В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

е. г — е < з„= 1ПГхй < хй при любом й ) п. Неравенство г — е < хй при й > п означает, что ни один частичный предел нашей последовательности не может быть меньше г — г. Но е ) О произвольно, поэтому он также не может быть меньше з. Для верхнего предела доказательство, разумеется, аналогично проведенному. $ Заметим теперь, что если последовательность не ограничена снизу, то из нее можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к — оо. Но в этом случае и 1пп хй = — оо и можно условиться считать, что снова нижний прей~оо дел есть наименьший из частичных пределов. Верхний предел при этом может быть конечным, и тогда по доказанному он является наибольшим из частичных пределов; он может быть и бесконечным. Если 1пп хй — — +ос, то последой-+оо вательность не ограничена также и сверху и можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к +со.

Если же 1пп хй = — оо, что тоже возможно, й — ьоо то это означает, что апр хй = в„-+ — оо, т. е. и сама последовательность 1хй) й)о стремится к — оо, ибо в„> х„. Аналогично, если 1пп хй = +со, то хй -+ +ос. й-+оо Учитывая сказанное, можно, таким образом, заключить, что справедливо Утверждение 1'.

Длл любой последовательности нижний предел есть наименьший из ее частичных пределов, а верхний предел последовательности — наибольший из ее частичных пределов. 11 'При этом считаются принятыми естественные соотношения — оо < х < +со между символами — оо, +оо'и числами х Е И. ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Следствие 1. Последоватпельность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечностпи в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последоватпельностпи совпадаютп.

° й Случай, когда 1пп хь = 11ш хь = +со, и случай, когда 1пп хь = й-+ао й-+ао 1пп хь = — оо, уже разобраны вьппе, поэтому можно считать, что 1пп хь = й-+ао Ь~ао 1пп хь = А Е К. Поскольку т„= 1пГ хь < х„< впр хь = в„и по условию Ь-~ао ь> ь> 11ш т„= 1пп в„= А, то по свойствам предела также 1пп х„= А. > и-+ао о-+со Фъ-~00 Следствие 2. Последоватпельностпь сходится тпогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследоватпельность.

~ Нижний и верхний пределы подпоследовательности заключены между нижним и верхним пределами самой последовательности. Если последовательность сходится, то ее нижний и верхний пределы совпадают. Тогда совпадают нижний и верхний пределы подпоследовательности, откуда вытекает ее сходимость, причем, разумеется, к пределу всей последовательности. Обратное утверждение очевидно, поскольку в качестве подпоследовательности можно взять саму последовательность. > Следствие 3. Лемма Больиано — Вейерштрасса как в узкой, тпак и в расширенной формулировке вьттпекает из утверждения 1 и утверждения 1' соответстпвенно.

~ Действительно, если последовательность (хь) ограничена,то точки т = 1пп хь и в = 1пп хь конечны и по доказанному являются частичными Ь-+ао й-+оо пределами последовательности. Только при т = в последовательность имеет лишь одну предельную точку; при т < в их уже по крайней мере две. Если последовательность не ограничена с какой-то стороны, то существует подпоследовательность, стремящаяся к соответствующей бесконечности. в Заключительные замечания. Мы выполнили (и даже с некоторым превьппением) все три пункта намеченной перед началом параграфа программы: дали точное определение предела последовательности, доказали единственность предела, выяснили связь операции предельного перехода со структурой множества действительных чисел, получили критерий сходимости последовательности.

Теперь рассмотрим один специальный часто встречающийся и очень полезный вид последовательностей — ряды. 4. Начальные сведения о рядах а. Сумма ряда и критерий Коши сходимости ряда. Пусть 1а„)— последовательность действительных чисел. Напомним, что сумму ар+ ар+1+ +... + ац (р < о) принято обозначать символом ',1 а„. Мы хотим теперь п=р 93 "з 1.

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ придать точный смысл выражению а1 + а~ +... + а„+..., подразумевающему суммирование всех членов последовательности (а„). Определение 16. Выражение а1+а2+...+а„+... обозначаютсимволом ',)" а„и обычно называют рядом или бесконечным рядом (чтобы подчерка=1 нуть отличие его от суммы конечного числа слагаемых). Определение 17. Элементы последовательности (а„), рассматриваемые как элементы ряда, называют членами ряда; элемент а„называют п-м членом ряда. Определение 18. Сумму в„= х ~,'аь называют частпичной суммой ряда Ь=1 или, когда желают указать ее номер, п-й частичной суммой ряда~1. О п р е д е л е н и е 19. Если последовательность (в„) частичных сумм ряда сходится, то ряд называется сходящимся.

Если последовательность (в„) не имеет предела„то ряд называют расходящимся. Определение 20. Предел 1нп в„= в последовательности частичных сумм, если он существует, называется суммой ряда. Именно в этом смысле мы и будем в дальнейшем понимать запись о=1 Поскольку сходимость ряда равносильна сходимости последовательности его частичных сумм 1в„), то применением к (в„) критерия Коши сразу получается Теорема б (критерий Коши сходимости ряда). Ряд а1 + ...

+ а„+ ... сходится тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдетпся тпакое число М е 1Ч, что из т > п ) Х следует ~а„+... + а,„~ ( е. Следствие 1. Если в ряде изменить только конечное число-членов, то получающийся при этом новый ряд будет сходишься, если сходился исходный ряд, и будеш расходитпься, если исходный ряд расходился.

° Для доказательства достаточно в критерии Коши считать число М превышающим максимальный из номеров измененных членов ряда. т» Следствие 2. Для тпого чтобы ряд а1 +... + а„+... сходилсл, необходимо, чтпобы его члены стремились к нулю при п ~ оо, т, е необходимо 1пп а„= О. и — ~со ОТаким образом, на самом деле под рядом мы подразумеваем упорядоченную пару Яа„), 1л„)) последовательностей, связанных соотношением Чп Е 1ч (л,~ — — ~, аь). яж1 ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ М Достаточно положить в критерии т = п и воспользоваться определением предела последовательности.

~ Вот другое доказательство: а„= 8„-8„1 и, коль скоро 1пп 8„= 8, имеем 1пп а„= 1ип (8„— 8„1) = 1пп 8,„— 1пп 8„1 —— 8 — 8 = О. и-+со а-+со и-~са а~со Пример 20. Ряд 1+ д+ д2 +... + а" + ... часто называют суммой бесконечной геометрической прогрессии. Исследуем его сходимость. Поскольку ~д"~ = ~д~", то при ~д~ > 1 будет ~д"~ > 1 и в этом случае не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Пусть теперь ~д~ < 1.

Тогда и 11т 8„= —, поскольку 1пп д" = О, если ~д~ < 1. 1 И-+ОО Таким образом, ряд ~ д" ' сходится тогда и только тогда, когда ~д! < 1 а=1 1 и в этом случае его сумма равна —. 1 — я 1 1 Пример 21. Ряд 1+ — +... + — +... называется гармоническим, по- 2 ' п скольку каждый член этого ряда, начиная со второго, является средним гармоническим соседних с ним членов (см. задачу б в конце этого параграфа). Члены ряда стремятся к нулю, но последовательность его частичных сумм 8у~ = 1+ — + ° ° ° + — ~ 1 1 2 и' как было показано с помощью критерия Коши в примере 10, расходится, Это означает в данном случае, что 8„-+ +ос при п -+ оо.

Итак, гармонический ряд расходится. П р и м е р 22. Рассмотрим теперь следуюйН1й пример. Ряд 1 — 1 + 1 —... + (-1)"+1 +... расходится, что видно и по последова-. тельности 1, О, 1, О, ... его частичных сумм, и по тому, что члены ряда не стремятся к нулю. Если расставить скобки и рассмотреть новый ряд (1 — 1) + (1 — 1) + ..., членами которого являются суммы, заключенные в скобки, то этот новый ряд уже сходится, причем его сумма, очевидно, равна нулю.

Если скобки расставить иначе и рассмотреть ряд 1+ ( — 1+ 1) + ( — 1+ 1) +..., то получится сходящийся ряд с суммой, равной 1, 11. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Если в исходном ряде переставить все члены, равные -1, на две позиции вправо, то получим ряд 1+1 — 1+1 — 1+1 —..., расставив в котором скобки, придем к ряду (1+1)+( — 1+1)+(-1+1)+..., сумма которого равна двум. Эти наблюдения показывают, что привычные законы обращения с конечными суммами, вообще говоря, не распространяются на ряды. И все-таки есть важный тип рядов, с которыми, как это потом выяснится, можно обращаться так же, как с конечными суммами.

Это так называемые абсолютно сходящиеся ряды. Именно с ними мы главным образом и будем работать. Ь. Абсолютная сходимость| теорема сравнении и ее следствия Определение 21. Ряд „'~ а„называется абсолютно сходящимся, если в=1 сходится ряд ~~ ~а„~. а=1 Поскольку ~а„+... + а,„~ ( ~а„~ +... + ~а,„~, из критерия Коши следует, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится. То, что обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, т.

Характеристики

Список файлов книги