В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Этот материал относится к формальным основаниям анализа и адресов в первую очередь студенту-математику, который в какой-то момент захо: проследить логическую структуру базисных понятий и принципов, исполь: емых в классическом анализе. Собственно математический анализ в ко начинается с третьей главы, поэтому читатель, желающий по возможнос скорее получить в руки эффективный аппарат и увидеть его приложения, п первом чтении вообще может начать с главы П1, возвращаясь к более рани страницам в случае, если что-то ему покажется неочевидным и вызовет ) прос, на который, надеюсь, я тоже обратил внимание и предусмотрителен дал ответ в первых главах.
О р у б р и к а ц и и. Материал обеих книг разбит на главы, имеющие спло ную нумерацию, Параграфы нумеруются в пределах каждой главы отдель: подразделения параграфа нумеруются только в пределах этого параграс Теоремы, утверждения, леммы, определения и примеры для большей логи ской четкости выделяются, а для удобства ссылок нумеруются в предел каждого параграфа, О вспомогательном материале. Несколько глав книги написа как естественное окаймление классического анализа. Это, с одной сторов уже упоминавшиеся главы 1, П, посвященные его формально-математическ основаниям, а с другой стороны, главы1Х, Х, ХУ второй части,.дающие сов] менный взгляд на теорию непрерывности, дифференциальное и интегралы исчисление, а также глава Х1Х, посвященная некоторым эффективным ас~ птотическим методам анализа.
Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекционн курс, зависит от контингента слушателей и решается лектором, но некотор вводимые здесь фундаментальные понятия обычно присутствуют в любом ~ ложении предмета математикам. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Х1У В. Зор Москва, 1980 В заключение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и квалиф цированная профессиональная помощь была мне дорога и полезна при рабо над этой книгой. Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах соглас вывался с последующими современными университетскими математически~ курсами — такими, например, как дифференциальные уравнения, диффере циальная геометрия, теория функций комплексного переменного, функци нальный анализ.
В этом отношении мне были весьма полезны контакты обсуждения с В. И. Арнольдом и, особенно многочисленные, с С. П. Новик вым в период совместной работы в экспериментальном потоке при отделен| математики. Много советов я получил от Н. В. Ефимова, заведующего кафедрой мач матического анализа механико-математического факультета МГУ. Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замечания ротапринтному изданию моих лекций.
При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое р~ поряжение студенческие записи моих лекций последнего времени, за что благодарен их владельцам. Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства Л. Д. К дрявцеву, В. П. Петренко, С. Б. Стечкину за конструктивные замечания, зн чительная часть которых учтена в предлагаемом читателю тексте. ГЛАВА 1 НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИ'ЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНА~4ЕНИЯ ~ 1.
Логическая символика 1. Связки и скобки. Язык этой книги, как и большинства матема~ ческих текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символ излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символами, которые ! дут вводиться по мере надобности, мы используем распространенные сим~ лы математической логики, А, У, =~, 4=~ для обозначения соответствев отрицания «не» и связок «и», «или», «влечет», «равносильно»,1) Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес в сказывания: Ь. «Если обозначения удобны для открытий ..., то поразительным об) зом сокращается работа мысли» (Г.
Лейбниц~)). Р. «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковы именами» (А. Пуанкарез)). С. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилей' 1> В логике вместо символа А чаще используется символ й. Символ =~ импликации гики чаще пишут в виде -+, а отношение равносильности — в виде +- -+ или ~-+. Однако будем придерживаться указанной в тексте символики, чтобы не перегружать традиционн для анализа знак -« предельного перехода. ~~ Г.
В. Лейбниц (1646 — 1716) — выдающийся немецкий ученый, философ и математ которому наряду с Ньютоном принадлежит честь открытия основ анализа бесконечно ~ лых. з~А. Пуанкаре (1854 — 1912) — французский математик, блестящий ум которого п образовал многие разделы математики и достиг ее фундаментальных приложений в ма матической физике. 4> Г. Галилей (1564 — 1642) — итальянский ученый, крупнейший естествоиспытатель. 1 труды легли в основу всех последующих физических представлений о пространстве и в мени. Отец современной физической науки. Тогда в соответствии с укаэанными обозначениями: Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избег, разговорного языка, — не всегда разумно.
Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, сост вленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же си таксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений. Как в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действию Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов: Ч, =>, При таком соглашении выражение - А Л В Ч С =~ .О следует расшифрова. как (((- А) Л В) Ч С) =-.~ .О, а соотношение А Ч В =~ С вЂ” как (А Ч В) => С, ~ не как А Ч (В =~ С). Записи А =-.> В, означающей, что А влечет В или, что то же самое, следует из А, мы часто будем придавать другую словесную интерпретаци~ говоря, что В есть необходимый признак или необходимое условие А и, свою очередь, А — достаточное условие или достаточный признак В.
Т ким образом, соотношение А Ф~ В можно прочитать любым из следующ~ способов: А необходимо и достаточно для В; А тогда и только тогда, когда В; А, если и только если В; А равносильно В. Итак, запись А ~=~ В означает, что А влечет В и, одновременно, В вл чет А. Употребление союза и в выражении А Л В пояснений не требует. Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении А Ч В с юз или неразделительный, т. е. высказывание А Ч В считается верным, ест истинно хотя бы одно из высказываний А, В. Например, пусть х — так< действительное число, что х2 — Зх + 2 = О.
Тогда можно написать, что име место следующее соотношение: (х~ — Зх + 2 = О) «=» (х = 1) ~/ (х = 2). 2. Замечания о доказательствах. Типичное математическое утвер; дение имеет вид А =» В, где А — посылка, а  — заключение. Доказательст такого утверждения состоит в построении цепочки А =» С1 =.'» ... =» С„=» следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо являет уже доказанным утверждением1). В доказательствах мы будем придерживаться классического правила в: вода: если А истинно и А =» В, то В тоже истинно.
При доказательстве от противного мы будем использовать также принц1 исключенного третьего, в силу которого высказывание А Ч - А (А или не . считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания Следовательно, мы одновременно принимаем, что ( А) «=» А, т. е. повторя отрицание равносильно исходному высказыванию. 3. Некоторые специальные обозначения.
Для удобства читателя сокращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знак ми ° и ~ соответственно. Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посре ством специального символа:= (равенство по определению), в котором двс точие ставится со стороны определяемого объекта. Например, запись определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предпол гается известным. Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенных в: ражений.
Например, запись вводит обозначение и(~; Р, с) для стоящей слева суммы специального вида. 4. Заключительные замечания. Отметим, что мы здесь говорили, ~ существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических в: водов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводим сти, составляющих предмет исследования математической логики.
Ц Запись А =;» В =» С будет употребляться как сокращение для (А ~ В) Л (В =» С). ГЛ. Ь НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Как же строить математический анализ, если мы не имеем формали: ции логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы всег знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный момент фс мализовать. Пояснением смысла последней фразы может служить известь притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее попроси объяснить, как именно она управляется со всеми своими конечностями. Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или прост~ и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению годня. Так было ~и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиями ма'. матического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого были откры еще в ХУП вЂ” ХУ111 веках, но приобрели современный формализованный, с нозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь по< создания теории пределов и необходимой для нее логически полноценной т~ рии действительных чисел (Х1Х век).
Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем в главе построение всего здания анализа. Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомитьс~ основными понятиями и эффективным аппаратом собственно дифферент ального и интегрального исчисления могут начать сразу с П1 главы, возв1 щаясь к отдельным местам первых двух глав лишь по мере необходимости Упражнения Будем отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные — символом Тогда каждому из высказываний А, А Л В, А У В, А =:» В можно сопостави так называемую таблицу истинности, которая указывает его истинность в за симости от истинности высказываний А, В. Эти таблицы являются формальн1 определением логических операций, Л, У, =~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
