В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 11
Текст из файла (страница 11)
нужны иррациональные числа; что у вас в возникающего в процессе измерений понятия «больше» («меньше»); что вы иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой. Если всего этого предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не толь не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но, скор показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае произвольн| плодом фантазии. Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возникают крайней мере два вопроса. Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т.
е. существует ли-множест: удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о непротиво, чивости аксиоматики. Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет математи ский объект, т. е., как сказали бы логики, категорична ли система аксис Однозначность здесь надо понимать следующим образом. Если лица А и независимо, построили свои модели, к примеру, числовых систем КА и Б удовлетворяющие аксиоматике, то между множествами Кл, Кв можно ус. новить биективное соответствие, пусть ~: Кл — ~ Кп, сохраняющее арифме". ческие операции и отношение порядка, т.
е. Дх + у) = ~(х) + ~(у), ~(х у) = Дх) ~(у), х < у «=ь У(х) < ~(у). С математической точки зрения Кл и Кв в таком случае являются все| навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделял действительных чисел (например, Кл — бесконечные десятичные дроби Кв — точки на числовой прямой). Такие реализации называются иэомоу ными, а отображение ~ — иэоморфиэмом. Результаты математической д тельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, ~ каждой модели из класса иэоморфных моделей данной аксиоматики. Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и ограничиь только информативными ответами на них.
Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиоматики в гда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. 1, ~ 4, и. 2), можно 1 строить множество натуральных, затем множество рациональных и, након множество К всех действительных чисел, удовлетворяющее всем перечисл ным свойствам.
Вопрос о категоричности системы аксиом действительных чисел им~ положительный ответ. Желающие получат его самостоятельно, решив заде 23, 24, помещенные в конце следующего параграфа. 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительн~ чисел. Покажем на примерах, как известные свойства чисел получаются приведенных аксиом. а. Следствия аксиом сложения 1' В множестве действительных чисел имеетсл только один нуль, л Если 01 и О~ — нули в К, то по определению нуля 01 = 01 + О~ = 02 + 01 = 02. ° 2' В множестве действительных чисел у каждоео элемента имееп единственный противоположный элемент.
~ Если х1 и х2 — элементы, противоположные х Е К, то х1 —— х1 + О = х1 + (х + х~) = (х1 + х) + х~ — — О + х~ — — х~. Здесь мы использовали последовательно определение нуля, определе~ противоположного элемента, ассоциативность сложения, снова определе| противоположного элемента и, наконец, снова определение нуля. 3' Уравнение а+х=6 в К имеетп и притпом единстпвенное решение х=Ь+( — а). ~$ Это вытекает из существования и единственности у каждого элемент а Е К противоположного ему элемента: (а + х = Ь) «=» ((х + а) + ( — а) = Ь + (-а)) «=» «=» (х+ (а+ ( — а)) = Ь+ (-а)) с.'-.» (х+О = Ь+ ( — а)) «=» «=» (х = Ь+ ( — а)).
в Выражение Ь+ ( — а) записывают также в виде Ь вЂ” а. Зтой более коротт и привычной записи мы, как правило, и будем придерживаться. Ь. Следствия аксиом умножения 1' 8 множестпве дейстпвитпельных чисел имеетпсл тполько одна единицс 2' Для 'каждого числа х ф 0 имеетпсл тполько один о6ратпный элементп х 3' Уравнение а х = Ь при а 6 К~О имеетп и притом единстпвенное реше~ х=Ь-а '. Доказательства этих утверждений, разумеется, повторяют доказательс. соответствующих утверждений для сложения (с точностью до замены симв< и названия операции), поэтому мы их опустим. с.
Следствия аксиомы связи сложения и умножения. Привлека», полнительно аксиому (1, П), связывающую сложение и умножение, получг дальнейшие следствия. 1' Длл лгобого х (= К х 0=0 х=О. М (х О = х . (О+ 0) = х О+ х О) =» (х О = х О+ ( — (х . О)) = О). ~ Отсюда, между прочим, видно, что если х 6 К ~ О, то х ' Е К ~ О. 2' (х - у = 0) =» (х = 0) Ч (у = 0). ~ Если, например, у ф О, то иэ единственности решения уравнения х у = относительно х находим х = 0 у 1 = О. ~» 3' Длл лю6ого х Е К вЂ” х = (-1) х. ~ х+ ( — 1) х = (1+ ( — 1)) х = 0 х = х.0 =0 и утверждение следует единственности противоположного элемента.
~ 5 1, АкоиОмАтикА и (лилиствА дыи~ "тыи'гй'лйзээзЯх $и~ жл 4' Для любого числа х Е К (-1И-.) =' ~ Следует из 3' и единственности элемента х, противоположного — х. в 5О Для любого числа х Е К ( — х)( — х) = х х. ° (-х)( — х) = ((-1) х)( — х) = (х ° ( — 1)И- ) = (( — 1)(-х)) = х Мы последовательно воспользовались двумя предыдущими утверждениями также коммутативностью и ассоциативностью умножения.
Э й. Следствия аксиом порядка. Отметим сначала, что отношение х ( (читается «х меныпе или равно уэ) записывают также в виде у - х («р болы или равно хэ); отношение х < р при х ~6 у записывают в виде х < р (ч тается «х меньше уэ) или в виде у > х («р больше хэ) и называют строг1 неравенством. 1' Для любых х, у Е К всегда имеет место в точности одно из соотн шенин: х(р, х=у, х>у. ° й Это следует из приведенного определения строгого неравенства и аксиэ 1< и 3<.
2' Для любых чисел х, у, г из К (х < р) Л (у < г) =, » (х < г), (х ( у) Л (у < г) =Ф (х < г). ° Ф Приведем для примера доказательство последнего утверждения. По аксиоме 2< транзитивности отношения неравенства имеем (х - у) Л (р < г) С=» (х < у) Л (у ( г) Л (р ф. г) =» (х < г). Осталось проверить, что х у~ г. Но в противном случае (х < у) Л (у < г) С=» (г < у) Л (у < г) ~=» (г < у) Л (р < г) Л (у ф г). В силу аксиомы 1< отсюда следует (у = г) Л (р ф.
г) — противоречие. > е. Следствия аксиом сваи порядка со сложением и умножени~ Если в дополнение к аксиомам сложения, умножения и порядка использов~ аксиомы (1, 1П), (П, П1), связывающие порядок с арифметическими опера1 ями, то можно получить, например, следующие утверждения: 1' Для любых чисел х, у, х, ш из К (х < у) =~ (х + ю) < (у + л), (0<х) =>( — х<0), (х < у) Л (х < м) => (х + х < у+ и), (х < у) Л (я < и) =~ (х+ х < у+ и). ~ Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого неравенства и аксиоме (1, 1П) имеем (х < у) => (х < у) =~ (х + х) < (у + х). Остается проверить, что х+ л ф у+ ~.
В самом деле, Их + ) = (у + )) =~ (х = (у + ) — = у + ( — ) = у) что несовместимо с условием х < у. в 2' Если х, у, х — числа из К, то (0<х)Л(0<у) =~(0<ху), (х < 0) Л (у < 0) =: (О < ху), (х<О)Л(0<у) =>(ху<0), (х < у) Л (О < х) ~ (хя < ул), (х < у) Л (г < 0) =~ (ух < хл). М Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого не1 венства и аксиоме (П, П1) (О < х) Л (О < у) =~ (О < х) Л (О < у) =~ (О < ху).
Кроме того, 0 ф ху, поскольку, как уже было показано, (х . у = О) =~ (х = 0) '~ (у = 0). Проверим еще, например, и третье утверждение: (х < 0) Л (О < у) =~ (О < -х) Л (О < у) =~ =~ (О < ( — х) ° у) -"4' (О < ((-1) х)у) =~ ,=~ (О' < ( — 1) * (ху)) =~ (О < — (ху)) =~ (ху < 0). Юь Читателю предоставляется возможность доказать самостоятельно оста ные соотношения, а также проверить, что если в одной из скобок левой час наших утверждений стоит нестрогое неравенство, то следствием его так будет нестрогое неравенство в правой части.
3' 0<1. М 1ЕК~О,т.е.О,-Е1. Если предположить, что 1 с О, то по только что доказанному (1 < 0) ~ (1 < 0) =~ (О < 1 1) =~ (О < 1). Но мы знаем, что для любой пары чисел х, у <= К реализуется и притом тол| одна из возможностей: х < у, х = у, х > у. Поскольку 0 ф 1, а предпо жение 1 < 0 ведет к несовместимому с ним соотношению 0 < 1, то остае. единственная возможность, указанная в утверждении. ф 4 (О с х) =~ (О < х 1) и (О < х) Л (х < у) =~ (О < у 1) Л (у 1 < х 1).
~ Проверим первое иэ этих утверждений. Прежде всего, х ' ф О. Предположив, что х 1 < О, получим (х ' < О) Л (О < х) =~ (х х-' < 0) =~ (1 < 0). Это противоречие завершает доказательство. ° Напомним, что числа, которые больше нуля, называются положителы ми, а числа меньшие нуля — отрицатпельными. Таким образом, мы доказали, например, что единица — положителы число, что произведение положительного и отрицательного чисел есть чи< отрицательное, а величина, обратная положительному числу, также поло~ тельна.
3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества Определение 2. Говорят, что множество Х С К ограничено све~ (снизу), если существует число с <= К такое, что х < с (соответственно, с < для любого х <= Х. Число с в этом случае называют верхней (соответственно, нижней) гра цей множества Х или также мажорантпой (миноракшой) множества Х. Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, назы: ется ограниченным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
