В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 2
Текст из файла (страница 2)
3. Зависимость функций (497). 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших (499). 5. Лемма Морса (501). Задачи и упражнения (505). ~ 7. Поверхность в Ж" и теория условного экстремуяа 1. Поверхность размерности я в й" (506). 2. Касательное пространство (511). 3. Условный экстремум (516). Задачи и упражнения (528). Некоторые задачи коллоквиумов Вопросы к экзамену .. Литература .. Алфавитный указатель 5! 5: 5 5 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ В этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечатки п~ вогоЦ, сделаны отдельные изменения изложения (в основном это касае~ вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены некоторые нов задачи, как правило, неформального характера.
В предисловии к перво изданию этого курса анализа уже дана его общая характеристика, указа1 основные принципы и направленность изложения. Здесь я хотел бы сдела несколько практических замечаний, связанных с использованием книги в уч~ ном процессе. Любым учебником обычно пользуются как студент, так и преподаватель каждый для своих целей, Сначала и тот, и другой заинтересованы име книгу, где, помимо формально необходимого минимума теории, имеются возможности разнообразные содержательные примеры ее использования, ~ яснения, исторический и научный комментарии, демонстрируются взаимос1 зи, указываются перспективы развития.
Но в момент подготовки к экзаме студент желает видеть тот материал, который выносится на экзамен. П~ подаватель точно так же, завершая подготовку курса, отбирает только т материал, который может и должен быть изложен в отведенное курсу вре~ В этой связи следует иметь в виду, что текст данного учебника, кон< но, заметно шире того конспекта лекций, на базе которого он написан. Ч составило эту разницу? Во-первых, к конспекту добавлен, по существу, 1 лый задачник, состоящий, не столько из упражнений, сколько из содерх тельных задач естествознания или собственно математики, примыкающи» соответствующим разделам теории, а иногда и существенно расширяющих| Во-вторых, в книге, конечно, разобрано много больше примеров, демонст~ рующих теорию в действии, чем это удается сделать на лекциях.
Након в-третьих, ряд глав, параграфов или отдельных пунктов сознательно нани ны как дополнение к традиционному материалу. Об этом сказано в раздет 1> Не следует огорчаться: вместо исправленных опечаток не сохранившегося набора п вого издания заведомо появится комплект новых опечаток, так оживляющих, по мнен Эйлера, чтение математического текста. В. Зор~ Москва,, 1997 1) Часть записей соответствующих лекций опубликована и формально я даю ссылку; изданные по ним брошюры, хотя понимаю, что они уже малодоступны (лекции были проч таны'-и изданы ограниченным тиражом в Математическом колледже МНУ и на механик математическом факультете МГУ). «О введении» и «О вспомогательном материале» предисловия к первому изд нию.
Напомню также, что в предисловии к первому изданию я желал предост речь и студента, и начинающего преподавателя от чрезмерно долгого сквозн го изучения вводных формальных глав. Это заметно откладывает собствен1 анализ и сильно смещает акценты. Чтобы показать, что на деле остается в реальном лекционном курсе ~ этих формальных вводных глав, и чтобы в концентрированном виде изложи* программу такого курса в целом, а также отметить возможные ее вариации зависимости от контингента слушателей, я в конце книги привожу некоторь задачи коллоквиумов, а также экзаменационные вопросы последнего време~ за первые два семестра, к которым относится эта часть 1.
По экзаменационным вопросам профессионал, конечно, увидит и поряд< изложения, и степень развития в нем фундаментальных понятий и методов, привлечение порой материала второй части уЧебника, когда рассматриваемь в первой части вопрос уже доступен слушателям в более общем виде' ). В заключение хотел бы поблагодарить знакомых и незнакомых мне ко лег и студентов за отзывы и конструктивные замечания к первому издани курса, Особенно интересно и полезно мне было прочитать рецензии А.
Н. Ко могорова и В. И. Арнольда. Разные по объему, форме и стилю, они в профе сиональном плане имели так ободряюще много общего. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИКЭ Создание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ диффере циального и интегрального исчисления даже по нынешним масштабам пре ставляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математики особенности. Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, переплет ясь, образовали теперь ту корневую систему, на которой держится разветвле ное дерево современной математики и через которую происходит его основн< живительный контакт с внематематической сферой.
Именно по этой причи основы анализа включаются как необходимый элемент даже самых скромнь представлений о так называемой высшей математике, и, вероятно, поэто~ изложению основ анализа посвящено большое количество книг, адресованнь различным кругам читателей. Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим (как должно) получить полноценные в логическом отношении доказательства фу даментальных теорем, но вместе с тем интересующимся также их внемат матической жизнью. Особенности настоящего курса, связанные с указанными обстоятельств ми, сводятся в основном к следующему. По характеру изложения. В пределах каждой большой темы изб жение, как правило, индуктивное, идущее порой от постановки задачи и н водящих эвристических соображений по ее решению к основным понятиям формализмам.
Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мере пр движения по курсу. Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изложен1 теории я (в меру своего понимания) стремился выделить наиболее существе ные методы и факты и избежать искушения незначительного усиления теор~ ценой значительного усложнения доказательств. Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для р~ крытия существа дела. Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров, а поч каждый параграф заканчивается набором задач, которые, надеюсь, сущес венно дополняют даже теоретическую часть основного текста. Следуя 1 ликолепному опыту Полиа и Сеге, я часто старался представить красив| математический или важный прикладной результат в виде серий доступн.
читателю задач. Расположение материала диктовалось не только архитектурой матемаз ки в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной части единс математического или, лучше сказать, естественно-математического обра; вания. По содержанию. Курс издается в двух книгах (части 1и П). Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интегральное ~ числение функций одной переменной и дифференциальное исчисление фу~ ций многих переменных.
В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала как ~ нейного эталона для локального описания характера изменения переменн величины. Кроме многочисленных примеров использования дифференциа' ного исчисления для исследования функциональных зависимостей (монот~ ность, экстремумы), показана роль языка анализа в записи простейших ди ференциальных уравнений — математических моделей конкретных явлени1 связанных с ними содержательных задач. Рассмотрен ряд таких задач (1 пример, движение тела переменной массы, ядерный реактор, атмосферное ~ вление, движение в сопротивляющейся среде), решение которых приводиз важнейшим элементарным функциям. Полнее использован комплексный язь в частности, выведена формула Эйлера и показано единство основных элем~ тарных функций.
Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на нагл~ ном материале в рамках интеграла Римана. Для большинства приложений э". го вполне хватает'~. Указаны различные приложения интеграла, в том чи~ приводящие к несобственному интегралу (например, работа выхода из пс тяготения и вторая космическая скорость) или к эллиптическим функци (движение в поле тяжести при наличии связей, маятник). Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных дово. но геометрично.
В нем, например, рассмотрены такие важные и полезн следствия теоремы о неявной функции, как криволинейные координаты и . кальное приведение к каноническому виду гладких отображений (теорем< ранге) и функций (лемма Морса), а также теория условного экстремума. Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и дифферент альному исчислению, подытожены и изложены в общем инвариантном вид~ двух главах, которые естественным образом примыкают к дифференциа ному исчислению вещественнозначных функций нескольких переменных. 3 две главы открывают вторую часть курса. Вторая книга, в которой, кро 1) Более «сильные» интегралы, как известно, требуют более кропотливых и выбив' щихся из основного русла теоретико-множественных рассмотрений, мало что прибавля эффективному аппарату анализа, который и должен быть освоен в первую очередь.
того, изложено интегральное исчисление функций многих переменных, до~ денное до общей формулы Ньютона — Лейбница — Стокса, приобретает, так образом, определенную целостность. Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии к ней здесь добавим только, что кроме уже перечисленного материала она содерж сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах Фурье в том числ об интегралах, зависящих от параметра (включая фундаментальное решен: свертку и преобразование Фурье), а также об асимптотических разложены (они обычно мало представлены в учебной литературе).
Остановимся теперь на некоторых частных вопросах. О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку больш~ ство начинающих студентов уже имеют из школы первое представление о ди ференциальном и интегральном исчислении и его приложениях, а на больп вступительный обзор вряд ли мог бы претендовать. Вместо него я в перв двух главах довожу до определенной математической завершенности предс. вления бывшего школьника о множестве, функции, об использовании логи ской символики, а также о теории действительного числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
