В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Значит, правая, а следовательно, и левая часть последнего равенства при этом стремятся к А. ~ Пример 19. 1ип — = 1пп — = 1. я(пх . совх х-+о х *-+о 1 Этот пример не следует рассматривать как новое, независимое доказательство того, что — -+ 1 при х + О. Дело в том, что, например, при выводе $1пх соотношения я1п'х = соя х мы уже использовали вычисленный здесь предел, В возможности применения правила Лопиталя всегда убеждаемся только после того, как найдем предел отношения производных. При этом не следует забывать о проверке условий 1' или 2'.
Важность этих условий показывает следующий Пример 20. Пусть Дх) = соях, д(х) = 81пх. Тогда ~'(х) = — я1пх, д'(х) = соя х и — -+ +ос при х -+ +О, в то время как —, -+ 0 при х — ~ +О. У(х) У'(х) д(х) д'(х) Пример 21. 1пх . х . 1 1пп — = 11ш * = 1пп — =0 при а > О, х-++оо Ха х-++оо аХа — 1 х-++оо аХо Пример 22. х . ах 1 . а(а — 1) (а — а+1)х~ " 1пп —, = 1пп =... = 1пп „вЂ” О х-++оо а* х-++оо а* 1п а х-++оо ах (]и а)" а-и при а > 1, ибо при п > а и а > 1, очевидно, —, -+ О, если х -~ +ос. Заметим, что вся цепочка последних равенств носила условный характер до тех пор, пока мы не пришли к выражению, предел которого смогли найти. 5.
Построение графика функции. Для наглядного описания функции очень часто используют ее графическое представление. Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции. Для точных расчетов графики используются реже. В связи с этим практически важным оказывается не столько скрупулезное воспроизведение функции в виде графика, сколько построение эскиза графика функции, правильно отражающего основные элементы ее поведения. Некоторые общ11е приемы, встречающиеся при построении эскизов графиков функций, мы и рассмотрим в этом пункте. а. Графики элементарных функций. Напомним прежде всего, как выглядят графики основных элементарных функций, свободное владение которыми необходимо для дальнейшего (рис.
24 — 30). 248 ГЛ. $$'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ь. Примеры построения эскизов графиков функций (без привлечения дифференциального исчисления). Рассмотрим теперь некоторые примеры, в которых эскиз графика функции может быть легко построен, если нам известны графики и свойства простейших элементарных функций. Пример 23. Построим эскиз графика функции У = 1Жх»-зх+22 Учитывая,что 1 1 1од2(х~ — Зх + 2) 1од~ (х — 1) (х — 2) строим последовательно график квадратного трехчлена р1 — — хх — Зх+2, затем у2 —— 1оя2 у1(х) и затем у = — (рис.
31). 1 Ых) «Угадать» такой вид графика можно было бы и иначе: выяснить область определения функции 1оя,» з,+~2 = (1оя2(х~ — Зх+ 2)) 1, найти поведение функции при приближении к граничным точкам области определения и на промежутках, концы которых являются граничными точками области определения, нарисовать «плавную кривую» с учетом найденного поведения функции у концов промежутка. у1 (х) Рис. 32 Рис.
31 14. исследОВАние Ф>ункции 249 Пример 24. Построение эскиза графика функции у = в1пх (рис. ЗЗ). При х -+ — оо график хорошо приближается прямой у = х — —, а при х -+ 2 Р -+ +со — прямой у = х + —. 2 Введем следующее полезное 2 г Определение 4. Прямая у = се+с!х называется асимтипотпоб графика функт4ии Ь' у = ~(х) при х -+ — оо (при х -+ +оо), если Дх) — (со + с1х) = о(1) при х -» -оо (при х -Ф +Оо).
1 Таким образом, в нашем случае при х -+ О у х -+ -оо график имеет асимптоту у = х — —, 2' а при х -Ф +00 — асимптоту у = х + —. у = у (х)+у (х) Если при х + а — О (или при х -+ а + О) ~~(х)~ -~ оо, то ясно, что график функции в этом случае будет по мере приближения х Рис. 33 к а все теснее примыкать к вертикальной прямой х = а. Эту прямую называют верпчикальной асимптпотт»ой графика, в отличие от введенной в определении 4 асимптоты, которая всегда наклонна. Так, график из примера 23 (см.
рис, 31) имеет две вертикальные асимпто- ты и горизонтальную асимптоту (общую для х -+ -оо и х -+ +со). х) видно из рис. 32. Мы построили этот график по некоторым характерным для данной функции точкам — тем точкам, где вш х2 = -1, вшх~ = О или вш х~ = 1. Между двумя соседними точками такого типа функция монотонна. Вид графика в окрестности точки х = О, у = О определяется тем, что вш х2 ° х~ при х -+ О. Кроме того, полезно 1 0 заметить, что данная функция четна. Поскольку мы все время будем говорить у,=х только об эскизном, а не точном построении графика функции, то условимся ради краткости в дальнейшем считать, что требова- У2 ! ние «построить график функции» для нас все- $ гда будет равносильно требованию «постро- 0 ,'1 х ить эскиз графика функции». у2 у! х ' ,= ,( )-1 Пример 25.
Построим график функции = х+ ~В( ' — 11 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Из определения 4, очевидно, вытекает, что У( ) с1 — — 1ип *-+-о со —— 1пп ®х) — с1х). И вообще, если Дх) — (се + с1х +... + с„х") = о(1) при х -+ — оо, то с„= 1ш1 У( ) х-+-оо Х~ ~(х) — с„х" с„1 — — 1пп х-+-оо (с1х + + с хп)) Эти соотношения, выписанные нами для случая х -+ -оо, разумеется, справедливы также в случае х -+ +ос и могут быть использованы для описания асимптотического поведения графика функции ~(х) с помощью графика соответствующего алгебраического полинома се + с1х +...
+ с„х". П р и м е р 26. Пусть (р, у) — полярные координаты на плоскости, и пусть точка движется по плоскости так, что в момент времени 1 (1 > 0) р = р(1) =1 — е 'соя-1, 2 ~р = 1а(Ф) =1 — е 'аш-1, 2 Требуется нарисовать траекторию точки. Нарисуем для этого сначала графики функций р(й) и ср(1) (рис. 34а, 34Ь). 0 1 2 3 а 1 2 3 й Ь Рис. 34 1 х Теперь, глядя одновременно на оба построенных графика, можем нарисовать общий вид траектории точки (рис.
34с). $4. исследОВАние Функций 251 с. Использование дифференциального исчисления при построении графика функции. Как мы видели, графики многих функций можно в общих чертах нарисовать, не выходя за пределы самых простых соображений. Однако если мы желаем уточнить эскиз, то в случае, когда производная исследуемой функции не слишком сложная, можно привлечь аппарат дифференциального исчисления. Продемонстрируем это на примерах.
П р и м е р 27. Построить график функции у = Дх) в случае у = [х+2[е '~*. Функция ~(х) определена при х Е К ~ О. Поскольку е '~* -+ 1 при х -+ оо, то — (х+2) при х -+ — оо, ~х + 2[ е '~* (х+2) при х-++со. Далее, при х + — О, очевидно, имеем ~х + 2~ е '~* -+ +оэ, а при х -+ +О ~х + 2~ е 1~* -+ +О. Наконец, видно, что ~(х) > 0 и ~( — 2) = О. На основании этих наблюдений уже можно сделать первый набросок графика (рис. 35а).
— 2-1 021 Ь -2-1 О х а Рис. 35 х~+х+2 х2 х~+х+2 х 6 если х с — 2, если — 2(х и хфО, и ~'(х) у~ О, то можно составить следующую таблицу: Выясним теперь основательно, действительно ли данная функция монотонна на промежутках 1 — оо, — 2), [ — 2,0[, 10, +оо[, действительно ли она имеет указанные асимптоты и правильно ли изображен характер выпуклости графика функции. Поскольку 252 ГЛ.Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ На участках постоянства знака производной функция, как мы знаем, имеет соответствующий характер монотонности. В нижней строке таблицы символ +оо ~ 0 означает монотонное убывание от +ос до О, а символ О,Р +сов монотонное возрастание значений функции от 0 до +со. Заметим, что г(х) — ~ -4е 1~~ при х — > — 2 — 0 и /'(х) -+ 4е '~~ при х -+ -+ — 2+ О, поэтому точка (-2, О) должна быть угловой точкой графика (излом типа излома у графика функции ~х~), а не обычной точкой, как это у нас изображено на рис.
35а. Далее, ~'(х) — ~ 0 при х -+ + О, поэтому график должен выходить из начала координат, касаясь оси абсцисс (вспомните геометрический смысл ~'(х)!). Уточним теперь асимптотику функции при х -+ — оо и х -+ +оо. Поскольку е 1~* =1 — х '+о(х ') при х — ~ оо, то — х — 1+о(1) при х — + -оо, ~х+2~е '~* х + 1 + о(1) при х -+ +оо, значит, на самом деле наклонные асимптоты графика суть у = -х — 1 при х — ~ — оо и у = х + 1 при х -+ +со. По этим данным уже можно построить достаточно надежный эскиз графика, но мы пойдем дальше и, вычислив 2 — Зх 1с, — е '*, если х( — 2, х4 2 — Зх е 1~*, если — 2сх и хфО, х4 найдем участки выпуклости графика. Поскольку Г'(х) = 0 лишь при х = 2/3, то имеем следующую таблицу: Поскольку при х = 2/3 наша функция дифференцируема, а при переходе через эту точку ~"(х) меняет знак, то точка (2/3, /(2/3)) является точкой перегиба графика, Между прочим, если бы производная ~'(х) обращалась в нуль, то из таблицы знаков ~'(х) можно было бы судить о наличии или отсутствии экстремума в соответствующей точке.
В нашем случае ~'(х) нигде не обращается в нуль, но в точке х = -2 функция имеет локальный минимум: она непрерывна в этой точке и при переходе через нее ~'(х) меняет знак с — на +. Впрочем, то, что при х = — 2 наша функция имеет минимум, видно уже из приведенного в таблице описания изменения значений функции /(х) на соответствующих промежутках, если, конечно, учесть еще, что /( — 2) = О. $4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 253 Теперь можно нарисовать более точный эскиз графика данной функции (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
