В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1 — < е„. При п — ~ оо левая часть этого неравенства стремится к вь, а правая — к е, поэтому мы теперь можем заключить, что 81, < е для любого Й Е И. Но тогда иэ соотношения е„<8„<е при и -~ оо получаем,что 11п1 8„ = е. В соответствии с определением суммы ряда мы теперь можем записать Это уже вполне пригодное для вычисления представление числа е. Оценим разность е — 8„: 1 1 (п+ 1)! (и+2)! 1 ( 1 1 ~1+ + (и+1)! ~ и+2 (п+2)(п+3) 1 +.
< < 1 (и+1)! ~ и+2 (и+2)2 1+ + + ... 1 1 и + 2 1 < (и+1)! 1 1 и!(и+1)2 и!и п+2 Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа е числом в„не превосходила например 10 достаточно чтобы было — < —. — з 1 1 Ф > ) п! п 1000 Этому условию удовлетворяет уже 86. 102 ГЛ. 1П. ПРЕДЕЛ Выпишем несколько первых десятичных знаков числа е: е = 2,7182818284ИО ... Полученную оценку разности е — з„можно записать в виде равенства е=л„+ — ", где 0<о„(1. 9„ и! а' Из такого представления числа е немедленно следует его иррациональность. В самом деле, если предположить, что е = —, где р, д Е 1Ч, то число д.е — р 1 Я должно быть целым, а вместе с тем д!е=ф ел+ — ~ =ф+ — + — +...+ — '+— в, ~ Ф Ф Ф в, * л фд ~ ' Ц 21 ''' д! д в, и тогда число — тоже должно быть целым, что невозможно.
Я Для сведения читателя отметим, что число е не только иррационально, но' даже трансцендентно. Задачи и упражнения 1. Покажите, что число х Е й рационально тогда и только тогда, когда его запись в любой д-ичной системе счисления периодична, т. е., начиная с некоторого разряда, состоит из периодически повторяющейся группы цифр. 2. Мяч, упав с высоты Ь, подскакивает на высоту дй, где о — постоянный козффициент, 0 < д < 1. Найти время, за которое он окажется покоящимся на земле, и путь, который он к зтому моменту пролетит. 3. На окружности отмечаются точки, получающиеся из некоторой фиксированной ее точки поворотами окружности на всевозможные углы в и Е Е радиан.
Укажите все предельные точки построенного множества. 4, Выражение 1 п1+ пз+ пз+ 1 1 пь 1+— пл где и, Е 1Ч, называется конечной цевкой или кепрерывкой дробью, а выражение 1 п1+ пз+— кз+ — бесконечной цепной дробью. Дроби, получающиеся иэ цепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, называют подходящцмц дробями. 51. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Бесконечной цепной дроби в качестве значения сопоставляется предел последовательности ее подходящих дробей. Покажите, что: а) Каждое рациональное число —, где ги, и Е 1Ч, может быть разложено и притом единственным способом в цепную дробь: иг 1 — =В+— и яг+ Указание. Числа В,..., о, называемые неполными частными, получаются из алгоритма Евклида из=и В+гг, и = 3 г ' яг + $'г) гг = гг яз + гз, если его записать в виде ги 1 1 =В+ =В+ и и/гг дг+.
Ь) Подходящие дроби Вг — — В, Вг —— В + —, ... удовлетворяют неравенствам 1 Вг ( Вз (... ( Вгг-1 ( 'С Вгз ( Вгз-г 'С ° ° ° С Вг ° с) Числители Ри и знаменатели Яз подходяших дробей Вз формируются по закону Рз = Рг-~Як+Рг-г, Рг = ВФ, К = В, ~® = Яг-гь+Яз-г, Яг =дг, Я~ = 1. с1) Разность соседних подходящих дробей вычисляется по формуле е) Каждая бесконечная цепная дробь имеет определенное значение. Г) Значение бесконечной цепной дроби иррационально. 1+Я 1 2 1 1+— 1+, Ь) Числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (т. е. и„= в„~ + и„г н в~ = иг =.1) получающиеся как знаменатели подходящих дробей в я), задаются формулой 1 1+ ~/5 1 — Л ГЛ.
П1. ПРЕДЕЛ Р» !1+Я Р» ! 1 !) Подходящие дроби В» = — в я) таковы, что ~ 2 Я»~ Я»з/5 — — ~ > —. Срав- инте этот результат с утверждениями задачи 11, ~ 2, гл. П. 5. Покажите, что: а) При и > 2 справедливо равенство 1 1 1 1 1 1 1+ — + — +...+ — + — =3— 1! 2! п! и!и 1 2 2! (п — 1)п и! Ь) е=З вЂ” ~ 1 Ь (и+1ни+ 2Ни+ 2)! с) Для приближенного вычисления числа е значительно лучше формула е ~ 1+ 1 1 1 1 1 + — +... + — + —, а не исходная формула е ~ 1+ — +...
+ — (оцените погрешности, 1! и! и!и' 1! п! посчитайте н сравните результат со значением е, приведенным на с. 102). б. Если а и Ь вЂ” положительные числа, а р — произвольное отличное от нуля вещественное число, то средним порядка р чисел а и Ь называется величина Я„(~, Ь)— В частности, получаем при р = 1 среднее арифметическое, при р = 2 — среднее квадратическое, при р = — 1 — среднее гармоническое чисел а, Ь.
а) Покажите, что среднее Я„(а, Ь) любого порядка заключено между числами а и Ь. Ь) Найдите пределы последовательностей 15„(а, Ь)), 1Я „(а,Ь)). 1! а! 7. Покажите, что если а > О, то последовательность х +! — — — ~х + — ! при лю- 2~" х„/ бом х! > 0 сходится к арифметическому квадратному корню из а. Оцените скорость сходимости, т.
е, величину абсолютной погрешности !х„— а~ = ! л„! в зависимости от и. 8. Покажите, что и вообще 8»(п) = а».!.!п +... + а!п+ ао »+! — многочлен от п степени Й + 1. Я»(п) 1 в-+со и»+' Й+ 1 а) Яо(п) ~ Я!(и) = 82(и) = Яз(и) = 10++пои 1 +...+п п(и+1) 1 з 1 = — и + — п, 2 2 2 1з з п(п+ 1)(2п+ 1) 1 з 1 з 1 1 +...+п — п+ — и+ — и, п (и+ 1) = — и+ — и+ — и> 4 4 2 4 105 $2.
ПРЕДЕЛ д2уУНКЦИИ ~ 2. Предел функции 1. Определения и примеры. Пусть Š— некоторое подмножество множества К действительных чисел и а — предельная точка множества .Е. Пусть ~: Е -+ К вЂ” вещественнозначная функция, определенная на Е. Мы хотим записать, что значит, что при приближении точки х Е Е к а значения 1'(х) функции ~ приближаются к некоторому числу А, которое естественно назвать пределом значений функции ~ или пределом функции ~ при х, стремящемся к а. Определение 1. Будем (следуя Коши) говорить, что функция ~: Е + -+ К стремится к А при х, стремящемся к а, или что А является пределом функции ~ ври х, стремящемся к а, если для любого числа е > О существует число о > О такое, что для любой точки х Е Е такой, что О < ~х — а~ < о, выполнено соотношение ~~(х) — А~ < е.
В логической символике сформулированные условия запишутся в виде Уе>0 Зо>0 Чхб.Е (0<)х — а~<о~)~(х) — А~<е). Если А — предел функции ~(х) при х, стремящемся по множеству Е к точке а, то пишутся'(х) -+ А при х -+а, х Е Е, или 1пп Дх) = А. Вместо х-+а, хЕЕ символа х -+ а, х Е Е, мы, как правило, будем использовать более короткое обозначение Е Э х — ~ а и вместо 1пп 1"(х) будем писать 1пп 1'(х) = А. х-+а, хеЕ ЕЭх — +а П р и м ер 1.
Пусть .Е = К ~ О, Дх) = х а1п —. Проверим, что 1 х 1пп х а1п — = О. 1 ЕЭх-+О х Действительно, прн заданном е > О возьмем о = е, тогда при О < ~х~ < о = 11 ! . 1 = и, учетыеее, что ~х ° 1е — ~ С )х(, будем иметь ~хе1е — ~ С е. х~- х Из этого примера, кстати, видно, что функция ~: Š— ~ К может иметь предел при Е Э х — + а, даже не будучи определенной в самой точке а. Как раз эта ситуация чаще всего имеет место при вычислении пределов и, если вы обратили внимание, это обстоятельство учтено в определении предела в виде неравенства О < ~х — а~. Напомним, что окрестностью точки а Е К мы назвали любой интервал, содержащий эту точку.
Определение 2, Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена сама эта точка. Если ьу'(а) — обозначение окрестности точки а, то проколотую окрестность этой точки будем обозначать символом У(а). 10б Гл. п1. пРедеЛ Множества с1е(а):= Е П У(а), 0е(а):= Е П У(а) будем называть соответственно окрестностью и проколотой окрестностью точки а в множестве Е.
о Если а — предельная точка Е, то Уе(а) ф 1о, какова бы ни была окрестность с1(а). о ~ « Если на минуту принять громоздкие символы Уе(а) и 1~и(А) для обозначения проколотой о-окрестности точки а в множестве Е и е-окрестности точки А в К, то приведенное выше так называемое «е — б-определение» Коши предела функции можно переписать в виде 1ип Дх) = А:= Ч'Я(А) ЗЙе(а) (1(У,(а)) С Ъ"(А)). Еэх-+а Эта запись говорит, что А является пределом функции ~: Е -+ К при х, стремящемся к а по множеству Е, если для любой е-окрестности Ъ" (А) о о точки А найдется проколотая о-окрестность У,(а) точки а в множестве Е, о ~ образ которой ДУе(а)) при отображении ~: Е -+ К полностью содержится в окрестности Ъ (А). Учитывая, что в любой окрестности точки числовой оси содержится также некоторая симметричная окрестность (о-окрестность) этой же точки, мы теперь приходим к следующей форме записи определения предела, которую и будем считать основной.
Определение 3. Итак, число А называется пределом функции ~: Š— 1 К при х, стремящемся по множеству Е к точке а (предельной для Е), если для любой окрестности точки А найдется проколотая окрестность точки а в множестве Е, образ которой при отображении ~: Š— ~ К содержится в заданной окрестности точки А. Мы привели несколько формулировок определения предела функции. Для числовых функций, когда а, А е К, как мы видели, эти формулировки эквивалентны. Вместе с тем для разных целей бывает удобна то одна, то другая из них.
Например, при численных оценках удобна исходная форма, указывающая допустимую величину отклонения х от а, при которой уклонение Дх) от А не превысит заданной величины. А вот с точки зрения распространения понятия предела на более общие функции, определенные не на числовом множестве, наиболее удобной является последняя формулировка, которую мы и выделили. Из нее, кстати, видно, что мы сможем определить понятие предела $2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ отображения ~; Х -+ У, если нам будет сказано, что такое окрестность точки в Х и в У, или, как говорят, если в Х и У будет задана «попологая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
