В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 8
Текст из файла (страница 8)
с) Покажите, что слои отображения У: Х -+ У не пересекаются, а объединени слоев является все множество Х. й) Проверьте, что любое отношение эквивалентности между элементами мнол ства позволяет представить это множество в виде объединения непересекающи> классов эквивалентных элементов. 3. Пусть У: Х -+ У вЂ” отображение из Х в У.
Покажите, что: если А и  — подмножества Х, то а) (А с В) =о. (У(А) с У(В)) ~Ь (А с В), Ь) (А ~ И) =:» (У(А) ф к»), с) У(А и В) с У(А) и У(В), й) У(А 0 В) = У(А) 0 У(В); если А' и В' — подмножества У, то е),(А' с В') =~ (У '(А') с У '(В')), Г) У-'(А'ПВ') = У-'(А') пУ-'(В'), к) У '(А'0 В') = У '(А') 0 У '(В'); еслиУ )А' )В',то Ь) У '(А' ~ В') = У '(А') ~ У '(В'), ») У (СуА') = СхУ (А'); для любого множества А С Х и любого множества В С У д) У '(У(А)):) А, к) У(У '(В')) С В'.
4. Покажите, что отображение У: Х -+ У а) сюръективно, если и только если для любого множества В С У справедли У(У '(В')) = В'; Ъ) биективно, если и только если для любого множества А С Х и любого м» жества В С У справедливо (У '(У(А)) = А) л (У(У '(В')) = В'). 5. Проверьте эквивалентность следующих утверждений относительно.
отобрал нияУ:Х вЂ” »У: а) У инъективно; Ь) У '(У(А)) = А для любого множества А С Х; с) У(А П В) = У(А) П У(В) для любой пары А, В подмножеств Х; с1) У(А) и У(В) = Я ~=~ А и В = и; е) У(А ~ В) = У(А) ~ У(В), если Х Э А Э В. 6. а) Если отображения У: Х -+ У и д: У -+ Х таковы, что д о У = ех, г ех — тождественное отображение множества Х, то д называется левым обра»пн» отпображением для У, а У вЂ” правым обратным для д. Покажите, что, в отличие единственного обратного отображения, может существовать много односторонн обратных отображений. сч 1 а, 1.
пьг Ч ь .Л )л) )лзщюв))ъ л ° )ч)гъ ~ ю~ и ъ зыбки ) ч Рассмотрите, например, отображения 1: Х -+ У и д: У -+ Х, где Х вЂ” одно". ментное, а У вЂ” двухэлементное множества, или отображения последовательност .)а ° (хд,,х„,...) ~ — ~ (а, хд, ..., х„,...), !) (у2) ° ° ) у))) ) ~ (уд! у2! ) у))) . ° ). Ь) Пусть 1: Х -+ У и д: У + Я' — биективные отображения, Покажите, ' отображение д о 1: Х -+ о биективно и что (д о 1) '= 1 'од с) Покажите, что для любых отображений 1: Х -+ У, д: У вЂ” + Я и люб< множества С С с справедливо равенство (д о1) (С) = 1 (д (С)).
д1) Проверьте, что отображение Е: Х х У -+ У х Х, задаваемое соответствд (х, у) <-+ (у, х), биективно. Опишите взаимосвязь графиков взаимно обратных от ражений1:Х-+У и 1 ':У-+Х. 7. а) Покажите, что при любом отображении 1: Х -+ У отображение .Г.: Х -~ Х х У, определяемое соответствием х ) — + (х, 1(х)), является иньективным. Ь) Пусть частица движется равномерно по окружности У; пусть Х вЂ” ось в 1 мени и х ) — + у — соответствие между моментом времени х <= Х и положением 1 = 1(х) Е У частицы. Изобразите график функции 1: Х -+ У в Х х У.
8. а) Для каждого из разобранных в ~ 3 примеров 1 — 12 выясните, является указанное в нем отображение сюръективным, инъективным, биективным или оно принадлежит ни одному из указанных классов. Ь) Закон Ома 1 = У'/1д связывает силу тока 1 в проводнике с напряжением Ъ' концах проводника и сопротивлением В проводника. Укажите, отображение О: Х -+ У каких множеств соответствует закону Ома.
Подмножеством какого множес". является отношение, отвечающее закону Ома? с) Найдите преобразования С ', Х ', обратные к преобразованиям Галилед Лоренца. 9. а) Множество Я С Х называется устойчивым относительно отображен 1: Х -+ Х, если 1"(Я) С Я. Опишите множества, устойчивые относительно сдвд плоскости на данный лежащий в ней вектор, Ь) Множество 1 С Х называется инвариантньдм относительно отображек 1: Х -+ Х, если 1(1) = 1.
Опишите множества, инвариантные относительно по рота плоскости вокруг фиксированной точки. с) Точка р Е Х называется неподвдджной точкой отображения 1: Х -+ Х, ед 1(р) = р. Проверьте, что любая композиция сдвига, вращения и гомотетии плос: сти имеет неподвижную точку, если коэффициент гомотетии меньше единицы. д1) Считая преобразования Галилея и преобразования Лоренца отображения плоскости на себя, при которых точка с координатами (х, 8) переходит в точк' координатами (х',8'), найдите инвариантные множества этих преобразований, 10.
Рассмотрим установившийся поток жидкости (т. е, скорость в каждой то. потока не меняется со временем). За время 1 частица, находящаяся в точке х пото переместится в некоторую новую точку 1<(х) пространства. Возникающее отобью жение х )-+ 1д(х) точек пространства, занимаемого потоком, зависит от времени называется преобразованием за время 8. Покажите, что 1д, о 1дд = 1<д о Ус, = 1<д. и 1д о 1 — < = 1о = ех З 4.
Некоторые дополнения 1. Мощность множества (кардинальные числа). Говорят, что м1 жество Х равномощно множеству У, если существует биективное отобра> ние Х на У, т. е. каждому элементу х е Х сопоставляется элемент у Е причем различным элементам множества Х отвечают различные элемен множества У и каждый элемент у Е У сопоставлен некоторому элементу м1 жества Х. Описательно говоря, каждый элемент х е Х сидит на своем месте у б все элементы Х сидят и свободных мест у б У нет.
Ясно, что введенное отношение Х Е У является отпношением эквивален мости, поэтому мы будем, как и договаривались, писать в этом случае Х вместо Х )с У. Отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств классы эквивалентных между собой множеств. Множества одного кла~ эквивалентности имеют одинаковое количество элементов (равномощны) разных — разное. Класс, которому принадлежит множество Х, называется мощностью м жества Х, а также кардиналом или кардинальным числом множества Л обозначается символом сахс1Х. Если Х У, то пишут сахйХ = сагс1У. Смысл этой конструкции в том, что она позволяет сравнивать количеств элементов множеств, не прибегая к промежуточному счету, т.
е. к измерен: количества путем сравнения с натуральным рядом чисел Я = 11, 2, 3, Последнее, как мы вскоре увидим, иногда принципиально невозможно. Говорят, что кардинальное число множества Х не больше кардинальнс числа множества У, и пишут саха Х < сагс1 У, если Х равномощно некоторо подмножеству множества У. Итак, (сагй Х < сагс1У):= (3Я С У ~ сагй Х = сагс1 Я). Если Х с У, то ясно, что сагс1Х < сагс1У. Однако, оказывается, со~ ношение Х С У не мешает неравенству сахс1У < сагйХ, даже если Х ес собственное подмножество У. х Например, соответствие х ~-~ есть биективное отображение про1 1 — ~х~ жутка — 1 < х < 1 числовой оси К на всю эту ось.
Возможность для множества быть равномощным своей части являе~ характерным признаком бесконечных множеств, который Дедекинд') да предложил считать определением бесконечного множества. Таким образс множество называется конечным (по Дедекинду), если оно не равномош 1)Р. Дедекинд (1831 — 1916) — немецкий математик-алгебраист, принявший актив| участие в развитии теории действительного числа. Впервые предложил аксиоматику м жества натуральных чисел, называемую обычно аксиоматикой Пеано — по имени Дж.
Пе (1858 — 1932), итальянского математика, сформулировавшего ее несколько позже. гл. ь ньилло~ ыь оьщьяа~ьялз.и-зьс ~иь пипл~ил никакому своему собственному подмножеству; в противном случае оно н зывается бесконечным. Подобно тому, как отношение неравенства упорядочивает действительн~ числа на числовой прямой, введенное отношение неравенства упорядочива мощности или кардинальные числа множеств. А именно, можно доказать, ч справедливы следующие свойства построенного отношения: 1.
(сагс1Х < сагс1У) Л (сагс1У < сагдЯ) => (сагс1Х < сагдЯ) (очевидно) 2. (сагс1Х < сагс1У) Л (сагдУ < сагс1Х) =~ (сагс1Х = сагс1У) (теорем Шредера — Бернштейна' ) ) . 3. ЧХ ЧУ (сахс1Х < сагс1У) ~ (сагс$У < сагдХ) (теорема Кантора). Таким образом, класс кардинальных чисел оказывается линейно упоряд ченным. Говорят, что мощность множества Х меньше мощности множества У, пишут сагй Х < сагс1 У, если сагс1 Х < саха У и в то же время сап1 Х ф сагс1' Итак, (сахйХ < сагс1У):= (сагс1Х < сагйУ) Л (сагйХ ф сагс1У).
Пусть, как и прежде, И вЂ” знак пустого множества, а Р(Х) — символ мв жества всех подмножеств множества Х. Имеет место следующая открыт Кантором Теорема. сагдХ < сагс1Р(Х). ~ Для пустого множества И утверждение очевидно, поэтому в дальнейш~ можно считать, что Х ~~ Я. Поскольку Р(Х) содержит все одноэлементные подмножества Х, сагй Х < сагс1 Р(Х). Для доказательства теоремы теперь достаточно установить, что сагй Х ~ сап1Р(Х), если Х ~ И.
Пусть, вопреки утверждению, существует биективное отображение Х -+ Р(Х). Рассмотрим множество А = (х е Х ~ х ф ~(ж)) тех элемент х Е Х, которые не содержатся в сопоставленном им множестве ~(х) б Р(Л Поскольку А Е Р(Х), то найдется элемент а Е Х такой, что 1'(а) = А. Д элемента а Е Х невозможно ни соотношение а е А (по определению А),: соотношение а ~ А (опять-таки по определению А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
