В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Знак равенстпва в (7) и (8) возможен тполько в случае пропорииональностпи вектпоров (~~~э "рхи), (у,р * )улаф) рр ръ ° и Проверим неравенство (7). Пусть Х = 2 х' > О, х = ~ у~е > О. р=1 4ж1 Р уе Полагая в (5) а = — ', Ь = — ', получаем Х' У х;ут 1 х,". 1 у,'. < р + Х У Р Ч «В. Юнг (Янг) (1882 — 1946) — английский математик.
~) О. Гельдер (1889 — 1937) — немецкий математик. установлены. При этом показано даже, что оба неравенства строгие, если ху61. а Заметим, что если заменить х на 1+ х, то мы обнаружим, что (3) и (4)— это развитие уже знакомого нам при натуральном показателе о неравенства Бернулли (гл. П, 8 2, с. 64; см. также задачу 2 в конце настоящего параграфа). С помощью элементарных алгебраических преобразований из доказанных неравенств можно получить ряд классических и важных для анализа неравенств. Приведем их вывод. а.
Неравенства КЭнга1). Если а > О и Ь > О, а числа р, д тпаковы, чтпо р у6 О, 1, о ф. О, 1 и — + — = 1, тпо 1 1 Р Я $4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 2З7 Суммируя эти неравенства по 1 от 1 до п, получаем Я Х;У4 4=1 <1, Х'/ 1'/ что эквивалентно (7). Аналогично, из (6) получаем (8). Поскольку знак равенства в (5) и (6) возможен лишь при а = Ь, заключаем, что в (7) и (8) он возможен лишь при пропорциональности х,"- = Луе или ре = Ах1,'. ° с. Неравенства Минковского' ).
Пусшь х; > О, р; > 0 (1 = 1,..., в). Тоеда (~(ш~+р~)~) ( (~>!) + (~ ф) при р > 1 (9) < и 1/в и 1/в и 1/в (х4+ у4)" ) ~~) х4 + ~~~ у~' при р < 1, р у~ О. (10) 4=.1 4=1 4=1 ° я Применим неравенства Гельдера к членам правой части тождества п в и (х-+у-) — ~~~ х (х.+д) +~ у.(х +у) Тогда левая часть будет оценена сверху или снизу в соответствии с неравенствами (7), (8) величиной При и = 3 и р = 2 неравенство Минковского (9), очевидно, является неравенством треугольника в трехмерном евклидовом пространстве. Ц Г. Минковский (1864 — 1909) — немецкий математик, предложивший адекватную математическую модель (пространство с индефинитной метрикой) специальной теории относительности, п ~1/Е После деления полученных неравенств на ~ ~', (х; + р4)в~ приходим к (9) и (10).
Зная условия равенства в неравенствах Гельдера, проверяем, что знак равенства в неравенствах Минковского возможен лишь в случае коллинеарности векторов (х1,..., х„), (у1,..., р„). ~ ГЛ. У, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ П р и м е р 8. Рассмотрим еще простейший пример использования высших производных при отыскании локальных экстремумов. Пусть 1(х) = 81п х. Поскольку 1'(х) = сов х и 1"(х) = — а1п х, то все точки, где 1'(х) = совх = О, являются локальными экстремумами функции в1пх, так как в них ~" (х) = = — з1пх ~ О. При этом 1 "(х) < О, если в1пх > О, и 1" (х) > О, если а1п х < О. Таким образом, точки, где сов х = О, а а1пх > О, являются локальными максимумами, а точки, где совх = О, а а1пх < О, — локальными минимумами функции в1п х (что, конечно, и так известно).
3. условия выпуклости функции Определение 1. Функция 1: ]а, Ь[ -+ Й, определенная на интервале ]а,Ь[( И, называется выпуклой на нем, если для любых точек х1, хг Е]а,Ь[и любых чисел а1 > О, аг > О таких, что а1+ аг —— 1, имеет место неравенство У(а1х1 + аг хг) < а1У(х1) + агДхг). (Х1* ~(х! Х1 Х = (Х1Х1 Огхг Хг Рис. 23 Хг — Х а1 = Х2 Х1 Х вЂ” Х1 а2— хг — х1 Если при х1 ~ хг и а1 .
аг ф О это неравенство является строгим, то функция называется стпрого выпуклой на интервале ]а, Ь[. Геометрически условие (П) выпуклости (а1Х1+а ~, г г функции ~: ]а, Ь[ -+ К означает (рис. 23), о11(х )+(»21"(хг)) что точки любой дуги графика функции ,' 11 лежат под хордой, стягивающей эту дугу. 1 В самом деле, в левой части (11) стоит (х, ~(х) ) ,' значение 1(х) функции в точке х = а1х1 + + агхг 6 [х1,хг], а справа — значение в $ той же точке линейной функции, график которой (прямая) проходит через точки (х1 У(х )) (хг У(хг)) Соотношение (11) означает, что множество Е = ((х,у) 1= Й~ [х е ]а,Ь[, ~(х) < у) точек плоскости, лежащих над графиком функции, является выпуклым, откуда и сам термин «выпуклая» функция.
Определение 2. Если для функции 1: ]а,Ь[ -+ й в (11) имеет место обратное неравенство, то говорят, что функция вог»«у»па на интервале ]а, Ь[ или, чаще, что она выпукла вверх на этом интервале, в отличие от выпуклой функции, которую тогда называют выпуклой в»«»»з на интервале ]а, Ь[. Поскольку все дальнейшие построения проводятся одинаково для функций, выпуклых вниз или вверх, мы ограничимся рассмотрением выпуклых (вниз) функций.
Сначала придадим неравенству (11) другой вид, более приспособленный для наших целей, Из соотношений х = а1х1+ агхг, а1+ аг — — 1 имеем 14. исследОВАние Функций 239 поэтому (11) можно переписать в виде 1(х) < 1(х1) + 1(х2). Х2 — Х1 Х2 — Х1 Учитывая, что х1 < х < х2 и х1 < х2, после домножения на х2 — х1 получаем (х2 — х) ~(х1) + (х1 — х2) 1(х) + (х — х1) 1(х2) > О. Замечая, что х2 — х1 — — (х2 — х) + (х — х1), из последнего неравенства после элементарных преобразований находим, что У(х) У(х1) Пх2) Пх) < Х Х1 хг — х (12) при х1 < х < х2 и любых х1, х2 б ~а, Ь[. Неравенство (12) является иной формой записи определения выпуклости функции 1(х) на интервале )а, Ь».
Геометрически (12) означает (см. рис. 23), что угловой казффициент хорды 1, соединяющей точки (х1, 1(х1)), (х,,~(х)), не больше (а в случае строгой выпуклости — меньше) углового коэффициента хорды 11, соединяющей точки (х, 1(х)), (х2, 1(х2)). Предположим теперь, что функция 1: ]а, Ь[ -~ й дифференцируема на ) а, Ь[.
Тогда, устремляя в (12) х поочередно к х1 и х2, получаем уг( ) < У(х2) Х(х1) < у(( ) Х2 — Х1 что устанавливает монотонность производной функции 1. Учитывая это, для строго выпуклой функции, пользуясь теоремой Лагранжа, находим 1(х) — Дх1) ~, 1(х2) — 1(х) Х вЂ” Х1 Х2 Х где х1 < (1 < х < (2 < х2, и если 1'®) < 1'(~2), то выполнено условие (12) выпуклости (или строгой выпуклости, если ~'(~1) < ~Я2)). Таким образом, мы доказали следующее при х1 < ~1 < х < ~2 < х2, т. е.
строгая выпуклость влечет строгую монотонность производной. Итак, если дифференцируемая функция 1 выпукла на интервале )а, Ь[, то 1' не убывает на )а, Ь[, а в случае строгой выпуклости 1 ее производная ~' возрастает на ~а, Ь[. Оказывается, это не только необходимые, но и достаточные условия выпуклости дифференцируемой функции. В самом деле, для а < х1 < х < х2 < Ь по теореме Лагранжа 240 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Утверждение 5.
Для того чтобы дифференцируемая на интпервале |а, Ь[ функция ~: 1а, Ь[ -+ й была выпуклой (вниз) на ]а, Ь[, необходимо и достпатпочно, чтпобы ее производная ~' не убывала на1а, Ь[. При этом стпрогому воэрастпанию ~' соотпветпстпвуетп стпрогая выпуклостпь ~. Сопоставляя утверждение 5 и утверждение 3, получаем Следствие.
Для тпого чтпобы функция~:1а,Ь[-+ й, имеющая на иктпервале 1а, Ь[ втпорую производную, была выпуклой (вниз) на этпом интпервале, необходимо и достпатпочно, чтобы на 1а, Ь[ было ~о(х) > О. Если же т "(х) > 0 на]а, Ь[, тпо этпого достпатпочно, чтобы гарантпироватпь стпрогую выпуклостпь функции ~: |а, Ь[ -+ й. Теперь мы в состоянии объяснить, например, почему графики простейших элементарных функций рисуют с тем или иным характером выпуклости. Пример 9.
Исследуем выпуклость функции ~(х) = х на множестве х > О. Поскольку ~"(х) = ст(а — 1) х~ 2, то ~"(х) > 0 при а < 0 или при а > 1, т. е. при таких значениях показателя степени ст степенная функция х~ строго выпукла (вниз). При 0 < а < 1 имеем ~"(х) < О, поэтому для таких показателей степени она строго выпукла вверх. Например, параболу Дх) = х2 мы всегда рисуем выпуклой вниз. Оставшиеся случаи а = 0 и а = 1 тривиальны: хо = 1, х' =-,х.
И в том и в другом случае графиком функции является луч (см. рис. 30 на с. 247). Пример 10. Пусть Дх) = а', 0 < и, а ф-1. Поскольку~"(х) = а*1п а > > О, показательная функция а' при любом допустимом основании а строго выпукла (вниз) на К (см. рис. 24 на с. 247). Пример 11. Для функции Дх) = 1од, х имеем т "(х) = —,, поэтому 1 функция строго выпукла (вниз), если 0 < а < 1, и строго выпукла вверх, если 1 < а (см. рис. 25 на с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
