В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 6
Текст из файла (страница 6)
П р и м е р 7. Пусть М(Х; У) — множество отображений множества Х множество У, а хо — фиксированный элемент из Х. Любой функции ~ Е М(Х; У) поставим в соответствие ее значение ~(хо) Е У на элементе а Этим определяется функция с ': М(Х; У) -+ У. В частности, если У = К, т. если У есть множество действительных чисел, то каждой функции ~: Х -+ функция Г: М(Х; К) -+ К ставит в соответствие число Р'(~) = ~(хв).
Такъ образом, г есть функция, определенная на функциях. Для удобства так функции называют функционалами. Пример 8. Пусть à — множество кривых, лежащих на поверхнос. (например, земной) и соединяющих две ее фиксированные точки. Кажд< кривой ~ <= Г можно сопоставить ее длину. Тогда мы получим функци Г: Г -+ К, которую часто приходится рассматривать с целью отыскан| кратчайшей линии или, как говорят, ееодезической линии между данными точками на поверхности. П р и м е р 9. Рассмотрим множество М(К; К) всех вещественнозначнь функций, определенных на всей числовой оси К. Фиксировав число и <= К, к ждой функции ~ <= М(К; К) поставим в соответствие функцию ~ <= М(К; Я связанную с ней соотношением ~ (х) = ~(х + а). Функцию ~,(х) обычно н зывают сдвигом на а функции ~(х). Возникающее при этом отображен~ А: М(К; К) -+ М(К; К) называется оператором сдвиеа.
Итак, оператор определен на функциях и значениями его также являются функции: ~, = А(~ Рассмотренный пример мог бы показаться искусственным, если бы мы ~ каждом шагу не видели реальные операторы. Так, любой радиоприемник ес~ оператор ~ < — < ~, преобразующий электромагнитные сигналы ~ в звуковые любой из наших органов чувств является оператором (преобразователем) с своими областью определения и областью значений.
Пример 10. Положение частицы в пространстве определяется упоряд< ченной тройкой чисел (х, у, ~), называемой ее координатами в пространств Множество всех таких упорядоченных троек можно себе мыслить как прямс произведение К х К х К = Кз трех числовых осей К. При движении в каждый момент времени 1 частица находится в некот< рой точке пространства К~ с координатами (х(~),у(~), ~(~)). Таким образо~ э. ч г ппцил движение частицы можно интерпретировать как отображение у: К -+ Кз, г К вЂ” ось времени, а К~ — трехмерное пространство, Если система состоит из и частиц, то ее конфигурация задается полол нием каждой из частиц, т.
е. упорядоченным набором (х1, у1, г1, х2,у2, ~~„. ...; х„, у„, ю„) из Зп чисел, Множество всех таких наборов называется кону гурационным пространством системы и частиц. Следовательно, конфигуг ционное пространство системы и частиц можно интерпретировать как прям произведение К~ х К~ х... х Кз = Кз" и экземпляров пространства К~. Движению системы из и частиц отвечает отображение у: К -+ Кз" о времени в конфигурационное пространство системы. П р и м е р 11. Потенциальная энергия У механической системы связан взаимным расположением частиц системы, т. е. определяется конфигураци~ которую имеет система.
Пусть Я вЂ” множество реально возможных конфиг раций системы. Это некоторое подмножество конфигурационного простра ства системы. Каждому положению о е Я отвечает некоторое значение У( потенциальной энергии системы. Таким образом, потенциальная энергия ес функция У: Я -+ К, определенная на подмножестве Я конфигурационно пространства со значениями в области К действительных чисел. Пример 12. Кинетическая энергия К системы и материальных част~ зависит от их скоростей. Полная механическая энергия системы Е = К + ! т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, зависит, таким образо как от конфигурации о системы, так и от набора и скоростей ее частиц.
К и конфигурация о частиц в пространстве, набор и, состоящий из п трехме ных векторов, может быть задан упорядоченным набором из Зп чисел. Уп рядоченные пары (д,о), отвечающие состояниям нашей системы, образун подмножество Ф в прямом произведении Кз" х Кз" = Кв", называемом фаз вым пространством системы п частиц (в отличие от конфигурационно: пространства Кз").
Полная энергия системы является, таким образом, функцией Е: Ф -~ ! определенной на подмножестве Ф фазового пространства Кв" и принимающ~ значения в области К действительных чисел. В частности, если система замкнута, т. е. на нее не действуют внешн| силы, то по закону сохранения энергии в любой точке множества Ф состоян~ системы функция Е будет иметь одно и то же значение Ев Е К.
2. Простейшая классификация отображений. Когда функцию Х -+ У называют отображением, значение ~(х) Е У, которое она принима< на элементе х Е Х, обычно называют образом элемента х. Образом множества А С Х при отображении ~: Х -+ 1' называют мн жест во ДА):= (у б У ~ Зх ((х б А) Л (у = Дх))) тех элементов У, которые являются образами элементов множества А. Множество тех элементов Х, образы которых содержатся в В, называют прообраз (или полным прообразом) множества В С У (рис. 6).
Про отображение ~: Х -+ У говорят, ч оно: сюръективно (или есть отображение на У), если ДХ) = У; инъективно (или есть вложение, инъ< иил), если для любых элементов х1, х~ м~ жества Х (.~(Х1) = .~(Х2)) =" (Х1 = Х2), Рис. 6 т. е. различные элементы имеют различн образы; биективно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъектив одновременно. Если отображение ~: Х -+ У биективно,т. е.является взаимно однозн< ным соответствием между элементами множеств Х и У, то естественно в< никает отображение ': У вЂ” ~Х, которое определяется следующим образом: если Дх) = у, то ~ '(у) = т.
е. элементу у Е У ставится в соответствие тот элемент х Е Х, образ которого при отображении ~ является и. В силу сюръективности ~ так элемент х б Х найдется, а ввиду инъективности ~ он единственный. Так1 образом, отображение ~ ' определено корректно. Зто отображение называ~ обратным по отношению к исходному отображению ~. Из построения обратного отображения видно, что ~ ': У вЂ” ~ Х само яж ется биективным и что обратное к нему отображение (~ ') ': Х вЂ” ~ У совг дает с ~: Х вЂ” ~ У. Таким образом, свойство двух отображений быть обратными является в: имным: если ~ ' — обратное для ~, то, в свою очередь, ~ — обратное для ~ Заметим, что символ ~ '(В) прообраза множества В с У ассоциируетс~ символом ~ ' обратной функции, однако следует иметь в виду, что прообр множества определен для любого отображения ~: Х -~ У, даже если оно является биективным и, следовательно, не имеет обратного, 3.
Композиция функций и взаимно обратные отображения. Б гатым источником новых функций, с одной стороны, и способом расчленен сложных функций на более простые — с другой, является операция композ ции отображений. Если отображения ~: Х -+ У и д: У -+ 2 таковы, что одно из них нашем случае д) определено на множестве значений другого (~), то мож построить новое отображение до~:Х-+Я, значения которого на элементах множества Х определяются формулой . (д о ~)(х); = д(„~(х)).
Построенное составное отображение д о ~ называют композициеб отоб~ жения ~ и отображения д (в таком порядке!), Рисунок 7 иллюстрирует конструкцию композиции отображений ~ и д, С композицией отображений вы уже неоднократно встречались как в г~ метрии, рассматривая композицию движений плоскости или пространст~ так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, полученных композицией простейших элементарных функций. Операцию композиции иногда приходится проводить несколько раз подряд, и в этой связи полезно отметить, что она ассоциативна, т. е. Ьо(до~) =(Йод)о~.
Рис. 7 М Действительно, й о (д о У)(х) = п((д о У)(х)) = й(д(~(х))) = = (Ь о д) ®х)) = ((Ь о д) о У) (х). Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения нескольк чисел,позволяет опускать скобки, предписывающие порядок спаривания. Если в композиции ~„ о ... о ~1 все члены одинаковы и равны ~, то обозначают коротко ~". Хорошо известно, например, что корень квадратный из положительно числа а можно вычислить последовательными приближениями по формуле 1( с~~ хп+1 — ~хо + ~ т 2 ~ х„,~' начиная с любого начального приближения хо ) О. Это не что иное, как пос~ довательное вычисление ~" (хо), где ~(х) = — ~х+ ~1. Такая процедура, ког 2~ хг' вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге сч новится ее аргументом, называется итерационным ироцессом.
Итерационн| процессы широко используются в математике. 18 ГЛ. Ь НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТ'ЕМАТИ'4ЕОКИЕ ИОНН'А'И.Н Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции д о ~ и ~ о определены, вообще говоря, до~ф 1'од. Действительно, возьмем, например, двухзлементное множество (а,Ь) отображения У: (а, Ь) -+ а, д: (а, Ь) -+ Ь. Тогда, очевидно, д о ~: (а, Ь) -+ в то время как ~ о д: (а, Ц -+ а, Отображение У: Х -~ Х, сопоставляющее каждому элементу множест~ Х его самого, т..е. х ~ — + х, будем обозначать через ех и называть тождеств, У венным отображением множества Х. Лемма.
(д о ~ = ех) =~ (д сюръективно) Л (~ инъективно). ф Действительно,если~:Х-+У, д: У-~Х и до~=ех: Х-+Х,то Х = ех(Х) = (д У)(Х) = д(У(Х)) с д(1') и, значит, д сюръективно. Далее, если х1 б Х и Х2 Е Х, то (Х1 ~ х2) =~ (ех(Х1) ф ех(Х2)) =~ ((д о У)(х1) ф (д о ~)(х2)) =Ф =~' (д(.~(х1)) ф д(.~(х2)) ~ (.1(х1) ф ~(х2)), следовательно, ~ инъективно. ~ Через операцию композиции отображений можно описать взаимно обра ные отображения. Утверждение. Отображенил У: Х -+ У, д: У вЂ” ~ Х лвллютсл бие тивными и взаимно обратными в том и только в том случае, ковда д о ~ =ех и ~од=еу. ~ В силу леммы одновременное выполнение условий д о ~ = ех и ~ о д = е гарантирует сюръективность и инъективность, т. е. биективность каждо~ из отображений У, д.
Эти же условия показывают, что у = ~(х) в том и только в том случа когда х = д(у). Э Выше мы исходили из явного построения обратного отображения. Из д казанного утверждения следует, что мы могли бы дать менее наглядное, ~ зато более симметричное определение взаимно обратных отображений как т ких, которые удовлетворяют двум условиям: д о ~ = ех и ~ о д = е1 (см. этой связи задачу 6 в конце параграфа). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
