В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Например, при д = 10 ГЛ. 11. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 62 Тогда для любого п > Й 1 1 0<тй+ — — х<— Д л-р 7н — Р' что, как мы знаем из доказанной выше леммы, невозможно. Полезно также отметить, что если среди чисел ар й 1, ..., ар „хотя бы одно меньше д — 1, то вместо (6) можно написать, что 1 1 т„< тй+— ~й — р ~н-р или, что то же самое, 1 1 т„+ . < тй+ —. дн — р ~~й-р ' (7) Теперь мы в состоянии доказать, что любой символ а„...ао,..., составленный из чисел ай Е (О, 1,..., д — 1), в котором как угодно далеко встречаются числа, отличные от о — 1, соответствует некоторому числу х > О.
В самом деле, по символу ор... ар „... построим последовательность (т„) вида (4). В силу того, что то < т1 « ... т„< ..., а также учитывая (6) и (7), имеем 1 1 1 то < т1 « ... ... « ... т„+ — «... т1 + —, < то+ —. (8) Знак строгого неравенства в последнем соотношении следует понимать так: любой элемент левой последовательности меньше любого элемента правой последовательности. Это вытекает из (7). если теперь взять х = япр т„(= 1п1 (т + д ~" р))), то последовательность нем нем т„ будет удовлетворять условиям (4), (5), т.
е. символ ар ...ар „ ... отвечает найденному числу х Е К. Итак, каждому положительному числу х 6 К мы взаимно однозначно сопоставили символ вида ар...ао,..., если р > О, или 0,0...0ар..., если р < О. ~р! нулей Он называется д-ичной позиционной записью числа х; цифры, входящие в символ, называют знаками; позиции знаков относительно запятой называются разрядами. Числу х < 0 условимся сопоставлять взятый со знаком минус символ положительного числа — х. Наконец, числу 0 отнесем символ 0,0...
0... Тем самым завершено построение позиционной о-ичной системы записи дейстпвитиельных чисел. Наиболее употребительными являются десятичная система (в обиходе) и по техническим причинам двоичная (в электронных вычислительных машинах). ~ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТ~ЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Менее распространены, но также используются в элементах вычислительной техники троичная и восьмеричная системы. Формулы (4), (5) показывают, что если в о-ичной записи числа х оставить только конечное число знаков (или, если угодно, заменить остальные знаки нулями), то абсолютная погрешность получающегося при этом приближения (4) числа х не превысит единицы последнего сохраняемого разряда. Это наблюдение позволяет в соответствии с полученными в подпункте Ъ формулами оценивать погрешности, возникающие при арифметических операциях над числами в результате замены точных значений чисел соответствующими приближенными значениями вида (4).
Последнее замечание имеет также определенную теоретическую ценность. А именно, если в соответствии с идеей подпункта Ь мы отождествим вещественное число х с его д-ичной записью, то, научившись выполнять арифметические действия непосредственно над д-ичными символами, мы построим новую модель действительных чисел, по-видимому, наиболее ценную с вычислительной точки зрения. Основные задачи, которые пришлось бы решать на этом пути, таковы. Надо двум д-ичным символам поставить в соответствие новый символ— сумму исходных. Он, естественно, строится постепенно, а именно, складывая все более точные рациональные приближения исходных чисел, будем получать соответствующие рациональные приближения их суммы.
Пользуясь сделанным выше замечанием, можно показать, что по мере увеличения точности приближений слагаемых мы будем получать все больше таких О-ичных знаков суммы, которые уже не меняются при последующем уточнении приближений. Тот же вопрос надо решать и относительно умножения. Другой, менее конструктивный путь перехода от рациональных чисел ко всем действительным числам принадлежит Дедекинду.
Дедекинд отождествляет действительное число с сечением в множестве Я рациональных чисел, т. е. с разбиением Я на два не имеющих общих элементов множества А, В таких, что Ча Е А Чб Е В (а < 6). При таком подходе к действительным числам принятая нами аксиома полноты (непрерывности) становится известной теоремой Дедекинда. По этой причине аксиому полноты в принятой нами форме часто называют аксиомой Дедекинда. Итак, в настоящем параграфе выделены важнейшие классы чисел, Показана фундаментальная роль натуральных и рациональных чисел. Показано, как из принятой нами аксиоматикиЦ вытекают основные свойства этих чисел.
Дано представление о различных моделях множества действительных чисел. Обсуждены вычислительные аспекты теории действительных чисел: оценки погрешностей при арифметических операциях с приближенными величинами; О-ичная позиционная система счисления. 11Почти в приведенном выше виде она была сформулирована на рубеже ХХ века Гиль- бертом; см., например, в кн.: Гильберт Д.
Основания геометрии. М.: Гостехиадат, 1948. (Добавление У1: О понятии числа.) $ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 65 11. Иррациональное число а Е К назовем хоро«ао приближаемым рациональными числами, если для любых натуральных чисел и, Ф Е 1Ч существует рациональное чир р~ 1 сло — такое, что с« — — ~ ( 9 /1/<~п а) Постройте пример хорошо приближаемого иррационального числа. Ь) Докажите, что хорошо приближаемое иррациональное число не может быть алгебраическим, т. е. оно трансцендентно (теорема Лиувиллл ~). 1) 12. Зная, что по определению дроби —:= т. и ', где т Е У., и Е 1Ч, вывести и «правила» сложения, умножения, деления дробей, а также условие равенства двух дробей.
13. Проверьте, что рациональные числа Я удовлетворяют всем аксиомам действительных чисел, кроме аксиомы полноты. 14. Принимая геометрическую модель множества действительных чисел — числовую ось, покажите, как в этой модели строить числа а+Ь, а — Ь, аЬ, 15. а) Пронллюстрируйте аксиому полноты на числовой оси. Ь) Докажите, что принцип верхней грани эквивалентен аксиоме полноты. 16, а) Если А С В С К, то вир А ( вир В, а 1пГ А > 1пЕ В. Ь) Пусть К Э Х ~ Е) и К Э У ~ )81. Если )/х Е Х и )/р Е У выполнено х ( у, то Х ограничено сверху, У вЂ” снизу и вир Х ( 1пГ У.
с) Если множества Х, У из Ь) таковы, что Х 0У = К, то вирХ = 1пГУ, с1) Если Х, У вЂ” множества, определенные в с), то либо ЛшахХ,.либо Лш1пУ (теорема Дедекинда). е) (Продолжение.) Покажите, что теорема Дедекинда эквивалентна аксиоме полноты. 17. Пусть А+  — множество чисел вида а+ Ь и А  — множество чисел вида а.
Ь, где а Е А С К и Ь Е В С К. Проверьте, всегда ли а) вир (А + В) = вир А + вир В; Ь) вир(А В) = вирА вирВ. 18. Пусть — А есть множество чисел вида — а, где а Е А С К. Покажите, что вир( — А) = — 1пГА. 19. а) Покажите, что уравнение х" = а при и е 1Ч и а > О имеет положительный корень (обозначаемый 7/а или а /"). Ъ) Проверьте, что при а > О, Ь > О и и, т Е 1Ч ) ( 1/п)т ( пь)1/и, т/а 1/п 1/из 1/и+1/ти 1) ( /"Г'=( ') '"= е) Покажите, что для любых г1, г2 Е Я а~1, ат2 а~1+~2 Н (а~1)12 а~"1т2 1) Ж.
Лиувилль (1809 — 1882) — французский математик; работы по комплексному анализу, геометрии, дифференциальным уравнениям, теории чисел, механике. ГЛ. 11. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 20. а) Покажите, что отношение включения есть отношение частичной (но не полной!) упорядоченности множеств. Ь) Пусть А, В, С вЂ” такие множества, что А С С, В С С, А~ В ф И и В~ А ф И. Частичный порядок в этой тройке введем, как в а).
Укажите максимальный и минимальные элементы множества (А, В, С). (Обратите внимание на неединственность!) 21. а) Покажите, что так же, как и множество О рациональных чисел, множество ®~/й) чисел вида а + Ь~/й, где а, Ь Е Я, а и — фиксированное натуральное число, не являющееся квадратом целого числа, есть упорядоченное поле, удовлетворяющее принципу Архимеда, но не удовлетворяющее аксиоме полноты. Ь) Проверьте, «акие из аксиом действительных чисел не будут удовлетворяться для 43(/й), если в 43(~/й) оставить прежние арифметические операции, а отношение порядка ввести по правилу (а + Ь /й ( а' + Ьу,/и):= ((Ь ( Ь') Ч ((Ь = Ь') Л (а ~( а'))). Будет ли тогда для Я(/й) выполнен принцип Архимеда? с) Упорядочите множество Р(х) многочленов с рациональными или действительными коэффициентами, считая Р (х) = ао + а1х + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
