В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. что абсолютная сходимость есть требование более сильное, чем просто сходимость ряда, можно продемонстрировать на примере. 1 1 1 1 П р и м е р 23. Ряд 1 — 1+ — — — + — — — +..., частичные суммы которого 2 2 3 3 1 равны либо —, либо О, сходится к нулю. Вместе с тем ряд из абсолютных величин его членов 1 1 1 1 1+1+ — + — + — + — + ..
2 2 3 3 расходится, что, как и для гармонического ряда, следует из критерия Коши: ( 1 =2 — +...+ ~ >2п — =1. — ~п+1 " п+п,~ п+и Для того чтобы научиться отвечать на вопрос, сходится ли ряд абсолютно или нет, достаточно научиться исследовать на сходимость ряды с неотрицательными членами. Имеет место 96 ГЛ. 1П, ПРЕДЕЛ Теор ем а 7 (критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд а1 +... + ап +..., члены которого — неотприиатпельные числа, сходитпся тогда и тполько тпогда, когда последовап1ельность его частичных сумм ограничена сверху. ~ Это следует из определения сходимости ряда и критерия сходимости неубывающей последовательности, каковой в данном случае является последо- ВатЕЛЬНОСтЬ В1 < В2 « ...
Вп <... ЧаСтИЧНЫХ СУММ НаШЕГО РЯДа. ° Из этого критерия вытекает следующая простая, но на практике очень полезная Теорема 8 (теорема сравнения). Пусть 2 ап, ~', Ьп — два ряда с п=1 п=1 неотрииатпельными членами. Если существует номер Х Е И такой, что при любом п > Х имеет место неравенстпво ап < Ьп, то иэ сходимости ряда ~ Ьп вытекаетп сходимостпь ряда ~ , 'ап, а из расходимостпи ряда ~; ап п=1 п=1 п=1 вььтпекаетп расходимость ряда ~', Ьп.
о=1 ~ Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ряда, можно без ограничения общности считать, что а„< Ьп для любого и Е И. Тогда Ап = ~~ , 'аь < ); Ь| = Вп. Если ряд ~ Ьп сходится, то последовательность В=1 Ь=1 п=1 1В„), не убывая, стремится к пределу В. Тогда Ап < Вп < В при любом и б И и, следовательно, последовательность 1А„) частичных сУмм РЯда ~ ~ап п=1 ограничена. В силу критерия сходимости ряда с неотрицательными членами (теорема 7) ряд ",> ап сходится. п=1 Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, немедленно получаем из уже доказанного.
~ Пример 24. Поскольку « вЂ”, при и > 2, по теореме 1 1 1 п(и+1) 2 (п — 1)п ОО 1 ОО сравнения заключаем, что ряды ~, — и сходятся или расходятся 1 п2 и п(п+ 1) одновременно. Но последний ряд можно просуммировать непосредственно, заметив,что, ОО = 1. Следовательно, ряд ~ ~, '—, также является сходящимся. Любопытно, что п=1 П ОО 1 2 ~~; —, = —. В дальнейшем это будет доказано. п2 б Пример 25.
Следует обратить внимание на то, что теорема сравнения относится только к рядам с неотрицательными членами. Действительню, 97 $1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ положим, например, ап = — п, а Ьп = О, тогда ап ( Ьп, ряд ~, Ьп сходится, п=1 но ряд ~„ап расходится. п=1 Следствие 1 (мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной сходи- мости ряда). Дусть ~ а„и,'> Ьп — два ряда. Пусп1ь существует номер п=1 п=1 Ф Е М такой, что при любом п > М имеет место соотношение ~а„~ < Ьп. ПРи этих УсловиЯх длл абсолютной сходимости Рлда 2 ап достаточно, п=1 чтобы ряд 2, Ь„сходился.
м Действительно, по теореме сравнения тогда ряд ~ ~а„~ будет сходиться, п=1 что и означает абсолютнУю сходимость РЯда 2 , 'ап. У п=1 Этот важный достаточный признак абсолютной сходимости часто формулируют кратко: если члены ряда (по абсолютной величине) мажорируются членами сходящегося числового ряда, то исходный ряд сходится абсолютно. япп ~ в1пп1 1 Пример 26. Ряд 2, — абсолютно сходится, так как ~ — '~ < — а пг пг ~ - пг> п=1 О>> ряд ',> —,, как мы выяснили в примере 24, сходится.
п=1 и Следствие 2 (пРизнак Коши). ПУсть 2 ап — данный РЯд и а = п=1 1пп ~/~а„~. Тогда справедливы следующие утверждения: а) Если а < 1, то ряд ~~; ап абсолютно сходится. п=1 Ь) Если а > 1, то ряд ~> , 'а„расходится. п=1 с) Существуют как абсолютно сходлщиеся, так и расходящиеся ряды, для которых а = 1. ~ а) Если а < 1, то можно выбрать число д Е К так, что а ( д ( 1. Фиксировав число д, в соответствии с определением верхнего предела найдем номер Х Е И такой, что при и > М выполнено ~Да„~ < д.
Таким образом, при и > Х будем иметь ~а„~ < д" и, поскольку ряд ) дп при ~>7~ < 1 сходитп=1 ся, ряд ~ а„ (по теореме сравнения или признаку Вейерштрасса) сходится п=1 абсолютно. 98 ГЛ. Ш, ПРЕДЕЛ Ь) Поскольку а является частичным пределом последовательности чаи) (см.
утверждение 1), то найдется подпоследовательность (а„,) такая, что 1пп ""~ аи, = а. Если а > 1, то найдется номер К Е И такой, что при любом Й > К будет чаи,1 > 1, тем самым необходимое условие сходимости (а„-+ 0) для ряда ~, аи не выполнено и он расходится. и=1 оо оо 1 с) Мы уже знаем, что ряд ~ — расходится, а ряд ч ~—, сходится и — 1п и=1 ~11 1 — „Г1 (абсолютно, так как ~ — ~ = — ).
Вместе с тем 1пп ~ — = 11ш — = 1 1пъ ~ пг и-+оо Я и-+оо~/й и 11п1 — з = 11п1 — з = 1пп — = 1. и-+оо ~/ 'йз и +оо ~/ пз и — роо~яй) Пример 27. Исследуем, при каких значениях х 6 Ж ряд (2+ ( — 1)и)ихи сходится. Подсчитаем ст = 1пп " ~(2+(-1)")"х") = ~х1 1пп ~2+ (-1)"~ = 3!х~. Таким образом, при ~х~ < — ряд сходится и даже абсолютно, а при ~х~ >— 1 1 1 ряд расходится.
Случаи ~х~ = — требует специального рассмотрения. В на- 3 1 шем примере оно элементарно, ибо при ~х! = — для четных значении и имеем т1~м (2+ ( — 1)2~) х2" = 32~~-~ = 1 и ряд расходится, поскольку для него не — ~3) выполнено необходимое условие сходимости. Следствие 3 (признак Даламберац).
Пустпь для рлда ~ а„сущестпву- и=1 1 пи+1 етп предел 1пп 1 — = а. Тогда справедливы следующие утпверждения: и-+оо1 а а) Если ст ( 1, то ряд ~; аи сходитпся абсолютпно. и=1 Ь) Если а > 1, то рлд ч~ , 'а„расходится. и=1 с) Сущестпвуют тсатс абсолютпно сходящиеся, так и расходящиеся ряды, длл тсоторых а = 1. Ч а) Если а < 1, то найдется такое число д, что а ( д < 1; фиксировав д и учитывая свойства предела, найдем номер Ф Е И такой, что при любом и > М 1а„+1 будет ~ — < д.
Поскольку конечное число членов не влияет на характер а„ Ц Ж. Л. Даламбер (1717 — 17оЗ) — французский ученый, прежде всего механик, входивший в группу философов-энциклопедистов. $1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1а„+1 сходимости ряда, без ограничения общности будем считать, что ~ — < о а„ при любом п Е Я. Поскольку мы получаем, что ~а„+1~ < ~а11 д". Но ряд ~ ~а1~д" сходится (его сумма, ее=1 очевидно, равна — ), поэтому ряд ~ а„абсолютно сходится. [а1~ 1-о уд=1 'о) Если а > 1, то, начиная с некоторого номера Х Е Я, при любом и > Ф будем иметь ~ — ~ > 1, т.
е. )а„) с )а„.д), и, еледоеетельио, для ряда 1; а„ ать ! ее=1 не выполнено условие а„-+ О, необходимое для сходимости. с) Примерами в данном случае, как и в признаке Коши, могут служить ОО 1 ОО ряды Я вЂ” и ~ —. ° я п2 Пример 28. Выясним, при каких значениях х Е й. сходится ряд ~ —,х". 1 уь=1 При х = О он, очевидно, сходится и даже абсолютно.
При х ф О имеем 1пп ~ — ~ = 11п1 — = О. 1а„+1! . ф уд-+Оо ап еь-+со я + 1 Таким образом, этот ряд абсолютно сходится при любом значении х б К, Рассмотрим, наконец, еще один более специальный, но часто встречающийся класс рядов: ряды, члены которых образуют монотонную последовательность. Для таких рядов имеет место следующий необходимый и достаточный признак сходимости. Утверждение 2 (Коши). Если а1 > а: » ... О, то рлд ~ а„схов=1 дится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~ 2Яа2д = а1 + 2а2 + я=о + 4а4 + 8ая + ... < Поскольку а~ ( а2 < а1, 2а4 ( аз + а4 < 2аг, 4а8 < аь + а6 + а7 + а8 ( 4а4 2"а2 + < а2-+1+... + а2 + < 2"а2, ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ то, складывая эти неравенства, получим 1 2 ~Я„+, — а1) < Ая" +1 — а1 < Я„, где А1, — — а1+...+аь, Я„= а1+2а2+...+2"а2- — частичные суммы рассматриваемых рядов.
Последовательности (А~) и (Я„3 неубывающие, и потому нз полученных неравенств можно заключить, что они либо одновременно ограничены, либо одновременно не ограничены сверху. Но по критерию сходимости рядов с неотрицательными членами отсюда следует, что рассматриваемые два ряда действительно сходятся или расходятся одновременно.
~ Отсюда вытекает полезное оз Следствие. Ряд ~ — сходитпся ири р > 1 и расходится ира р < 1.'1 и=1 И ~ Если р > О, то по доказанному наш ряд сходится или расходится вместе с рядом 2 „ = ~~ (2' ~) , а=о ~ ) а=о а для сходимости последнего ряда необходимо н достаточно, чтобы было о = =2' 1'<1, т.е. р>1.
00 Если р < О, то расходимость ряда ~ —, очевидна, поскольку в этом случае в=1 и все члены ряда больше 1. ~ 00 Важность этого следствия состоит в том, что ряд ~, — часто служит основой для сравнения при исследовании сходимости рядов. с. Число е как сумма ряда. Заканчивая рассмотрение рядов, вернемся еще раз к числу е и получим ряд, доставляющий уже довольно удобный способ вычисления е.
Мы будем использовать формулу бинома Ньютона при разложении выра- 1 ~о жения 1+ — ) . Те, кто не знаком с этой формулой из школы или не решил п задачу 1д) из гл. 11, ~ 2, могут, без потери связности изложения, опустить настоящее добавление о числе е н вернуться к нему после формулы Тейлора, частным случаем которой можно считать формулу бинома Ньютона. 1 ~п Нам известно, что е = 1пп 1+ — ) Ц Формально в нашей книге мы пока определили ия только для рациональных значений р, поэтому читатель тоже пока вправе понимать это утверждение только для тех р, для которых определено ия. 101 ~1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ По формуле бинома Ньютона п(п — 1)... (и — й + 1) ... + — +...+ — = Ы пй пи 1 1 1 1 2 ...х 1 — — +...+ —, 1 — — ... 1 —— 1 1173 1 1 Полагая 1+ — ) = е„и 1+ 1+ — +... + — = 8„, таким образом, имеем п) 2! пф ") е„< 8„(и= 1,2,...). С другой стороны, при любом фиксированном й и п > й, как видно из того же разложения, имеем 1+1+ —, 1 — — +...+ —, 1 — — ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
