В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 18
Текст из файла (страница 18)
+ а х )- О, если а > О. у1) Покажите, что множество Щх) всех рациональных дробей ао + а»х +... + а х Ьо + Ь|х +... + Ь„х'" с коэффициентами из 1,1у или иэ й после введения в нем порядка Н,„р- О, если — > О, и обычных арифметических операций становится упорядоченным, но не Ьо архимедовым полем. Это означает, что принцип Архимеда не может быть выведен из аксиом Ж, минуя аксиому полноты. 22. Пусть и Е уч и и > 1. В множестве Е„= (О, 1,..., и) определим сумму и произведение элементов как остаток от деления на и»обычной» суммы и произведения этих чисел в й. Множество Е„с так определенными в нем операциями обозначают символом Е„.
а) Покажите, что если и не простое число, то в Е„есть такие отличные от нуля числа т, я, что т й = О. (Такие числа называются делителями нуля.) Это значит, что из а Ь = с Ь даже при Ь ~ 0 в Е„не следует, что а = с. Ь) Покажите, что при простом р в Ер отсутствуют делители нуля и Ер есть поле. с) Покажите, что ни при каком простом р поле Ер нельзя упорядочить так, чтобы этот порядок был согласован с арифметическими операциями Ер.
23. Покажите, что если й и 1~' — две модели множества действительных чисел, а ~: Ж -+ Ж' — такое отображение, что ~(х+ у) = ~(х) + Ду) и ~(х 1у) = у(х) у(у) для любых х, 1у Е ук, то: а) У(0) = 0'; Ь) ~(1) = 1', если ~(х) ф 0', что мы дальше будем считать выполненным; с) у (т) = т', где т Е Е и т Е Е', причем отображение у: Š— » Е' биективно и сохраняет порядок; у а~у( — )= —,, д ~, ~»,а~о, ', '~к', '~»',у( )= ',у(п)= '.
Таким образом, ~: Ц -+ ф есть сохраняющая порядок биекция. е) ~: Ж -+ ук' есть биективное, сохраняющее порядок отображение. $ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 67 24. Опираясь на предыдущую задачу и аксиому полноты, покажите, что аксиоматика множества действительных чисел определяет его полностью с точностью до изоморфизма (до способа реализации), т. е. что если Ж и К' — два множества, удовлетворяющие аксиоматике, то существует взаимно однозначное отображение ~: Ж -+ 1«', сохраняющее арифметические операции и порядок: У(х+р) = У(т)+У(у), Дх у) = Дя) ° Др) и (т ~~ у) Ф:» Щх) ~~,1(р)).
25. В ЭВМ число т представляется в виде , Я" ь где р — порядок ж, а М = Я вЂ” „— мантисса числа х (- < М < 1). а„ 1 п=ь Ч Ч При этом машина оперирует только с определенным диапазоном чисел: при д = 2 обычно ~р~ < 64, а Й = 35. Оцените этот диапазон в десятичной системе. 26. а) Напишите таблицу умножения (размера 6 х 6) для шестеричной системы счисления. Ь) Пользуясь результатом задачи а), перемножьте «столбиком» в шестеричной системе (532)в (145)з и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе.
с) Поделите «уголком» (1301)о ~ (25)6 и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе. Й) Проведите сложение «столбиком» (4052)з (3125)6 27. Запишите (100)до в двоичной и троичной системах. 28. а) Покажите, что наряду с единственностью записи целого числа в виде (а„а ~ ... ао)з, где а, е (О, 1, 2), возможна и также единственна его запись в виде где,д Е (-1,0,1). Ь) Каково наибольшее число монет, из которых тремя взвешиваниями на чашечных весах можно выделить одну фальшивую, если известно только, что она отличается от остальных монет по весу? 29, Какое наименьшее количество вопросов с ответами «да» или «нет» надо задать, чтобы узнать любой из семизначных телефонных номеров? 30. а) Сколько различных чисел можно задать с помощью 20 десятичных знаков (например, два разряда по 10 возможных знаков в каждом)? Тот же вопрос для двоичной системы.
В пользу экономичности какой из этих систем говорит сравнение результатов? ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 68 Ъ) Оцените количество различных чисел, которые можно записать, располагая п знаками д-ичной системы. (Ответ: д"~~.) с) Нарисуйте график функции Х(х) = ю" ~* над множеством натуральных значений аргумента и сравните экономичность различных систем счисления, З 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел Здесь мы установим несколько простых полезных принципов, каждый из которых можно было бы положить в основу построения теории вещественных чисел в качестве аксиомы полноты1).
Эти принципы мы назвали основными леммами в соответствии с их широким использованием во всевозможных доказательствах теорем анализа, 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантор~а) Определение 1. Функцию Х: И -+ Х натурального аргумента называют последовательностью или, полнее, последовательностью элементов множества Х. Значение х(п) функции х, соответствующее числу и б 1ч, часто обозначают через х„и называют и-м членом последовательности. Определение 2. Пусть Х1, Х2, ..., Х„, ... — последовательность каких-то множеств. Если Х1 ) Хг ) ... Э Х„Э ..., т.
е. Уп Е И (Х„Э ) Х„+1), то говорят, что имеется последовательность вложенных множеств. Лемма (Коши — Кантор). Для любой последовательности Х1 ) Хз ') ... ... З Х„') ... вложенных отреэков найдется точка с Е К, принадлежащая всем этим отреэкам. Если, кроме того, известно, что для любого г > О в последовательности можно найти отреэок Ха, длина которого [Хь[ < г, то с — единственная общая точка всех отреэков.
~ Заметим прежде всего, для любых двух отрезков Х = [а, Ь ], = [а„, Ь ] нашей последовательности имеет место а < Ь„. Действительно, в противном случае мы получили бы а„< Ь„< а < Ь„„т. е. отрезки Х', Х„не имели бы общих точек, в то время как один из них (имеющий больший номер) должен содержаться в другом. Таким образом, для числовых множеств А = (а ~ т Е Щ, В = 1Ь„~ и Е И) выполнены условия аксиомы полноты, в силу которой найдется число с Е )к такое, что Ча 6 А, ЧЬ„Е В выполнено а < с < Ь„.
В частности, а„< с < < Ь„для любого и Е И. Но зто и означает, что точка с принадлежит всем отрезкам Х„. 1) См. задачу 4 в конце параграфа. з 3. ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛНОТОЙ И Пусть теперь с1 и сз — две точки, обладающие этим свойством. Если они различны и, например, с1 < с~, то при любом и Е 1Ч имеем а„< с1 < < с~ < Ь„, поэтому О < сз — с1 < ܄— а и длина каждого отрезка нашей последовательности не может быть меньше положительной величины ср — с1. Значит, если в последовательности есть отрезки сколь угодно малой длины, то общая точка у них единственная. ° 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега) Определение 3. Говорят, что система Я = (Х) множеств Х покрывает множество У, если У с Ц Х, (т.
е. если любой элемент и множества У хек содержится по крайней мере в одном из множеств Х системы Я). Подмножество множества Я = (Х), являющегося системой множеств, будем называть подсистемой системы Я. Таким образом, подсистема системы множеств сама является системой множеств того же типа. Лемма (Борель — ЛебегЦ). 8 любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечная подсистема, покрыааюи4ая этот отрезок. ~ Пусть Я = (У) — система интервалов У, покрывающая отрезок [а, Ь] = = 11. Если бы отрезок 11 не допускал покрытия конечным набором интервалов системы Я, то, поделив 11 пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через 1~, тоже не допускает конечного покрытия.
С отрезком 12 проделаем ту же процедуру деления пополам, получим отрезок 1з и т. д. Таким образом, возникает последовательность 11 Э 1~ )... 1 1„)... вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интервалами системы Я. Поскольку длина отрезка, полученного на и-м шаге, по построению равна ~1„~ = ~11~ 2 ", то в последовательности ~1„) есть отрезки сколь угодно малой длины (см.
лемму из 8 2, п.4с). По лемме о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам 1„, и Е И. Поскольку с 6 11 — — [а, Ь], то найдется интервал ]а,Д[ = 11 6 5 системы Я, содержащий точку с, т. е. а < с <,В. Пусть 6 = ппп~с — а, ~3 — с). Найдем в построенной последовательности такой отрезок 1„, что ~1„~ < 6. Поскольку с Е 1„ и ~1„~ < 6, заключаем, что 1„С У = ]а„В[. Но это противоречит тому, что отрезок 1„нельзя покрыть конечным набором интервалов системы. 1ь 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано — Вейерштрасса). Напомним, что окрестностью точки х Е К мы назвали интервал, содержащий зту точку; о-окрестностью точки х — интервал ]х — о,х+ о[. Определение 4. Точка р е К называется предеяьной точкой множества Х С К, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества Х.
Ц Э. Борель (1871 — 1956), А. Лебег (1875 — 1941) — известные французские математики, специалисты в области теории функций. ГЛ. 11. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 70 Задачи и упражнения 1. Покажите, что а) если 1 — произвольная система вложенных отрезков, то апр(а Е К [ [а, Ь') Е 1) = = а ( ~3 = 1пЕ(6 Е К[[а,Ь1 е1) и [а,Д = П [а,Ь~); (а,ъ)ел Ь) если 1 — система вложенных интервалов 1а, Ь[, то пересечение П ')а, 6[ может оказаться пустым. ~а,Ь~ЕГ У аза е: 1~,ь /=~0,— ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
