В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Вот они: -А АЛВ АЧВ А~В 1. Проверьте, все ли в этих таблицах согласуется с вашим представлениев соответствующей логической операции. (Обратите, в частности, внимание на что если А ложно, то импликация А в» В всегда истинна.) 2. Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и ширс используемые в математических рассуждениях соотношения: а) - (АА В) 4=» АЧ В; Ь) — (АЧ В) 4=» - А А-В; с) (А =» В) с» (-В =» - А); с1) (А =» В) 4=» А Ч В; е) -(А =» В)»-.: АА- В.
~ 2. Множество и элементарные операции над множествами 1. Понятие множества. С конца прошлого — начала нашего столет наиболее универсальным языком математики стал язык теории множес Это проявилось даже в одном из определений математики как науки, и: чающей различные структуры (отношения) на множествах ц. «Под мкожес«пвом мы понимаем объединение в одно целое определеннь вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» вЂ” так опис понятие «множество» Георг Кантор2), основатель теории множеств. Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, посколь оно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным (во всяком случае, определенным ранее), чем само понятие множества.
Цель этого описания разъяснить понятие, связав его с другими. Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят, «на1 ной») теории множеств сводятся к следующему: 1' Множество может состоять из любых различимых объектов. 2' Множество однозначно определяется набором составляющих его о( ектов. 3' Любое свойство определяет множество объектов, которые этим св( ством обладают. Если х — объект, Р— свойство, Р(х) — обозначение того, что х обладе свойством Р, то через 1х ~ Р(х)) обозначают весь класс объектов, облада щих свойством Р.
Объекты, составляющие класс или множество, называ элементами класса или множества. 11 Бурбаки Н. Архитектура математики. В кн.: Бурбаки Н. Очерки но исто1 математики. М.: ИЛ, 19бЗ, 21Г. Кантор (1845 — 1918) — немецкий математик, создатель теории бесконечных м жеств и родоначальник теоретико-множественного языка в математике.
ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Множество, состоящее из элементов х1, ..., х„, обычно обозначают к (х1,..., х„). Там, где это не вызывает недоразумения, для сокращения эапц мы позволяем себе обозначать одноэлементное множество (а) просто через Слова «класс», «семейство», «совокупность», «набор» в наивной теории м~ жеств употребляют как синонимы термина «множество». Следующие примеры демонстрируют применение этой терминологии: множество букв «а» в слове «я»; множество жен Адама; набор из десяти цифр; семейство бобовых; множество песчинок на Земле; совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных ее точек; семейство множеств; множество всех множеств.
Различие в возможной степени определенности задания множества навод: на мысль, что множество — не такое уж простое и безобидное понятие. И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто щ тиворечиво. ~ Действительно, пусть для множества М запись Р(М) означает,что . не содержит себя в качестве своего элемента. Рассмотрим класс К = (М ~ Р(М)) множеств, обладающих свойством Р Если К вЂ” множество, то либо верно, что Р(К), либо верно, что — Р(Ь Однако эта альтернатива для К невозможна. Действительно, Р(К) невс можно, ибо из определения К тогда бы следовало, что К содержит К, т. что верно - Р(К); с другой стороны, Р(К) тоже невозможно, поскольку э означает, что К содержит К, а это противоречит определению К как клас тех множеств, которые сами себя не содержат.
Следовательно, К вЂ” не множество. ~ Это классический парадокс Рассела' >, один из тех парадоксов,к которь приводит наивное представление о множестве. В современной математической логике понятие множества подвергает (как мы видим, не без оснований) тщательному анализу. Однако в так< анализ мы углубляться не станем. Отметим только, что в существующих а сиоматических теориях множество определяется как математический объек обладающий определенным набором свойств.
Описание этих свойств составляет аксиоматику. Ядром аксиоматики т ории множеств является постулирование правил, по которым из множес". 1~Б. Рассел (1872 — 1970) — английский логик, философ, социолог и общественнь деятель. можно образовывать новые множества. В целом любая из существующих а сиоматик такова, что она, с одной стороны, избавляет от известных прот воречий наивной теории, а с другой — обеспечивает свободу оперирован. с конкретными множествами, возникающими в различных отделах матем тики, и в первую очередь именно в математическом анализе, понимаемом широком смысле слова. Ограничившись пока этими замечаниями относительно понятия множ ства, перейдем к описанию некоторых наиболее часто используемых в анали свойств множеств.
Желающие подробнее ознакомиться с понятием множества могут просм треть пункт 2 из ~ 4 настоящей главы или обратиться к специальной литер туре. 2. Отношение включения. Как уже отмечалось, объекты, составля~ щие множество, принято называть элементами этого множества. Мы буд~ стремиться обозначать множества прописными буквами латинского алфав та, а элементы множества — соответствующими строчными буквами. Высказывание «х есть элемент множества Х» коротко обозначают си волом хеХ (или ХЭх), а его отрицание — символом х ф Х (или Х ~~ х).
В записи высказываний о множествах часто используются логические оп раторы 3 («существует» или «найдется») и Ч («любой» или «для любого»), н зываемые кванторами существования и всеобщности соответственно. Например, запись Чх ((х Е А) ~ (х Е В)) означает, что для любого объе тах соотношения х Е А и х е В равносильны. Поскольку множество впол определяется своими элементами, указанное высказывание принято обозначать короткой записью читаемой «А равно В», обозначающей совпадение множеств, А и В. Таким образом, два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Отрицание равенства обычно записывают в виде А ф В. Рис. 1 Если любой элемент множества А является элементом множества В, то пишут А С В или В ) А и говорят, что множество является подмножеством множества В, или что В содержит А, или что включает в себя А. В связи с этим отношение А С В между множествами . В называется отноше»«ием включения (рис.
1). Итак, (А С В):= Чх ((х Е А) =~ (х Е В)). Если А с В и А ф В, то будем говорить, что включение А с В стро или что А — собственное подмножество В. Используя приведенные определения, теперь можно заключить, что (А = В) <=> (А с В) л (В с А). Если М вЂ” множество, то любое свойство Р выделяет в М подмножеств (х Е М ~ Р(х)) тех элементов М, которые обладают этим свойством. Например, очевидно,что М=(хбМ~хЕМ). С другой стороны, если в качестве Р взять свойство, которым не облада ни один элемент множества М, например Р(х):= (х ф х), то мы получ: множество И =(хб М~хфх), называемое пустым подмножеством множества М. 3. Простейшие операции над множествами.
Пусть А и  — пс множества множества М. а. Обьединением множеств А и В называется множество А 0 В:= (х Е М ~ (х Е А) ~/ (х Е В)), состоящее из тех и только тех элементов множества М, которые содержач хотя бы в одном из множеств А, В (рис. 2). Ъ. Пересечением множеств А и В называется множество А П В:= (х Е М ~ (х Е А) Л (х Е В)), Рис. 2 Рис.
4 Рис. 5 Рис. 3 образованное теми и только теми элементами множества М, которые прина лежат одновременно множествам А и В (рис. 3). с. Разностпью между множеством А и множеством В называется мнов ство А ~ В:= (х Е М ~ (х б А) Л (х ф В)), состоящее из тех элементов множества А, которые не содержатся в множест В (рис.
4), Разность между множеством М и содержащимся в нем подмножеств< А обычно называют дополнением А в М и обозначают через СмА или С когда из контекста ясно, в каком множестве ищется дополнение к А (рис. ~ П р и м е р. В качестве иллюстрации взаимодействия введенных понят: проверим следующие соотношения (так называемые правила де Моргана1~,' См(А 0 В) = См А Л См В, См (А П В) = СмА 0 См В, л Докажем, например, первое из этих равенств: (х Е См(А 0 В)) ~ (х ф (А 0 В)) =~ ((х ф А) Л (х ф В)) =~ =~ (х б СмА) Л (х б СмВ) =~ (х Е (СмА П СмВ)).
Таким образом, установлено, что См (А 0 В) С (См А Л См В). С другой стороны, (х Е (СмА й СмВ)) =: ((х Е СмА) Л (х Е СмВ)) =~ =~ ((х ф А) Л (х ф В)) =~ (х ф (А 0 В)) =~ (х Е См(А 0 В)), т. е. (СмА П СмВ) С См(А 0 В). Иэ (3) и (4) следует (1). ~ й. Прямое (декартово) произведение множеств.
Для любых двух м1< жеств А, В можно образовать новое множество — пару (А, В) = (В, А), э~ ментами которого являются множества А и В и только они. Это множест состоит из двух элементов, если А ф. В, и из одного элемента, если А = В. Укаэанное множество называют неупорядоченной парой множеств А, в отличие от упорядоченной пары (А, В), в которой элементы А, В наделе1 дополнительными признаками, выделяющими первый и второй элементы па1 (А, В). Равенство (А,В) = (С,В) Ц А. де Морган (1806 — 1871) — шотландский математик.
г л. ь нй.ло~огыь иьщычл~ьил|и чь~ лиг. пипл~ил упорядоченных пар по определению означает, что А = С и В = Е~. В час ности, если А ф В, то (А, В) ф (В, А). Пусть теперь Х и г — произвольные множества. Множество Х х У':= ((х, у) ~ (х 6 Х) А (у Е У')), образованное всеми упорядоченными парами (х, у), первый член которых есз элемент из Х, а второй член — элемент из У', называется прямым или дека товым произведением множеств Х и У (в таком порядке.'), Из определения прямого произведения и сделанных выше замечаний г упорядоченной паре явствует, что, вообще говоря, Х х У' ф У х Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
