В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Последнее невозможно, посколь Ы ~ Е = М ~ а. Найденное число (и+ 1) Е М и будет минимальным в М, поскольку меж, п и и+ 1, как мы видели, уже нет натуральных чисел. > 2. Рациональные и иррациональные числа а. Целые числа Определение 3. Объединение множества натуральных чисел, множ ства чисел, противоположных натуральным числам, и нуля называется мн жеством целых чисел и обозначается символом У,. Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натуральнь чисел не выводят за пределы 1Ч, то эти же операции над целыми числами 1 выводят за пределы множества Ж.
~ Действительно, если т, п Е Ж, то либо одно из этих чисел равно нул и тогда сумма т+ и равна другому числу, т. е. (т+ и) Е Е, а произведен| т - и = О Е У, либо оба числа отличны от нуля. В последнем случае ли( т,и Е М и тогда (т+ и) Е М С У и (т и) Е Ы С У, либо (-т),(-и) б М тогда т п = ((-1)т)(( — 1)и) Е И, либо ( — т),и Е И и тогда ( — т и) Е И, т. т и Е У,либо, наконец, т, -и Е И и тогда (-т и) Е 1Ч и снова т п Е У., Таким образом, У есть абелева группа по отношению к операции сложени По отношению к операции умножения множество Ж и даже Я ~ О не являе ся группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат в У (кроме числ обратного единице и минус единице). ° Действительно, если т Е Ж и т ~ О, 1, то, считая сначала т е имеем О .
1 ( т и, поскольку т т ' = 1 > О, должно быть О < т ' < (см. в предыдущем параграфе следствия аксиом порядка). Таким образо т ' ф Ж. Случай, когда т — отрицательное целое число, отличное от— непосредственно сводится к уже разобранному. в В том случае, когда для чисел т, и Е Ж число Й = т и ' Е У, т. е. ког, т = й и, где й Е У, говорят, что целое число т делится на целое число и и.
кратпно и, или что и есть делитель т. Делимость целых чисел путем надлежащих изменений знаков, т. е. домн жением на — 1, если в этом есть необходимость, немедленно приводится делимости соответствующих натуральных чисел, в рамках которых она и из чается в арифметике. Напомним без доказательства так называемую основную теорему арйфм тики, которой при рассмотрении некоторых примеров мы будем пользоваты Число р Е И, р ф 1, называется простым, если в 1ч у него нет делителе отличных от 1 и р. Основная теорема арифметики.
Каждое натуральное число о пускает и притом единственное (с точностью до порлдка сомножителе представление в виде произведения и =Р~ риаз где р1, ..., рь — простые числа. Числа т, и Е Ж называются взаимно простыми, если у них нет общ1 делителей, отличных от 1 и -1, Из приведенной теоремы, в частности, видно,что если произведение т взаимно простых чисел т, п делится на простое число р, то одно из чисел ~ и также делится на р.
Ь. Рациональные числа Определение 4. Числа вида т. п ', где т, и Е Ж, называются раци нальными. Множество рациональных чисел обозначается знаком Я. Таким образом, упорядоченная пара (т, и) целых чисел определяет раци нальное число о = т и ', если и ф О.
Число д = т и ' записывают также в виде отношения'~ т и п или т~ называемой рациональной дроби —. Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой фо ме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вытекают 1 '~Обозначение Ц вЂ” по начальной букве англ. ццойеп$ — отношение (от лат. цпоФа часть, приходящаяся на единицу чего-либо, и опо$ — сколько). ГЛ. 11.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА определения рационального числа и аксиом действительных чисел. В частности, «от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же оти»й личное от нуля целое число величина дроби не изменяется», т. е. дроби — и тй — представляют одно и то же рациональное число. В самом деле, поскольку п (пУс)())с 1п 1) = 1, т. е.
(п Ус) 1 = Ус 1.п 1, то (тй)(тй) ' = (тй)(Й 1п ') = =т.п Таким образом, различные упорядоченные пары (т, п) и (тй, тй) задают одно и то же рациональное число. Следовательно, после соответствующих сокращений любое рациональное число можно задать упорядоченной парой взаимно простых целых чисел.
С другой стороны, если пары (т1,п1) и (т~,п2) задают одно и то же рациональное число, т. е. т1.п1 = та п2, то т1п2 — — т~п1, и если, например, т1 и п1 взаимно просты, то в силу упомянутого следствия основной теоремы арифметики п2 . п, = т2 . т = Й б У. Мы показали, таким образом, что две упорядоченные пары (т1,п1), (та, п2) задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. существует число 1с Е Ж такое, что, например, тр = Йт1 и пз —— Ьг1. с.
Иррациональные числа О п р е д е л е н и е 5. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Классическим примером иррационального действительного числа является ~/2, т. е. число в Е 2 такое, что в > О и в2 = 2. Иррациональность ~/2 в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Итак, проверим, во-первых, что существует положительное действительное число в е И, квадрат которого равен двум, и, во-вторых, что в ф Я. ° я Пусть Х и У вЂ” множества положительных действительных чисел такие, что ЧхЕХ (х~ <2), Чуба (2<у2).
Поскольку16Х,а2ЕУ,тоХиУ— непустые множества. Далее, поскольку для положительных х и у (х < у) с=Ф (х2 < у2), то любой элемент х Е Х меньше любого элемента у Е У. По аксиоме полноты сущестВуЕт ЧИСЛО В Е )К таКОЕ, ЧтО Х < В < у дЛя ЧХ Е Х И Чу 1с У. Покажем, что в2 = 2. Если бы было в~ < 2, то, например, квадрат числа в + — 8, большего з чем в, был бы меньше 2. Действительно, ведь 1 Е Х, поэтому 12 < в~ < 2 и О < Ь = 2 — в2 < 1.
Значит, з 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Следовательно, в + — / Е Х, что несовместимо с неравенством х < 8 для любого элемента х Е Х, 2 л — 2 Если бы было 2 < 8, то, например, квадрат числа 8 — —, меньшего чем 8, был бы больше 2. Действительно, ведь 2 Е У, поэтому 2 < 82 < 2 или 0<Ь=82 — 2<3 и 0« — 1. Отсюда 3 < л — — ~ =з — 2 — +~ — ~ >8 — 3 ° — =8 — Ь=2, 31 3 ~31 3 и мы вступаем в противоречие с тем, что 8 ограничивает множество У снизу.
Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность: 82 = 2. Покажем, наконец, что 8 ф Я. Предположим, что 8 е Я, и пусть ™вЂ” несократимое представление 8. Тогда т2 = 2 и2, следовательно, т2, а значит, и т делится на 2. Но если т = 2Й, то 212 = п2 и по той же причине и должно т делиться на 2, что противоречит несократимости дроби —. й и Сейчас мы трудились над тем, чтобы доказать существование иррациональных чисел. Вскоре мы увидим, что в некотором смысле почти все действительные числа иррациональны.
Будет показано, что мощность множества иррациональных чисел больше мощности множества всех рациональных чисел и совпадает с мощностью множества всех действительных чисел. Среди иррациональных чисел выделяют еще так называемые алгебраические иррациональности и трансцендентные числа. Вещественное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения аох" +... + а„1х + а„= 0 с рациональными <или, что эквивалентно, с целыми) коэффициентами. В противном случае число называется тпрансцендентны.м.
Мы увидим, что мощность множества алгебраических чисел такая же, как мощность множества рациональных чисел, а мощность множества трансцендентных чисел такая же, как мощность всех действительных чисел; поэтому на первый взгляд кажутся парадоксальными и неестественными трудности в предъявлении конкретного трансцендентного числа, точнее, в доказательстве его трансцендентности. Так, например, только в 1882 г. было доказано, что классическое геометрическое число и'является трансцендентным' ), а одна из знаменитых проблем Ц т — число, равное в евклидовой геометрии отношению длины окружности к ее диаметру.
Отсюда общепринятое с Х111 века обозначение этого числа начальной буквой греческого слова тер~уероа — периферия (окружность). 11зансцендентность т доказана немецким математиком Ф. Линдеманом (1852 †19). Из трансцендентности ~г, в частности, вытекает невозможность построения циркулем и линейкой отрезка длины т (задача о спрямлении окружности), как и неразрешимость этими средствами древней задачи о квадратуре круга. ГЛ. И. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 50 3. Принцип Архимеда. Переходим к важному как в теоретическом отношении, так и в плане конкретного использования чисел при измерениях и вычислениях принципу Архимеда2).
Мы докажем его, опираясь на аксиому полноты (точнее, на эквивалентную ей лемму о верхней грани). При другой аксиоматике множества действительных чисел этот фундаментальный принцип часто включают в список аксиом. Заметим, что утверждения, которые мы до сих пор доказывали о натуральных и целых числах, совершенно не использовали аксиому полноты. Как будет видно из дальнейшего, принцип Архимеда, в сущности, отражает свойства натуральных и целых чисел, связанные с аксиомой полноты. С этих свойств мы и начнем.
1' В любом непустом оераниченном сверху подмножестпве множестпва натуральных чисел имеется максимальный элементп. ~ Если Е С Я вЂ” рассматриваемое множество, то по лемме о верхней грани 3! 8пр Е = в Е К. По определению верхней грани, в Е найдется натуральное число и Е Е, удовлетворяющее условию в — 1 < и < в. Тогда и = шахЕ, поскольку все натуральные числа, которые больше и, не меньше и + 1, а п+1>в. ~ Следствия, 2' Множестпво натпуральных чисел не оераничено сверху. ° ф В противном случае существовало бы максимальное натуральное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
