В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда при и > п1ах(Ф1,Х~) получим х„Е Ъ'(А1) П $'(А~). Но это невозможно, поскольку $'(А1) П T(А~) = — И с1) Пусть 1пп х„= А. Полагая в определении предела е = 1, найдем номер Х такой, что Чп > Ж (~х„— А~ < 1). Значит, при и > Х имеем ~х„~ < ~А~ + 1. Если теперь взять М > шах(~х1~,..., ~х„~, ~А~ + 1), то получим, что Чп > Х Ох 1< М). в Ь. Предельный переход и арифметические операции Определение 6. Если (х„), (у„) — две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным (в соответствии с общим определением суммы, произведения и частного функций) называются соответственно последовательности 1(х-+ у-)) ((х-у-)) 80 ГЛ.
!П. ПРЕДЕЛ Частное, разумеется, определено лишь при уи ~ О, п Е И. Теорема 2. Пусть (х„1, (у„) — числовые последовательности. Если 1пп х„= А, 1пп у„= В, то: и-+ оо и — ) оо а) 1пп (х„+у„) = А+В; Ь) 1пп х„.уи = А.В; с) 1пп —" = —, если у„~ О (п = 1, 2,...
) и В ф О. и-+оо уи В ' м В качестве упражнения воспользуемся уже известными нам (см. гл, П, ~ 2, п. 4) оценками абсолютных погрешностей, возникающих при арифметических операциях с приближенными значениями величин. Положим 1А — х„1 = Ь(х„), 1 — уи1 = Ь(уи). Тогда для случая а) имеем 1(А + В) — (х„+ у„)1 < Ь(х„) + Ь(у„).
Пусть задано число е > О. Поскольку 1пп х„= А, найдется номер Ф' та; кой, что Уп > Х' (Ь(хи) < е/2). Аналогично, поскольку 1пп у„= В, найдет- и-+оо ся номер Ю" такой, что Чп > Ю" (!ъ(у„) < е/2). Тогда при тв > тах(Х', Х") будем иметь 1(А+ В) — (х„+ у„)1 с е, что в соответствии с определением предела доказывает утверждение а). Ь) Мы знаем, что НА В) — (хи уи)1 с 1хи1 ~(уи) + 1уи1 !~(хи) + ~(хи), ~(уи) По заданному е > О найдем числа Ж' и Х" такие, что Чп > М' Ь(х„) < !п1п 1, ' з(1В1+1) ! Мп > Хо Ь(Уи) С ппп 1, Тогда при ть > Ю = !пах (М', М") будем иметь 1х„1 с 1А1+ Ь(х„) < 1А1+ 1, 1у„1 < 1в1+ ь(у„) < 1в1+ 1, ь(х„).о(р ) <т1в(1,— ) т!п(1,— ) < —. э 1.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Таким образом, при и > М !х)! Ь(у")) < (!А!+ 1) 3(! 4!+ 1) — 3) !у„!Ь(х„) < (!В!+1) (У") 3' поэтому !А — х„р„! < е при и > № с) Воспользуемся оценкой А х)) ! < !х~!)А))(уп) + !у))!с~(х~) 1 р ! у„' 1-Йр )' где 0(у„) = ~(у ) !у ! При заданном я > 0 найдем числа Х' и Х" так, что )0) Ъ~ Чп>Ж' Ь(х„) <пип 1,— Г!В! я В' Уи > Х ~Ь(у„) < нинов Тогда при и > п1ах(Х',Х") будем иметь !х„! < !А!+Ь(х„) < !А!+1, !у-! > !В! — Ь(у ) > !В! — — > —, !В! !В! 1 2 — < —, !р„! !В! ' О<~(у„)= " < — =-, Ь(р„) ]ВУ4 !у„! !В!/2 2' 1 1-д(у„) > —, поэтому 1 4 е В2 !х„! — ~Ь(у)) < (!А!+1) Вг 16(!А!+1) 4' 1 1 — Б(у ) ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ 82 и, следовательно, А х„ — — — <е при п>Х.
В у„ Замечание. Формулировка теоремы допускает и другой, менее конструктивный путь доказательства, вероятно, известный читателю по школьному курсу начал анализа. Мы напомним его, когда будем говорить о пределе произвольных функций. Но здесь, рассматривая предел последовательности, нам хотелось обратить внимание на то, как именно по ограничениям на погрешность результата арифметической операции ищутся допустимые погрешности значений величин, над которыми зта операция производится. с. Предельный переход и неравенства Теорема 3. а) Пустпь (х„), (у„) — две сходлщиесл последоватпельности, причем 1пп х„= А, 1ип у„= В. Если А < В, то найдетсл номер И-+ОО И-+Оо Ю Е М такой, что при любом и > Л выполнено неравенство х„< у„, Ь) Пусть последовательности (х„), (у„), (л„) таковы, что при любом и > Х Е Я имеет место соотношение х„< у„< ю„.
Если при этом последоватпельности (х„), (е„) сходлтпсл к одному и тому же пределу, то последовательность (у„) тпакже сходитпсл и к этому же пределу. м а) Возьмем число С такое, что А < С < В. По определению предела найдем числа Х' и Мо так, чтобы при любом и > Л' иметь |х„— А~ < С вЂ” А и при любом и > Х" иметь |р„— В~ <  — С. Тогда при и > Х = шах(Х', Х") получим х„ < А + (С вЂ” А) = С =  — ( — С) < у„.
Ь) Пусть 1пп х„= 1пп л„= А. По е > О найдем числа Х' и Хо так, чтобы при любом и > Х' иметь А — е < х„и при любом и > Хо иметь л„< < А+с. Тогда при и > Ж = шах(М', Хо1 получим А — е < х„< у„< л„< А+с или ~у„— А~ < е, т. е. А = 1пп у„. ~ Следствие. Пусть 1пп х„= А и 1пп у„= В. О-+ОО П-+ ОО Если существует номер Л тпакой, что при любом и > Л: а) х„>у„,тоА>В; Ь) х„>у„„тоА>В; с) х„>В,то А>В; й) х„>В,тоА>В. ~ Рассуждая от противного, из пункта а) теоремы немедленно получаем первые два утверждения. Третье и четвертое утверждения суть частные случаи первых двух, получающиеся при у„= В.
° Стоит заметить, что строгое неравенство в пределе может перейти в равенство. Например, — > О при любом и Е И, но 1пп — = О. 1 1 ' п И-+ОО П 83 5 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 3. Вопросы существования предела последовательности а. Критерий Коши Определение 7. Последовательность 1х„) называется фундаментальной (или последоватпельностьи Коши11), если для любого числа г > О найдется такой номер Ф Е 1ч, что из и > М и т > Х следует ~х — х„~ < г. Т е о р е м а 4 (критерий Коши сходимости последовательности) .
Числов ал нослгдоватпгльность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. ~ Пусть 1пп х„= А. По числу г > О найдем номер Х так, чтобы при и > Х иметь ~х„— А~ < —. Если теперь т > Х и и > Х, то ~х — х„~ < < ~х — А~ + ~х„- А~ < — + — = г и, таким образом, проверено, что сходящаяся последовательность фундаментальна, Пусть теперь (хь) — фундаментальная последовательность. По заданному г > О найдем номер Х такой, что из т > Ю и к > Х следует ~х — хь~ < —.
Фиксировав т = Ж, получаем, что при любом й > Х г Я хм — — < хь < х~ч+ —, 3 3' но поскольку имеется всего конечное число членов последовательности 1х„) с номерами,. не превосходящими Х, то мы доказали, что фундаментальная последовательность ограничена. Для н Е М положим теперь а„:= 1пГ хь, Ь„:= г11р хь.
Юп Из этих определений видно, что а„< а„+1 < Ь„+1 < Ь„(поскольку при переходе к меньшему множеству нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается). Последовательность вложенных отрезков ~а„,Ь„~ имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку А. Поскольку при любом н Е 1Ч а„<А<Ь„, априй>н а„= 1пЕ хь < хь < зир ха = Ь„, Юп Ь)п то при Й > н имеем ~А — хь~ < ܄— а„.
Но из (1) следует, что при и > Х г г х~ч — — < 1пГ хь — — а„< Ь„= я11рхь < х~ч+ —, Ц Последовательности Коши ввел Больцано, пытавшийся, не располагал точным понятием вещественного числа, доказать сходимость фундаментальной последовательности. Коши дал такое доказательство, приняв за очевидное принцип вложенных отрезков, обоснованный впоследствии Кантором. 4 Зорич В, А.
84 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ позтому при и > т 2е ܄— а„« — е. "- 3 Сравнивая (2) и (3), находим, что при любом й > Х (3) |А — х1,.1 < я, и мы показали, что 1пп х~ = А. ~ й-+оо Пример 8. Последовательность ( — 1)" (п = 1, 2, ...) не имеет предела, поскольку она не является фундаментальной. Хотя это и очевидно, но все же проведем формальную проверку.
Отрицание утверждения, что последовательность 1х„) фундаментальная, выглядит так: Зя>0 УЖЕИ =)п>Х Зт>Ж (|х„„— х„|>е), т. е. найдется я > 0 такое, что при любом Х Е Я найдутся числа и, т, большие Х, для которых |х,„— х„| > с. В нашем случае достаточно положить е = 1. Тогда при любом Ю б Ы будем иметь!ху+1 — хм+о| = |1 — ( — 1)| = 2 > 1 = ы. Пример 9. Пусть х1 —— О, х~ — — О,а1, хз = О,а1ая, ..., х„= О,а1ая...а„, — некоторая последовательность конечных двоичных дробей, причем каждая следующая дробь получается дописыванием знака 0 или 1 к предыдущей.
Покажем, что такая последовательность всегда сходится. Пусть т > и. Оценим разность х — х„: ап,+1 а 1 1 |х — х„| = 2и+1 ''' 2т 2л+1 '' 2т +...+ — < — +-..+ — = Таким образом, подобрав по заданному я > 0 число Л так, что ~ < с для 1 любых т > и, > Х, получаем оценку |х„, — х„| « — — < я, доказывающую 1 1 фундаментальность последовательности 1х„1. Пример 10. Рассмотрим последовательность (х„), где 1 1 х„= 1+ — +... + —. 2 и Поскольку для любого и Е М 1 1 1 1 |хз.— х |= +...+ — >п п+1 и+и 2п 2' то в силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела.
$1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 85 Ь. Критерий существования предела монотонной последовательности О п р е д ел е н и е 8. Последовательность (х„) называется возрастающей, если Уп, Е И (х„< х„».1); неубывающей, если Уи 6 1ч' (х„< х„».1); невозрастающей если Чи Е И (х„> х„»1); убывающей, если Чи Е 1ч (х„> х„+1), Последовательности этих четырех типов называют монотонными последовательностями. О п р е д е л е н и е 9.
Последовательность (х„) называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что Чп Е Ы (х„< М). Аналогично определяется последовательность, ограниченная снизу. Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы ока была ограниченной сверху. ~ То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было доказано при рассмотрении общих свойств предела последовательности, поэтому интерес представляет только второе утверждение теоремы, По условию множество значений последовательности (х„) ограничено сверху, значит, оно имеет верхнюю грань в = зарх„. лен По определению верхней грани, для любого г > О найдется элемент ху Е Е (х„) такой, что в — г < хр~ < в. Поскольку последовательность (х„) неубывающая, при любом и > М теперь получаем в — г < х~ч < х„ < в, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
