В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 28
Текст из файла (страница 28)
~ При О ( ~х~ < ~г/2, как показано в а), имеем ~з1пх~ < ~х~. Но ~з1п х~ < 1, поэтому для ~х~ > зг/2 > 1 также выполнено последнее неравенство. И только при х = 0 имеем з1п х = х = О. ~ с) Из Ь) следует, что 11т з1пх = О. х-+О ° я Поскольку 0 < ~з1пх~ < ~х~ и поскольку 1пп ~х~ = О, на основании теох-+О ремы о связи предела функции с неравенствами получаем, что 1пп ~з1п х~ = О, х-+О следовательно, 1ип з1пх = О.
в х-~О Й) Теперь докажем, что 1пп — = 1. х-+О х 5 Зорич В. Л. М Так как соз х и — — четные функции, то достаточно рассмотреть 2 з!пх х случай О ( х < л /2. Из рис. 8 и определения соз х и з1п х, сравнивая площади сектора ~ ОСВ, треугольника й ОАВ и сектора ~ ОАВ, имеем ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ ~ Считая, что ~х~ < к/2, в силу полученного в а) неравенства имеем Бшх 1 — яп х< — <1. х Но 11ш~1 — яп х) = 1 — 11ш япх 11ш япх = 1 — О = 1, значит, по теореме о ж -+О я-+О х-~0 В1П Х предельном переходе в неравенствах можем заключить, что 1пп — = 1.
э х-+О х П р и м е р 10. Определение показатпельной, лоеарифмической и степенной фрнкций йа основе теории предела. Мы продемонстрируем сейчас, чем и как можно было бы дополнить школьное определение показательной и логарифмической функций, если располагать теорией действительного числа и теорией предела. Для удобства ссылок и полноты картины проделаем все с самого начала. а) Показательнал функция. Пусть а > 1. 1' Для и 6 Я полагаем по индукции а1:= а, а"+1:= а" а. Таким образом, на И возникает функция а", которая, как видно из определения, обладает свойством а пт-а а" если т, п Е И и т > п. 2' Это свойство приводит к естественным определениям 1 а ":= — при и Е И, а" после которых функция а" оказывается распространенной на множество Ж целых чисел и для любых т, п Е Ж а~ а" = а'"+". 3' В теории действительных чисел мы отметили, что для а > О и и б 1Ч существует единственный арифметический корень а-й степени из а, т.
е. число х > О такое, что х" = а. Для него принято обозначение а1~". Оно удобно, если мы желаем сохранить закон сложения показателей: =а =(а ~")"=а ~" а ~"=а ~"+"'+ ~" По той же причине естественно положить а™~":= (а1~") и а 11":= = (а~~") для и 6 И и т б Е. Если окажется, что а~™И™> = а"'~" для Й Е Ж, то можно считать, что мы определили а' для г Е Я. 4' Для чисел О < х, О ( у по индукции проверяем, что для п Е Я 117 $2.
ПРЕДЕЛ 4тУНКЦИИ поэтому, в частности, Сх=у) 4Ф(х =Р ). 5' Это позволяет доказать правила действий с рациональными показателями, в частности, что а( ")/(п") =а /" при ЙЕ Е ~/ ~.~та/ а — ~ ~/ ~+ а/ г ~ Действительно, а(~~)/("") > О и а~/" > О. Далее„поскольку ( т,)/( т,))пй // 1 (пт.))тй)пй ( 1/( ~))тй ° пй Я 1/(пй) )пппб ттт т1т и (Пт/и)"" ((П1/и)") " Птй то первое иэ проверяемых равенств в соответствии с 4' установлено. Аналогично, тт/пт тг/пааптпа т тт/пт~птпг ~ та/па~па~а ( у 1/пт~пт ~тапа I~ 1/паЪпа~тапт тапа тапт ттпг+тпгпт -(( )")™" (( ) )™и— *а =а Птт/пт+та/па) 1 г (О(ттпа+тап1)/(птпг)) (. 1/(птпа) тптпг~ттпг+тапт ттпг+тапт (а — (( ) =а поэтому второе равенство также доказано. ° Таким образом, мы определили а" для г Е Я, причем а" > О и для любых ~'1, т'2 Е Я О"т .
О "а — т1т'а+па б' Из 4' следует, что для т1, г2 Е Я (Г1 (а2) =» (П" (Ц,та). М Поскольку (1 < а) (=» (1 < аг/") для и Е Ы, что сразу следует из 4', то (а1/") = ат/" > 1 при 11, т Е Я, что опять-таки следует из 4'. Таким образом, при 1 < а для а' > О, г Е Я имеем а" > 1.
Тогда при г1 ( г2 на основе 5' получаем пт'=от'ота т' >от'1=от' ГЛ. 1П. ПРЕДЕЛ 7' Покажем, что для т0 Е Я 1ПП ат = ат'. ОЭТ-+ТО 4 Проверим, что а" — ~ 1 при Я Э р -~ О. Это следует из того, что при ~р~ < — имеем в силу 6' ~" < а" < а ~" Мы знаем, что а1!" — ~ 1 (и а 11" -+ 1) при и -+ оо. Тогда стандартным рассуждением проверяем, что для е > О найдется б > О такое, что при ~р~ < О будет 1 — я<а" <1+я. В качестве 0 можно взять —, если 1 — е < а '~" и а'~" < 1+ е.
1 22' Теперь докажем основное утверждение. По е > О подберем 0 так, что при ~р~ < б + Ксли теперь!т — т0~ < О, то атО(1 ~а — тО) < ат атО, ат — тО < атО(1 + еа тО) или атО е <ат <атО+е Итак, на Я определена функция ат со свойствами: а =а>1; Т1 Т2 Т1+Т2, ат' < ат2 при т1 < т2, ат' — 1 ат' при Ц Э т1 -+ т2 Продолжим ее на всю числовую ось следующим образом.
8' Пусть х Е К, 8 = впр ат и 1 = 1ш а". Ясно, что 8,1 б й, так как ЯЗТ<Х ЯЭТ>Х при т1 < х < т2 имеем а" < а". Покажем, что на самом деле 8 = г' (и тогда эту величину мы обозначим через а*). ~ По определению 8 и г, при т1 < х < т2 имеем Т2 ,. « Т2 Тогда О "- 1 — 8 < ат' — ат' = а" (ат' "' — 1) < 8(а" "' — 1).
Но ат -+ 1 при Я Э р -+ О, поэтому для любого я > О найдется 0 > О такое, что при $ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ О < т~ — т1 < о будет аг' "' — 1 < е/8. Тогда получим, что О < « — 8 < е, и, поскольку е > О произвольно, заключаем, что « = 8. > Положим ах .'= 8 = «. 9' Покажем, что а* = 11ш аг. Я3г-»х » ~ Учитывая 8', для е > О найдем т' < х так, что 8 — е ( а" ( 8 = а', »» Р! и т" так, что а* = «< а" < г+ е.
Поскольку т' ( т < т" влечет аг ( а" < а', для всех т Е Я, лежащих в интервале ~г', т" ~, будем тогда иметь ах — е < аг < а*+я. 9» Займемся теперь свойствами построенной функции а* на К. 10 Для х1, х2 б К при а > 1 (х1 < х2) =» (а' ' < ах«). ~ На интервале ~х1, х2[ найдутся два рациональных числа «1 < т2. Если х1 < т1 < тг ( хг, то по определению а*, данному в 8', и свойствам функции а* на Я имеем ох1 ( ог1 ( пгх ( ах« а» 11« ДЛя ЛЮбЫК Х1 Х~ ~ щ ВЕРНО ахи . ах« — ахъ+хг ~ В силу известных нам оценок абсолютной погрешности произведения и свойства 9' можно утверждать, что для любого е > О найдется число У > О такое, что при ~х1 — г1 ~ < б', ~х2 — т2~ < о' будет а" а ' — — < а"' а"' .
а*'. а*' + —. 6 Я 2 2 Уменьшая, если нужно, б', можно подобрать о ( б' так, что при ~х1 -г1~ < б, ~х~ — т2~ < б, т. е. при $(х1 + х2) — (т1 + г~) ~ < 2о, будем иметь также пг»+гх ( пхь+хг ( пг»+г» + Я Я 2 2 Но а"' а" = а"'~"' для т1, т2 Е Я, значит, из полученных неравенств вытекает, что пхни . Охх г ( Пх1+ хх ( ОХ1 . Пхх Поскольку е > О произвольно, заключаем, что ахи Охх — ох1+х2 ф» 12' 11ш а* = а*'.
(Напомним, что «х -+ хр» — принятое сокращение для х — »хо «ЙЭх-+хо») ° 4 Проверим сначала, что 11шах = 1. По я > О найдем п Е И так, что х-+О г ( П-1/а ( О1/в ( 1 + Е ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ Тогда в силу 10' при ~х~ < 1/ть будем иметь 1 — е < а ~>" < а* < а~~" < 1+ е, т. е. проверено, что 1ип а* = 1. ж->О Если теперь взять б > О, чтобы при ~х — хо~ < б было ~а* *' — 1~ ( яа *', то получим а~о о ( >> хо ( х зо 1) ( хо и тем самым проверено, что 1пп а* = а*'. В х-+хо 13' Покажем, что множеством значений построенной функции х >-+ а* является множество К+ всех положительных действительных чисел. ° Ф Пусть уе Е Й+.
Если а ) 1, то, как нам известно, найдется число и >= М такое, что а "< уо < а". В силу этого оба множества А = (х Е Й ~ а* < уо) и В = (х Е Й ~ уо ( а~) непусты. Но поскольку (х1 < х2) «-.Ф (а~> < а*') (при а > 1), то для любых чисел хд, х2 Е К таких, что хд Е А и х2 Е В, имеем х1 < х2. Следовательно, к множествам А и В применима аксиома полноты, из которой следует существование числа хо такого, что х1 < хо < х2 для любых элементов х1 Е А и х2 Е В. Покажем, что а*о = уо. ЕСЛИ бЫ бЫЛО а*' < уО, тО, ПОСКОЛЬКУ а*о+1~" — ~ а" Прн П вЂ” 1 ОО, НаШЛОСЬ бы число ть 1= М такое, что а*о+1~" < уо. Получилось бы, что хо + -/ Е А, 1Ъ в то время как точка хр разделяет А и В.
Значит, предположение а*' ( уо неверно. Аналогично проверяем, что неравенство а*' > уо тоже невозможно. По свойствам действительных чисел отсюда заключаем, что а*' = уо. 1~ 14' Мы пока считали, что а ) 1. Но все построения можно было бы повторить и для 0 < а < 1. При этом условии 0 < а" < 1, если г > 0; поэтому в 6', а затем окончательно в 10' теперь получим, что при 0 < а < 1 (х1 < х2) =Ф (а*' > а*'). Итак, при а > О, а ф 1 на множестве Й действительных чисел мы построили действительнозначную функцию х >-+ а* со следующими свойствами: 1) а'=а; ~) аа>. ало аз>+хо.
> 3) а*-+ а*' при х-~ хо, 4) (ах> < ахо) «=1» (Х1 < Х2) > ЕСЛИ а > 1> (а*' > а*') «=Ф (хд < х2), если 0 < а < 1; 5) множеством значений функции х >-) а* является множество К+ = (у е Е К ] 0 < у) всех положительных чисел. 121 $ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ О пред елен ие 7. Отображение х ~-+ а* называется яокаэательной или эксионенииальноб функцией при основании а.
Особенно часто встречается функция х н е*, когда а = е, которую нередко обозначают через ехрх. В связи с этим для обозначения функции х ~-+ а* также иногда используется символ ехр, х. Ь) Логарифмическая функиия. Поскольку отображение ехр . К -+ К ~, как видно из свойств показательной функции, биективно, оно имеет обратное отображение. Определение 8. Отображение, обратное к ехр„: К -+ К+, называется логарифмической функиией при основании а (О ( а, а ~6 1) и обозначается символом 10К~: К+ -+ К. Определение 9. При основании а = е логарифмическая функция, или логарифм, называется натпуральным логарифмом и обозначается 1п: К+ -+ К.
Причина такой терминологии прояснится при другом, во многом даже более естественном и прозрачном подходе к логарифмам, который мы изложим после построения основ дифференциального и интегрального исчисления. По определению логарифма как функции, обратной экспоненциальной, имеем Ух Е К (1оя (а*) = х), ~/у ~ К (а1ог У = у) Из этого определения и свойств показательной функции, в частности, получается, что в области К+ своего определения логарифм обладает следующими свойствами: 1') 1оя,а = 1; 2') 1оя (у1 у2) = 1оц„у1 + 1оя„у2, 3') 1о8, у -+ 1о~, уо при К+ Э у -? уо Е К+; 4') (1оя„у1 ( 1оя у2) С=Ф (у1 < у2), если а ) 1, (10$, у1 > 10$, у2) 4Ф (у1 ( у2), если О < а С 1; 5') множество значений функции 1оя: К+ -+ К совпадает с множеством К всех действительных чисел. ~ Из свойства 1) показательной функции и определения логарифма получаем 1'). Из свойства 2) показательной функции получаем 2').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
