В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Равенст1 имеет место, лишь если Х = У. В последнем случае вместо Х х Х пиш1 коротко Х~. Прямое произведение называют также декартовым произведением в чес.. Декарта' ), который независимо от Ферма~) пришел через систему коорд: нат к аналитическому языку геометрии. Известная всем система декартовь координат в плоскости превращает эту плоскость именно в прямое произв дение двух числовых осей. На этом знакомом обьекте наглядно проявляет~ зависимость декартова произведения от порядка сомножителей.
Наприме упорядоченным парам (О, 1) и (1, 0) отвечают различные точки плоскости. В упорядоченной паре г = (х1, х~), являющейся элементом прямого пр изведения Е = Х1 х Х2 множеств Х1 и Х~, элемент х1 называется перв~ проекцией пары г и обозначается через рг, г, а элемент хз — второй прое цией пары ~ и обозначается через рг2 ~. Проекции упорядоченной пары по аналогии с терминологией аналитич ской геометрии часто называют (первой и второй) координатами пары.
Упражнения В задачах 1, 2, 3 через А, В, С обозначены подмножества некоторого множ ства и. 1. Проверьте соотношения: а) (А С С) Л (В с С) ~=» КА 0 В) С С); Ь) (С с А) Л (С с В) ~» (С с (А П В)); с) См(СмА) = А; с1) (А С СмВ) с=» (В с См А); е) (А С В) с=» (СмА З СмВ) 11Р. Декарт (1596 — 1650) — выдающийся французский философ, математик и физи внесший фундаментальный вклад в теорию научного мышления и познания.
з1П. 4>ерма (1601 — 1665) — замечательный французский математик, юрист по спец альности. <1зерма стоял у истоков ряда областей современной математики: анализ, анал тическая геометрия, теория вероятностей, теория чисел. а. ч г плцил 2. Покажите, что а) АО(ВОС) = (АОВ)ОС=: АОВОС; Ь) Ап(ВпС) =(АпВ) пС=: АпВпС; с) Ап(ВОС) =(АпВ)0(АпС); й) АО (В и С) = (АОВ) и (А ОС). 3. Проверьте взаимосвязь (двойственность) операций объединения и пересеч ния: а) См (А 0 В) = См А П См В; ь) См (А и В) = См А 0 См В.
4. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение: а) двух отрезков (прямоугольник); Ь) двух прямых (плоскость); с) прямой и окружности (цилиндрическая поверхность); с1) прямой и круга (цилиндр); е) двух окружностей (тор); 1) окружности и круга (полноторие). 5. Множество Л = ((х1,х~) 6 Х ~х» = х2) называется диагональю декарта квадрата Х множества Х.
Проиллюстрируйте геометрически диагонали множеств, полученных в пункт; а), Ь), е) задачи 4. б. Покажите, что а) (Х х У = а) с=ь (Х = а) Ч (У = а), а если Х х У ф И, то Ь) (А х В С Х х У) С=~ (А С Х) Л (В С У), с) (Х х У) 0 (Я х У) = (Х 0 Я) х У, с1) (Х х У) П(Х' х У') =(ХПХ') х (УПУ'). Здесь И вЂ” символ пустого множества, т.
е. множества, не содержащего злементо| 7. Сравнив соотношения задачи 3 с соотношениями а), Ь) из упражнения 2 к ~ установите соответствие между логическими операциями, Л, Ч на высказывани~ и операциями С, П, 0 на множествах. ~ 3. Функция 1. Понятие функции (отображения). Перейдем теперь к описани фундаментального не только для математики понятия функциональной зав: симости. Пусть Х и У вЂ” какие-то множества. Говорят, что имеется функция, определенная на Х со значениями в У, ес~ в силу некоторого закона ~ каждому элементу х б Х соответствует элеме» у~У.
В этом случае множество Х называется областью определения функц~ символ х его общего элемента — аргументом функции или независимой ременной; соответствующий конкретному значению хо <= Х аргумента х э, мент уо <= У называют значением функции на элементе хо или значени функции при значении аргумента х = хо и обозначают через Дхо). При 1 менении аргумента х Е Х значения у = Дх) Е У, вообще говоря, меняютс~ зависимости от значений х. По этой причине величину у = Дх) часто наз вают зависимой переменной. Множество ~(Х):= (у <= У ~ 5х ((х 6 Х) Л (у = Дх)))) всех значений функции, которые она принимает на элементах множества будем называть множестпвом значений или областью значений функции, В зависимости от природы множеств Х, У термин «функция» в различи: отделах математики имеет ряд полезных синонимов: отпображение, преоб~ зование, морфизм, оператпор, функционал.
Отображение — наиболее расп1 страненный из них, и мы его тоже часто будем употреблять. Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: ~: Х -~ У, Х вЂ” + У. Когда из контекста ясно, каковы область определения и область зна ний функции, используют также обозначения х <-+ ~(х) или у = Дх), а ча обозначают функцию вообще одним лишь символом ~.
Две функции ~1, ~2 считаются совпадающими или равными, если они и« ют одну и ту же область определения Х и на любом элементе х Е Х значен Л (х), ~2(х) этих функций совпадают. В этом случае пишут ~1 — — ~2. Если А С Х, а ~: Х вЂ” ~ У вЂ” некоторая функция, то через ~~А или / обозначают функцию <р: А + У, совпадающую с ~ на множестве А. Точи< ~~л(х):= р(х), если х <= А.
Функция ~~А называется сужением или огра~ чением функции ~ на множество А, а функция ~: Х вЂ” «У по отношению функции <р = ~~л . А -+ У' называется распростпранением или продолжени функции <р на множество Х. Мы видим, что иногда приходится рассматривать функцию <р: А — > определенную на подмножестве А некоторого множества Х, причем облас значений <р(А) функции <р тоже может оказаться не совпадающим с У пс множеством множества У.
В связи с этим для обозначения любого множест Х, содержащего область определения функции, иногда используется терм: область отправления функции, а любое множество У, содержащее облас значений функции, называют тогда областью ее прибытия. Итак, задание функции (отображения) предполагает указание трой: (Х,~, У), где: Х вЂ” отображаемое множество, или область определения функции; У вЂ” множество, в которое идет отображение, или область прибытия функции; ~ — закон, по которому каждому элементу х е Х сопоставляется определенный элемент у Е У. Наблюдаемая здесь несимметричность между Х и У отражает то, ч отображение идет именно из Х в У.
Рассмотрим некоторые примеры функций. Пример 1. Формулы 1=2тг и Ъ'= — ктз устанавливают функционж 4 3 ную зависимость длины окружности 1 и объема шара Ъ' от радиуса т. 1 смыслу каждая из этих формул задает свою функцию ~: К» -+ К», опре~ ленную на множестве К+ положительных действительных чисел со значень ми в том же множестве К» . П р и м е р 2.
Пусть Х вЂ” множество инерциальных систем координат, с: Х -+ К вЂ” функция, состоящая в том, что каждой инерциальной систе координат х б Х сопоставляется измеренное относительно нее значение с( скорости света в вакууме. Функция с: Х -+ К постоянна, т. е. при люб~ х е Х она имеет одно и то же значение с (это фундаментальный экспериме тальный факт). Пример 3. Отображение С: К2-+ К2 (прямого произведения К2 = К х К = К~ х К, оси времени К~ и пространственной оси К ) на себя же, за~ ваемое формулами х' =х — И, есть классическое преобразование Галилея для перехода от одной инерциаг ной системы координат (х, 1) к другой — (х',1'), движущейся относитель первой со скоростью и.
Той же цели служит отображение Ь: К2 -» Кз, задаваемое соотношения| х — И х' = Ф:ТГ Это — известное (одномерное) преобразование Лоренца1~, играющее фун~ ментальную роль в специальной теории относительности; с — скорость све. ЦГ. А. Лоренц (1853 — 1928) — голландский физик. Указанные преобразования бь. найдены им в 1904 г.
и существенно использовались в сформулированной в 1905 г. Э| штейном специальной теории относительности. < .<<. <. льл< < ~ <«-ьы <.<ьщю<аа ~ г и<к ~ «< -<гл л«<г пипл <. ил Пример 4. Проектирование рг,: Х1 х Х2 -+ Х1, задаваемое соответс вием Х1 х Х2 Э (х1, х~) < — ~ х1 <= Х1, очевидно, является функцией. Аналоги ным образом определяется вторая проекция рг2: Х1 х Х2 — < Х2.
Пример 5. Пусть Р(М) — множество всех подмножеств множества 1 Каждому множеству А <= 'Р(М) поставим в соответствие множество СмА <=. Р(М), т. е. дополнение к А в М. Тогда получим отображение См . Р(М) -+ 'Р(М) множества Р(М) в себя. Пример 6. Пусть Е с М. Вещественнозначную функцию ~~ . М -+ определенную на множестве М условиями (~д(х) = 1, если х Е Е) Л (Хе(х) = О, если х Е СщЕ), называют характеристической функцией множества .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
