В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Чтобы получить из него соотношение (4), остается заметить, что если х'(Х) ~ О на ]а„В[, то по той же теореме Ролля х(а) ф. х(,8). ~ Замечания к теореме Коши. 1' Если пару функций х(Х), у(Х) рассматривать как закон движения частицы, то (х'(Х), у'(Х)) есть вектор ее скорости в момент Х, а (х(,8) — х(а), у(,8) — у(а)) есть вектор ее смещения за промежуток времени [а, 8], и теорема утверждает, что в некоторый момент т Е [а„8] эти векторы коллинеарны. Однако этот факт, относящийся к движению в плоскости, является таким же приятным исключением, каким является теорема о средней скорости в случае движения по прямой.
В самом деле, представьте себе частицу, равномерно поднимающуюся по винтовой линии. Ее скорость составляет постоянный ненулевой угол с вертикалью, в то время как вектор смещения может быть и вертикальным (один виток). 2' Формулу Лагранжа можно получить из формулы Коши, если в последней положить х = х(Х) = Х, у(Х) = у(х) = ~(х), а = а,,В = Ь. 3. <Формула Тейлора. Из той части дифференциального исчисления, которая уже изложена к настоящему моменту, могло возникнуть верное представление о том, что чем больше производных (включая производную нулевого порядка) совпадает у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют друг друга в окрестности этой точки.
Мы в основном интересовались и сейчас будем интересоваться приближением функции в окрестности некоторой точки с помощью многочлена Р„(х) = Р„(хо,х) = = со + с1 (х — хо) +... + с„(х — хо)". Нам известно (см. пример 25 из ~ 2, п. 6), что алгебраический полипом можно представить в виде Р (х) = Р (*о) + 11 ( хо) + " + п1 (х * ) "( Рп (хо) р(й) т. е. с~ = ", (й = 0,1, ..., и).
В этом легко убедиться непосредственно. Таким образом, если нам будет дана функция ~(х), имеющая в точке хо все производные до порядка и включительно, то мы можем немедленно выписать полипом Рп(хо;х) = Рп(х) = 1(хо) +, (х — хо) +. +, (х — хо)"> (5) У (хо) У~ ~(хо) производные которого до порядка и включительно в точке хо совпадают с производными соответствующего порядка функции ~(х) в точке хо. 216 ГЛ.
~. ДИФ4>ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Определение 5. Алгебраический полином, заданный соотношением (5), называется полиномом Тейлора1) порядка и функции 1(х) в тпочке хо. Нас будет интересовать величина (6) т — Р( ')= (* х) уклонения полинома Р„(х) от функции 1(х), называемая часто остпатиком, точнее, и-м остпатпком или и-м остпатпочным членом формулы Тейлора: (7) Само по себе равенство (7), конечно, не представляет интереса, если о функции г„(хо, х) не известно ничего, кроме ее определения (6). Сейчас мы воспользуемся довольно искусственным приемом для получения информации об остаточном члене.
Более естественный путь к этому даст интегральное исчисление. ТеоРема 2. Если на отпРезке с кониами хо, х фУнкиил 1" непРеРывна вместпе с первыми и своими производными, а во внутренних тпочках зтпого отпрезка она имеет производную порядка п + 1, тпо при любой функции у, непрерывной на этпом отпрезке и имеющей отпличную отп нуля производную в его внутренних точках, найдетпся тпочка ~, лежатцая между хо и х, тпакац чтпо (8) ч На отрезке 1 с концами хо, х рассмотрим вспомогательную функцию Р(~) = ~(х) — Р„(ь; х) (9) от аргумента Ф, Запишем определение Р($) подробнее: ю=п ) — и~)+ —,( — )+ "+ „, ( — )" .
У'(~) У(") И) (10) К'(~) = — У'(а) — — + — (х — а) — — (х — й) + у'(~) у" И) ун(~) 1! 1! 1! ~о~ (р) у(я+1) (~) у(а+1) (~) + — (*-~)'-."+ (*-~)" =- ( — )" 2! '" и! и.' 1) Б. Тейлор (1685 — 1731) — английский математик. Из определения функции Г($) и условий теоремы видно, что г' непрерывна на отрезке 1 и дифференцируема в его внутренних точках, причем 1 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 217 Применяя к паре функций Р(Ф), !р($) на отрезке 1 теорему Коши (см.
соотношение (4)), находим точку ~ между хо и х, в которой ~1*)~~~*о) ~ (о у(х) — р(хо) ФК) Подставляя сюда выражение для Г'(Я) и замечая из сопоставления формул (6), (9) и (10), что Г(х) — Г(хо) = 0 —.г(хо) = — г„(хо, х), получаем формулу (8). ~ Полагая в (8) у(Ф) = х — Ф, получаем Следствие 1 (формула Коши остаточного члена). Особенно изящная формула получается, если положить в соотношении (8) ( $ ) ( х $ ) н + 1 Следствие 2 (формула Лагранжа остаточного члена).
е* = 1+ — х + — х +... + — х" + г„(0; х), 2 1 н 1! 2! а! (13) и на основании равенства (12) можно считать, что г„(0;х) = е~ х"+', (О+1)! где ф ( !х!. Таким образом, 1 !х!и+1 !г„(0;х)! = е~ ° !х!"+' ( ' ' е!*!. (п+ 1)! (и+ 1)'. !х!в+1 Но при любом фиксированном х Е Ж, если и -+ оо, величина, как нам (я+ 1)! '' известно (см. пример 12 из гл. 1П, ~ 1, и.
ЗЪ), стремится к нулю. Значит, из 1) К. Маклорен (1698 — 1746) — английский математик. Отметим, что формулу (7) Тейлора при хо = 0 часто называют формулой Маклорена') . Рассмотрим примеры. Пример 3. Для функции Дх) = е* при хо — — 0 формула Тейлора имеет вид 218 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ оценки (14) и определения суммы ряда вытекает, что для х (= й е* = 1+ — х + — х +... + — х" + ..
г 1 ур 1! 2! и! (15) Пример 4. Аналогичнополучаем разложение функции а* для любого а, 0<а, а~61: 1па 1п а г 1п" а а*=1+ — х+ — х +...+ — хи+.. 1! 2! Ы Пример 5. Пусть ~(х) = 31п х. Нам известно (см. пример 18 из Я 2, и. 6), пто 11"1(х) = ип(х + -и), и и Р(, плохому па формулы (10) лаграпма прп хо — — 0 и любом х Е К находим у (О~х) = а1п(1+ — (и'~ 1))х (и+ 1)) (16) 3 1 3 ( 1) г+~ 3 + 3 + ° ) гур+1 31 5! * (2и + 1)! (17) Пример 6. Аналогично, для функции Дх) = совх получаем у (О~х) = ооа(1+ — (и+ 1))х (и+ 1)! (18) .оех=1--х +-х —...+ х "+..
г 1 4 (1) 21 4! ' ' (2и)1 Пример 7. Поскольку еЬ'х = сЬх, сЬ'х = вЬх, для функции Дх) = яЬх при х() — — 0 из формулы (12) получаем (~) = вЬ~, и тно, и ( (() = сЬ6 если и нечетно. В любом случае (О Ц Ь ),) Ьхо, ибо ц < ~х~. Значит, для любого фиксированного значения х (= й выполняется т„(0;х) -+ 0 при и -+ оо, и мы получаем разложение 3 1 5 1 вЬх=х+ — х + — х + ° ° ° + 3! 5! (2и + 1)! (20) справедливое для любого х (= Й. откуда следует, что для любого фиксированного значения х (= Ж величина т„(0;х) стремится к нулю при и -~ оо. Таким образом, при любом х е Ж справедливо разложение $ 3.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 219 Пример 8. Аналогично получаем разложение сЬх=1+ — х + — х +...+ — х +..., 2 1 4 1 га 2~ 4! (2п).' (21) справедливое для любого значения х Е Ж. (-1)" 1(п — 1)! Пример 9. Для функции Дх) = 1п(1+х) имеем ~ф")(х) = поэтому формула Тейлора (7) при х0 — — 0 для этой функции имеет вид 1 (1+ ) 2+ 3 + и+, (О. ) г 1 3 (1) 2 3 (22) На сей раз представим т„(0; х) по формуле Коши (11): т„(0;х) = —, „(х — ~)"х, 1 ( — 1)"яЛ т„(0;х) = (-1)"х (23) где точка ~ лежит между 0 и ~.
Если !х! ( 1, то из условия, что ~ лежит между 0 и х, следует, что ! -~! !х! — !~! ( !х! — !6 1 — !х! < 1 — !х! 1~~! !~+~! < — Ы! — !6 — !О! Таким образом, при !х! < 1 !т„(0; х)! < !х!"+', (25) и, следовательно, при !х! ( 1 справедливо разложение 1п(1+ х) = х — — х + — х —... + х" + .. 2 1 3 ( 1) тв 2 3 '' а (26) а а(а — 1) 2 (1+ х) = 1+ —,х+ ', ) хг+... + + ''', х" +те(0;х).
(27) Заметим, что вне отрезка !х! < 1 ряд, стоящии справа в (26), всюду расходится, так как его общий член не стремится к нулю, если !х! ) 1. Пример 10. Если ~(х) = (1+х)'*, где а Е й, то ~ф">(х) = а(а — 1) х х ... х (а — а+1)(1+х)" ", поэтому формула Тейлора (7) при хе — — 0 для этой функции имеет вид 220 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Используя формулу Коши (П), находим т„(0 х) — ' (1+4)~ " '(х — 4)"х Ы (28) (1+х) =1+ — х+ х'+-...+ "' х" +... (30) 1. Ы Заметим, что, как следует из признака Даламбера (см.
гл. 1П, ~ 1, п. 4Ь), при ~х~ ) 1 ряд (30) вообще расходится, если только а ф И. Рассмотрим теперь особо случай, когда а = и 6 М. В этом случае функция ~(х) = (1+ х)'* = (1+ х)" является полиномом степени п, и поэтому все ее производные порядка выше чем п равны нулю. Таким образом, формула Тейлора (7) и, например, формула Лагранжа (12) позволяют записать следующее равенство: (1+ ) =1+ — + ( ) +...+ ( ) ~, (31) представляющее собой известную из школы формулу бинома Ньютона для натурального показателя: (1+х)" =1+С„'х+С~х +... +С„"х".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
