В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 12
Текст из файла (страница 12)
О п р е д е л е н и е 4. Элемент а б Х называется наибольшим или мак мальным (наименьшим или минимальным) элементом множества Х С К, ес х < а (соответственно, а < х) для любого элемента х <= Х. Введем обозначения и заодно приведем формальную запись определе~ максимального и минимального элементов соответственно: (а = шах Х):= (а б Х Л Чх Е Х (х < а)), (а = ппп Х):= (а Е Х Л Чх Е Х (а < х)). Наряду с обозначениями шах Х (читается «максимум Х«) и ппп Х (чи ется «минимум Х«), в том же смысле используются соответственно симво шахх и пппх. хЕХ хЕХ Из аксиомы 1< порядка сразу следует, что если в числовом множес. есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один. Однако не во всяком, даже ограниченном, множестве имеется максима ный (минимальный) элемент.
Например, множество Х = (х е К~О < х < Ц имеет минимальный э мент, но, как легко проверить, не имеет максимального элемента. Определение 5. Наименьшее из чисел, ограничивающих множес.. Х С К сверху, называется верхней гранью (или точной верхней граннц множества Х и обозначается яир Х (читается «супремум Х«) или япр х. хЕХ Это основное определение настоящего пункта. Итак, з = яир Х:= Чх 6 Х Ях < з) Л (Чз~ < з Эх~ б Х (з < х~))). В первой скобке, стоящей справа от определяемого понятия, написано, з ограничивает Х сверху; вторая скобка говорит, что з — минимальное чисел, обладающих этим свойством.
Точнее, вторая скобка утверждает, ° любое число, меньшее з, уже не является верхней границей Х. Аналогично вводится понятие нижней грани (точной нижней граны множества Х как наибольшей из нижних границ множества Х. Определение 6. « = 1пГ Х:= Чх б Х ((«< х) Л (% < «' 3х' Е Х (х' < «'))). Наряду с обозначением Ы'Х (читается «инфимум Х«) для нижней грани употребляется также обозначение 1пГ х. хЕХ Таким образом, даны следующие определения: яир Х:= ш1п (с Е К ~ Чх Е Х (х < с) ), 1п1 Х:= шах(с Е К ~ Чх Е Х (с < х)). Но выше мы говорили, что не всякое множество обладает минимальн; или максимальным элементом, поэтому принятые определения верхней и ня ней граней числового множества нуждаются в аргументации, которую дос вляет следующая Лемма (принцип верхней грани).
Всякое непустпое ограниченное све1 подмножество множестпва вещестпвенных чисел имеетп и притом единстпв ную верхнюю грань, ~ Поскольку единственность минимального элемента числового множеств нам уже известна, необходимо лишь убедиться в существовании верхней г~ ни. Пусть Х С К вЂ” данное подмножество, а У = (у Е К~ Чх е Х (х < у)) множество верхних границ Х. По условию, Х ф <о и У у~ <о. Тогда в силу сиомы полноты существует число с <= К такое, что Ух Е Х Чу <= У (х < с < Число с, таким образом, является мажорантой Х и минорантой У. Как мал ранта Х, число с является элементом У, но как миноранта У, число с являе.. минимальным элементом множества У. Итак, с = пйп У = вор Х. ~ Конечно, аналогично доказывается существование и единственность ни ней грани у ограниченного снизу числового множества, т. е.
имеет место Лемма. (Х ограничено снизу) =~ (:-И 1п1' Х). На доказательстве мы не останавливаемся. Теперь вернемся к множеству Х = (х б К ~ О < х < Ц. В силу доказан~ леммы оно должно иметь верхнюю грань. По самому определению множеств Х и определению верхней грани очевидно, что впр Х < 1.
Для того чтобы доказать, что вар Х = 1, таким образом, необходимо щ верить, что для любого числа д < 1 найдется число х <= Х такое, что д < т. е., попросту, что между д и 1 есть еще числа. Это, конечно, легко доказе и независимо (например, показав, что д < 2 1(д+ 1) < 1), но мы сейчас этс делать не станем, поскольку в следующем параграфе подобные вопросы буд обсуждаться последовательно и подробно. Что же касается нижней грани, то она всегда совпадает с минимальн~ элементом множества, если множество таковым обладает. Так что уже этого соображения в рассматриваемом примере имеем 1пГХ = О.
Другие, более содержательные примеры использования введенных зд~ понятий встретятся уже в следующем параграфе. З 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами 1. Натуральные числа и принцип математической индукции а. Определение множества натуральных чисел. Числа вида 1, 1-~ (1+ 1) + 1 и т.
д. обозначают соответственно символами 1, 2, 3 и т. д, называют натпуральными числами. Принять такое определение может только тот, кто и без него имеет полн представление о натуральных числах, включая их запись, например, в де< тичной системе счисления. Продолжение какого-то процесса далеко не всегда бывает однозначни поэтому вездесущее «и так далее» на самом деле требует уточнения, кото) доставляет фундаментальный принцип математической индукции. Определение 1.
Множество Х С К называется индуктивным, е< вместе с каждым числом х Е Х ему принадлежит также число х+ 1. Например, К является индуктивным множеством; множество положите ных чисел также является индуктивным множеством. Пересечение Х = П Х любого семейства индуктивных множеств ' аеА если оно непусто, является индуктивным множеством. Действительно, (х«х= Пх)~(чаеА(ж«х))~ аЕА ~(<<аЕА((х<-1)«Х))~((а<-1)Е П Х =Х) аЕА Теперь примем следующее О п р е дел ение 2. Множеством натуральных чисел называется наиме шее индуктивное множество, содержащее 1, т.
е. пересечение всех индукт: ных множеств, содержащих число 1. Множество натуральных чисел обозначают символом 1<; его элементы . зываются натуральными числами, С теоретико-множественной точки зрения, быть может, разумнее на ральные числа начинать с О, т. е. вводить множество натуральных чисел ~ наименьшее индуктивное множество, содержащее О, однако нам удобнее: чинать нумерацию числом 1. Следующий фундаментальный и широко используемый принцип являе прямым следствием определения множества натуральных чисел. Ь. Принцип математической индукции Если подмножество Е множества натуральных чисел 1Ч таково, ч 1 Е Е и вместе с числом х Е Е множеству Е принадлежит число х+ 1, Е= И.
(Е С Щ Л (1 <= Е) Л (Чх (= Е (х Е Е =~ (х + 1) б Е)) => Е = Я. Проиллюстрируем этот принцип в действии, доказав с его помощью сколько полезных и постоянно в дальнейшем используемых свойств натура ных чисел. 1' Сумма и произведение натуральных чисел являются натуральными слами. ° 4 Пусть т, и Е М; покажем, что (т+ и) Е М. Обозначим через Е мнол ство тех натуральных чисел п, для которых (т + п) Е М при любом т Е Тогда 1 Е Е, поскольку (т Е М) =~ Ят+ 1) Е Ы) для любого т Е Ы. Ес и Е Е,т.е. (т+и) Е Ы, тои(и+1) Е Е, таккак (т+(и+1)) = Ит+п)+1) Е По принципу индукции Е = 1Ч, и мы доказали, что сложение не выводит пределы М.
Аналогично, обозначив через Е множество тех натуральных чисел и, д которых (т. п) Е И при любом т Е Я, находим, что 1 Е Е, так как т. 1 = и если и Е Е, т. е. т ° и Е Я, то т. (и+ 1) = ти+ т есть сумма натуральн1 чисел, которая по доказанному принадлежит М. Таким образом, (и Е Е) =~ ((и+ 1) Е Е) и по принципу индукции Е = М. > 2' Покажем, что (и Е М) Л (и ф- 1) =~ ((и — 1) Е М). ~ Рассмотрим множество Е натуральных чисел вида и — 1, где и — на~ ральное число, отличное от 1, и покажем, что Е = М. Поскольку 1 Е М, то 2:= (1+ 1) Е Ы, а значит, 1 = (2 — 1) Е Е.
Если т Е Е, то т = и — 1, где и Е М; тогда т+ 1 = (и+ 1) — 1 и, посколь (и+ 1) Е 1Ч, имеем (т+ 1) Е Е. По принципу индукции заключаем: Е = М. 3' Длл любого п Е М в множестве (х Е %~и < х) есть миньмальн элемент, причем ппп(х Е И ~ п < х) = и+ 1. ° Ф Покажем, что множество Е тех п Е М, для которых утверждение спр ведливо, совпадает с Я. Сначала проверим, что 1 Е Е, т.
е. ш1п(х Е М ~ 1 < х) = 2. Это утверждение тоже будем проверять по принципу индукции. Пусть М = (х Е М ~ (х = 1) Ч (2 < х)). По определению М имеем 1 Е М, Далее, если х Е М, толибо х = 1 итог х+ 1 = 2 Е М, либо 2 < х, тогда 2 < (х + 1) и снова (х+ 1) Е М. Такт образом, М = М и, значит, если (х ф 1) Л (х Е 1Ч), то 2 - х, т. е. действитель: ппп (х Е 1ч ~ 1 < х) = 2. Итак, 1 Е Е. Покажем теперь, что если и Е .Е, то и (и + 1) Е Е. В самом деле, если х Е (х Е М ~ и + 1 < х), то ,(х — 1) = у Е (у Е Я ~ п < у), ибо по доказанному все натуральные числа не меньше 1, поэтому (п + 1 < х) =Ф (1 < х) ~ (х ф 1), а тогда в силу утверждения 2' (х — 1) = у Е Я. Если и Е Е, топив(у Е %~и < у) = п+1, т.
е. х — 1 > у > и+1 и х > и+ Значит, (х Е (х Е %~и+ 1 < х)) ° (х > и+ 2) и, следовательно, пнп (х Е М ~ п + 1 < х) = п + 2, т. е. (и + 1) Е Е. По принципу индукции .Е = М, и утверждение 3' доказано. ~ В качестве прямых следствий доказанных утверждений 2' и 3' получа следующие свойства 4', 5', 6' натуральных чисел: 4' (т Е 1Ч) Л (и Е 1Ч) Л (и < т) => (и + 1 < т). 5' Чнсло (и + 1) Е М непосредственно следует в 1Ч за натуральным ° слом и, т. е. нет натуральных чисел х, удовлетворяющих условию и < х < и+ 1, если п Е И.
6' Если и Е И и и ~ 1, то число (п — 1) 6 Я и (и — 1) непосредствен предшествует числу и в Ы, т. е. нет натуральных чисел х, удовлетворя щах условию и — 1 < х < п, если п Е М. 7' Покажем теперь, что в любом непустом подмножестве множест натуральных чисел имеется минимальный элемент. ° я Пусть М С Я. Если 1 б М, то ппп М = 1, поскольку Чи Е М (1 < и). Пусть теперь 1 ф М, т. е. 1 б Е = М ~ М. В множестве Е должно найти такое натуральное число п Е Е, что все натуральные числа, не превосхо~ щие п, лежат в Е, а (и + 1) Е М. Если бы такого п не было, то мною ство .Е с М, содержащее единицу, вместе с п Е Я содержало бы и (и+ 1) по принципу индукции совпадало бы с 1Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
