В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. множество Р(Р(Х, 0 Р(У)) содержит все упорядоченные пары (х, у), в которых х б Х и у Е У. Ь) Покажите, что всевозможные отображения ~: Х вЂ” » У одного фиксированг го множества Х в другое фиксированное множество У сами образуют множест М(Х, У). с) Проверьте, что если Я. — множество упорядоченных пар (т. е.
отношение), первые элементы пар, принадлежащих множеству Рс (как и вторые), сами образу~ множество. 3. а) Используя аксиомы объемности, пары, выделения, объединения и бесг нечности, проверьте, что для элементов множества 1Чо натуральных чисел по ф Нейману справедливы следующие утверждения: 1' х=у=»х+=у+; 2' (Чх Е Мо) (х+ ф И); 3' х+=у+~х=у; 4' (Мх Е 1Чо) (х Ф И =» (Зу Е Мо) (х = у+)). Ь) Используя то, что 1Чо — индуктивное множество, покажите, что для люб| его элементов х и у (а они в свою очередь являются множествайи) справедли| следующие соотношения: 1' сагс1х < сагах+; 2' сагс1В < сап1х+; 3' сагс1 х < сагс1 у <=» сагд х+ < сагс1 у+; 4' сагс1х < сагс1х+; 5' сагах < сагс1у ~ сагах+ < сагс1у; б' х = у с=» сагс1 х = сагй у; 7' (х С у) У (х ) у).
1'дд. д. ддвкО'д'Обык ОвщамА'д'имА'д'и ды жид' дд>.ддддд д'ии с) Покажите, что в любом подмножестве Х множества 1Ча найдется такой (н меньший) элемент х, что (Чх Е Х) (сагах < сагах). (В случае затруднени этой задаче можно вернуться после прочтения главы П.) 4. Мы будем иметь дело только с множествами. Поскольку множество, состояд из различных элементов, само может быть элементом другого множества, логики множества обычно обозначают строчными буквами. ' В настоящей задаче это оч удобно. а) Проверьте, что запись Чх 3 у >д>а (х Е у ~=~ Вид (х Е ид Л ид Е х)) выражает аксиому объединения, по которой существует множество у — объедине: множества х.
Ь) Укажите, какие аксиомы теории множеств представлены записями Ух Чу Ча ((а Е х 4Ф я Е у) ФФ х = у), Чх Чу Зл >>гд> (д> Е х с»>~ (д> = х д/ дд = у)), Чх =>у Ч~ (х Е у ~=~ Уи (и Е х =~ и Е х)), Зх (Уу ( 3л (л Е у) =а у Е х) Л Уи> (ид Е х =~ Уи (>>>д> (д> Е и с=," 4Ф (д> = ид Ч д> Е и>)) ФФ и Е х), с) Проверьте, что формула Чх (л Е ~ ~ (=дхд Зуд (хд Е х Л уд Е у Л х = (хд>уд))) Л Л ДГхд (хд Е х ~ Зуд Зя (уд Е у Л х = (хд> уд) Л в Е ~)) Л Л Ухд Чуд УУ2 (Зйд 332 (хд Е ~ Л х2 Е ~ Л хд —— (хд,уд) Л Л ~я = (хд>У2)) ~ Уд = У2 последовательно накладывает на множество ~ три ограничения: ~ есть подмно: ство х х у; проекция ~ на х совпадает с х; каждому элементу хд из х отвечает род один элемент уд из у такой, что (хд, уд) Е ~. Таким образом, перед нами определение отображения ~: х -+ у.
Этот пример еще раз показывает, что формальная запись высказывания отни не всегда бывает более короткой н прозрачной в сравнении с его записью на раз ворном языке. Учитывая это обстоятельство, мы будем в дальнейшем использовд логическую символику лишь в той мере, в какой она будет нам представляться лезной для достижения большей компактности или ясности изложения.
5. Пусть ~: Х -+ У вЂ” отображение. Запишите логическое отрицание каждого следующих высказываний: а) ~ сюръективно; Ь) ~ инъективно; с) ~> биективно. б. Пусть Х и г — множества и ~ с Х х г'. Запишите, что значит, что множесд ~ не является функцией. ГЛАВА 11 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что поз| ляют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в другой нас чисел, составляющий промежуточную или окончательную цель вычислен~ По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают словые функции. Они (точнее, так называемые дифференцируемые числов функции) составляют главный объект исследования классического акали Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описа» свойств этих функций, как вы уже могли почувствовать в школе и в чем вс1 ре убедитесь, невозможно без точного определения множества вещественн чисел, на котором эти функции действуют. Число в математике, как время в физике, известно каждому, но непон~ но лишь специалистам.
Это одна из основных математических абстракц~ которой, по-видимому, еще предстоит существенная эволюция и рассказ1 которой может быть посвящен самостоятельный насьпценный курс. Здесь мы имеем в виду только свести воедино то, что читателю в основном извест о действительных числах из средней школы, выделив в виде аксиом фундам~ тальные и независимые свойства чисел.
При этом наша цель состоит в т( чтобы дать точное, пригодное для последующего математического испо. зования определение вещественных чисел и обратить особое внимание на свойство полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельнс перехода — основной неарифметической операции анализа. ~ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел 1. Определение множества действительных чисел Определение 1. Множество К называется множеством действите.
иых (вещественных) чисел, а его элементы — дейстпвитпельиыми (веществ~ ными) числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемь аксиоматикой вещественных чисел: (1) Аксиомы сложения Определено отпображение (операция сложения) +: КХК-»К, сопостпавляющее каждой упорядоченной паре (х, у) элементов х, у из К нек тпорый элементп х+у Е К, называемый суммой х и у, При этом выполнет следующие условия: 1+. Существуетп нейтральный элементп О (называемый в случае сл жения нулем) такой, что для любого х е К х+О = О+х = х. 2+.
Для любого элементпа х Е К имеется элементп — х Е К, называели противоположным к х, тпакой, что х+( — х) = ( — х)+х=О. 3». Операция + ассоциативна, тп. е. для любых элементпов х, у, з из выполнено х+(у+я) = (х+ у) + ю. 4». Операция + коммутатпивна, т. е. для любых элементпов х, у из выполнено х+у=у+х. Если на каком-то множестве С определена операция, удовлетворяющая а сиомам 1+, 2+, 3+, то говорят, что на С задана структура группы или ч 0 есть группа. Если операцию называют сложением, то группу называв аддитивной.
Если, кроме того, известно, что операция коммутативна, т. выполнено условие 4+, то группу называют коммутативной или абелевой' Итак, аксиомы 1» — 4» говорят, что К есть аддитивная аоелева группа. (П) Аксиомы умножения Определено отображение (операция умножения) е: КХК-+К, сопоставляющее каждой упорядоченной паре (х,у) элементпов х, у из К ь котпорый элемент х. у Е К, называемый произведением х и у, прич так, что выполнены следующие условия: Ц Н. Х. Абель (1802 — 1829) — замечательный норвежский математик, доказавший ) разрешимость в радикалах алгебраических уравнений выше четвертой степени. 1,.
Существует нейтральный элемент 1 Е К ~ О (называемый в случ умножения единицей) такой, что Чх б К х 1=1.х=х. 2,. Для любоео элемента х Е К~О имеется элемент х ~ Е К, называем~ обратным, такой, что х х =х х=1. 3,. Операция ° ассоциативна, т. е. для любых х, у, я из К х (у . л) = (х у) 4,. Операция ° коммутативна, т. е. для любых х, у из К Заметим, что по отношению к операции умножения множество К ~ О, к можно проверить, является (мультипликативной) группой, (1, 11) Связь сложения и умножения Умножение дистрибутиено по отношению и сложению, т. е.
Чх, у, л Е (х+ у)~ = хл+ ул. Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равенство с хранится, если в обеих его частях поменять порядок множителей. Если на каком-то множестве С действуют две операции, удовлетворяюш всем перечисленным аксиомам, то С называется алгебраическим полем и. просто полем. (111) Аксиомы порядка Между элементами К имеется отношение <, т. е. для, элементов х.
из К установлено, выполняется ли х < у или нет. При этом должны ус влетворяться следующие условия: 0<. Чх Е К (х < х). 1<. (х < у) Л (у < х) ~ (х = у). 2<. (х < у) Л (у < ~) =~ (х < ~). 3<. ЧхбКЧуЕК (х<у)Ч(у<х). Отношение < в К называется отношением неравенства. Множество, между некоторыми элементами которого имеется отношен~ удовлетворяющее аксиомам 0<, 1<, 2<, как известно, называют частично уг, рядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома 3<, т. е. любые два элема та множества сравнимы, то множество называется линейно упорядоченны и Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядочено с ношением неравенства между его элементами. (1, П1) Связь сложения и порядка в К Если х, у, л — элементы К, то (х < у) => (х + ~ < у + л).
(П, 1П) Связь умножения и порядка в К Если х, у — элементы К, то (О < х) А (О < у) =~ (О < х у). (1Ъ') А к с и о м а п о л н о т ы ( н е и р е р ы в н о с т и) Если Х и У вЂ” непустые подмножества К, обладающие тем свойств~ что для любых элементов х Е Х и у Е У выполнено х < у, то существу такое с Е К, что х < с < у для любых элементов х Е Х и у Е У. Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то было множестве К позволяет считать это множество конкретной реализац~ или, как говорят, моделью действительных чисел.
Это определение формально не предполагает никакой предварительной ~ формации о числах, и из него, «включив математическую мысль», опять-та формально мы должны получить уже в качестве теорем остальные свойсч действительных чисел. По поводу этого аксиоматического формализма хо лось бы сделать несколько неформальных замечаний. Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, ку( ков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральн чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациона. ным числам; что вам неизвестно великое открытие древних о том, что д| гональ квадрата несоизмерима с его стороной и потому ее длина не мол быть рациональным числом, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
