерху, множество (п а Е *— „<и) — непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел. Тогда (см. 4') в нем есть минимальный элемент й, т. е. (й — 1) < х/Ь < й. Поскольку Ь > О, эти неравенства эквивалентны приведенным в формулировке принципа Архимеда. Единственность 1с Е Ж, удовлетворяющего двум последним неравенствам, следует из единственности минимального элемента числового множества (см.
~ 1, п. 3). Ь Некоторые следствия: 7' Для любого положительного числа е сутцествуетп натуральное число п 1 такое, что 0 « — е. ~ По принципу Архимеда найдется п Е У такое, что 1 < е п. Поскольку О ( 1 и 0 < е, имеем 0 < п. Таким образом, и Е И и О < — ( е. в 1 и 8' Если число х Е К таково, что 0 < х и для любого п Е И выполнено 1 х<-, тох=О. и ~ Соотношение 0 < х невозможно в силу утверждения 7'.
~ 9' Для любых чисел и, 6 Е К таких, что а < 6, найдется рациональное число т Е Я такое, что а < г < 6. ч$ Учитывая 7, подберем и Е И так, что 0 « — 6 — а. По принципу О 1 и Архимеда найдем такое число т Е Ж, что — < а < —, Тогда — < 6, ибо в и и и т — 1 т противном случае мы имели бы < а < 6 < —, откуда следовало бы, что и и' — > 6 — а. Таким образом, г = — Е Я и а « — 6. Ь 1 т т и и и 10' Для любого числа х Е К существуетп и притпом единственное целое число Й Е У такое, чтпо Й < х < Й + 1.
~ Это непосредственно вытекает из принципа Архимеда. ~ Указанное число Й обозначается ~х~ и называется целой частпью числа.х. Величина (х):= х — |х1 называется дробной частпью числа х. Итак, х = = [х~+ (х), причем (х) > О. 3 Зорич В. А. 52 ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 4.
Геометрическая'интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами а. ~числовая ось. По отношению к действительным числам часто используется образный геометрический язык, связанный с тем обстоятельством, что, как в общих чертах известно из школы, в силу аксиом геометрии между точками прямой $ и множеством К вещественных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие ~: 1 -+ К. Причем это соответствие связано с движениями прямой.
А именно, если Т вЂ” параллельный перенос прямой $ по себе, то существует число 1 Е К (зависящее только от Т) такое, что .( (Т(х)) = Дх) + 1 для любой точки х Е 3 . Число Дх), соответствующее точке х Е $., называется координатой точки х. Ввиду взаимной однозначности отображения (: 3 — «К координату точки часто называют просто точкой. Например, вместо фразы «отметим точку, координата которой 1», говорят «отметим точку 1».
Прямую 1 при наличии указанного соответствия ~: $ -+ К называют координатной осью, числовой осью или числовой ирямой. Ввиду биективности ~ само множество К вещественных чисел также часто называют числовой прямой, а его элементы — точками числовой прямой. Как отмечалось, биективное отображение ~: $ -+ К, задающее на $. координаты, таково, что при параллельном переносе Т координаты образов точек прямой $ отличаются от координат самих точек на одну и ту же величину 1 Е К. Ввиду этого ~ полностью определяется указанием точки с координатой О и точки с координатой 1 или, короче, точки нуль, называемой началом координат, и точки 1. Отрезок, определяемый этими точками, называется единичным отреэхом.
Направление, определяемое лучом с вершиной О, содержащим точку 1, называется положительным, а движение в этом направлении (от О к 1) — движением слева направо. В соответствии с этим соглашением 1 лежит правее О, а Π— левее 1. При параллельном переносе Т, переводящем начало координат хо в точку х1 — — Т(хо) с координатой 1, координаты образов всех точек на единицу больше координат прообразов, поэтому мы находим точку х2 — — Т(х1) с координатой 2, точку хз — — Т(х2) координатой 3, ..., точку х„+1 — — Т(х„) с координатой п+ 1, а также точку х 1 — — Т '(хо) с координатой — 1,..., точку х „1 — — Т '(х „) с координатой — и — 1.
Таким образом, получаем все точки с целыми координатами «и Е Ж. Умея удваивать, утраивать, ... единичный отрезок, по теореме Фалеса его же можно разбить на соответствующее число и конгруэнтных отрезков. Беря тот'из них, одним концом которого является начало координат, для координаты х другого конца имеем уравнение и х = 1, т. е. х =- —.
Отсюда 1 и находим все точки с рациональными координатами — Е Я. Но останутся еще точки $, ведь есть же отрезки, несоизмеримые с единичным. Каждая такая точка (как и любая другая точка прямой) разбивает пря- 53 $2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ мую на два луча, на каждом из которых есть точки с целыми (рациональными) координатами (зто следствие исходного геометрического принципа Архимеда). Таким образам, точка производит разбиение или, как говорят, сечение Я на два непустых множества Х и У, отвечающие рациональным точкам (точкам с рациональными координатами) левого и правого лучей. По аксиоме полноты найдется число с, разделяющее Х и У, т.
е. х < с < у для Чх е Х и Чу б У. Поскольку Х 0 У = Я, то впрХ = в = » = 1пГУ, ибо в противном случае в < г и между в и г нашлось бы рациональное число, не лежащее ни в Х, ни в У. Таким образом, в = г = с. Это однозначно определенное число с и ставится в соответствие указанной точке прямой. Описанное сопоставление точкам прямой их координат доставляет наглядную модель как отношению порядка в К (отсюда и термин «линейная упорядоченность»), так и аксиоме полноты, или непрерывности К, которая на геометрическом языке означает, что в прямой $ «нет дыр», разбивающих ее на два не имеющих общих точек куска (такое разбиение осуществляется некоторой точкой прямой $ ).
Мы не станем вдаваться в дальнейшие детали конструкции отображения ~: 3 -« К, поскольку геометрическую интерпретацию множества действительных чисел мы будем привлекать исключительно для наглядности и для возможного подключения весьма полезной геометрической интуиции читателя. Что же касается формальных доказательств, то, как и до сих пор, они будут опираться либо на тот набор фактов, который мы уже получили из аксиоматики действительных чисел, либо непосредственно на эту аксиоматику. Геометрический же язык мы будем использовать постоянно. Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже числовых множеств: ]а, Ь[:= [а Ь]:= )а, Ь):= [а, Ь[:= (хЕК~а<х<Ь) (х б К) а < х < Ь) (хбК~а<х<Ь) (хе К~а <х <Ь) интервал аЬ; отрезок аЬ; полуинтервал аЬ, содержащий конец Ь; полуинтервал аЬ, содержащий конец а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
