В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Таким образом, для любой точки 2 в круге ф < г < В, а ввиду произвольности г, и для любой точки круга ~2~ < В проверено, что ~'(2) = у(2). ~ Эта теорема позволяет точно указать тот класс функций, для которых нх ряды Тейлора сходятся к ним. Говорят, что функция аналитична в точке 20 Е С, если в некоторой окрестности этой точки ее можно представить в следующем (еаналитическоме) виде: У(~) — ~~ Сп (2 20) т. е. как сумму степенного ряда по степеням 2 — 20. В дальнейшем для упрощения записи будем считать, что 20 — — О, т. е. что ~(2) = ~, сп2п, У(2) = ,'1 ис„яп ' и РЯДЫ схоДЯтсЯ пРи ~2~ < В, п=О п=1 Поскольку внутри круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно, можно заметить, и это существенно, что при ф < г . В справедлива оценка ~12с„2п 1~ = н~сп~~г~" 1 < п~сп~г" 1, а РЯД ~ и~с„~г" ' схоДитсЯ. Значит, ДлЯ пж1 любого е > О найдется номер Ф такой, что при ~2~ < т 275 $5.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел. Если мы докажем, что любой полипом Р(х) = со + с1х+... + с„х", т1 > 1, с комплексными коэффициентами имеет корень в С, то уже не возникнет надобности в расширении поля С, вызванной неразрешимостью в С некоторого алгебраического уравнения. В этом смысле утверждение о наличии корня у любого многочлена Р(х) устанавливает алгебраическую замкнутость поля С. Чтобы получить вполне наглядное представление о том, почему в С любой полипом имеет корень, в то время как в Ж его могло не быть, воспользуемся геометрической интерпретацией комплексного числа и функции комплексного переменного. Заметим, что Р(,) =.-~ — + +...+ — -+..
„т со с1 Гв — 1 ~Ха Хе-1 и, следовательно, Р(х) = с„х" + о(х") при ~х~ -+ оо. Поскольку нас интересует корень уравнения Р(х) = О, то, поделив обе части уравнения на с„, можно считать, что коэффициент с„многочлена Р(х) равен 1 и потому Р(х) = х" + о(х") при ~х! -+ оо. (33) 1О Зорич В. Л. Нетрудно проверить (см. задачу 7), что сумма степенного ряда аналитична в любой внутренней точке круга сходимости этого ряда, С учетом определения аналитичности функции, из доказанной теоремы получаем Следствие. а) Если функция аналитична в тпочке, то она бесконечно дифференцируема в этпой тпочке и ее ряд Тейлора сходится к ней в охрестпмости этой точки. Ь) Ряд Тейлора функции, определенной в окрестпности точки и бесконечно дифференцируемой в точке, сходится к функции в некоторой окрестностпи точки тпогда и только тпогда, когда функция аналитична в этой тпочке.
В теории функции комплексного переменного доказывается замечательный факт, не имеющий аналогов для вещественных функций. А именно, оказывается, что если функция Дх) дифференцируема в окрестности точки хо е С, то она аналитична в этой точке. Это и в самом деле удивительно, поскольку в силу доказанной выше теоремы отсюда следует, что если функция ~(х) имеет одну производную ~'(х) в окрестности точки, то в этой окрестности она имеет также производные всех порядков.
На первый взгляд это так же неожиданно, как то, что, присоединив к Й корень т одного конкретного уравнения хх = -1, мы получаем поле С, в котором любой алгебраический многочлен Р(х) имеет корень. Факт разрешимости в С алгебраического уравнения Р(х) = О мы собираемся использовать и поэтому докажем его в качестве хорошей иллюстрации к введенным в этом параграфе начальным представлениям о комплексных числах и функциях комплексного переменного. 276 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Если вспомнить (см.
пример 15), что при отображении я ~-+ я" окружность радиуса г переходит в окружность радиуса г" с центром в точке О, то при достаточно больших значениях г, в силу (33), с малой относительной погрешностью образ окружности !е! = г будет совпадать с окружностью !ы! = г" плоскости ж (рис. 44). Во всяком случае, важно, что образом будет кривая, охватывающзя точку ю = О. Если круг !л! < т рассматривать как пленку, натянутую на окружность ф = г, то при непрерывном отображении, осуществляемом полиномом ы = = Р(х), эта пленка перейдет в пленку, натянутую на образ окружности.
Но поскольку последний охватывает точку ж = О, то некоторая точка этой пленки обязана совпадать с ж = О и, значит, в круге !я! < т найдется и точка го, которая при отображении ш = Р(х) перешла именно в и = О, т. е. Р(яо) = О. Это наглядное рассуждение приРис. 44 водит к ряду очень важных и полез- ных понятий топологии (индекс пути относительно точки, степень отображения) и с помощью этих понятий может быть доведено до полного доказательства, справедливого, как можно понять, не только для полиномов. Однако эти рассмотрения, к сожалению, отвлекли бы нас от основного предмета, которым мы сейчас занимаемся; поэтому мы проведем другое доказательство, лежащее в русле тех идей, с которыми мы уже достаточно освоились. Теорема 2.
Каждый полином Р(х) — со + с1 л +... + с„г степени п > 1 с комплексньиьи коэффиииентами имеет в С корень. < Без ограничения общности утверждения теоремы, очевидно, можно считать, что с„= 1. Пусть и = 1п1' !Р(я) !. Поскольку Р(х) = л" (1+ ~ ' +... + ~ 1, то лес ~и~~ и, очевидно, !Р(е) ! > шах(1, 2р) при ф;> В, если В достаточно велико. Следовательно, точки последовательности (ль), в которых О < !Р(ль)! — р < — „, 1 лежат в круге ф < В.
Проверим, что в С (и даже в этом круге) есть точка зо, в которой ! Р(ло) ! = = р,. Для этого заметим, что если ль = хь + зуь, то шах(!хь !, !рьян < !ль ! < В $5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ и, таким образом, последовательности действительных чисел (х»), (уь) оказываются ограниченными. Извлекая сначала сходящуюся подпоследовательность (ха,) из (ха), а затем сходящуюся подпоследовательность (уа, ) из (уа,), получим подпоследовательность ла, — — х», +»уь, последовательности (л»), которая имеет предел 1пп ла, = 1пп хь, + г 1пп у», = хо +»уо —— ло, тв-»оо ~в-+ос «о-+со и поскольку !аа! -+ !ло! при Й -+ оо, то !ао! < В. Чтобы избежать громоздких обозначений и не переходить к подпоследовательностям, будем считать, что уже сама последовательность (ла) сходится.
Из непрерывности Р(х) в го Е С следует, что 1пп Р(ла) = Р(ло). Но тогда1) !Р(ло)! = 1пп !Р(ла)! = р. я-»оо я-+ос Теперь предположим, что 1» > О, и приведем это предположение к про- Р(ъ+ ло) тиворечию. Если Р(хо) ф О, то рассмотрим полипом Я(л) = — . По Р(ло) построению, Я(0) = 1 и ф(л)! = > 1. !Р(л+ о)! !Р(ло) ! Поскольку Я(0) = 1, полином Я(л) имеет вид д(,) 1 1 д,а+ а+1+ + п где !да! ~ 0 и 1 < й < п.
Если дь = ре'~, то при у = будем иметь (е'~) = ре'~е'~™ = ре' = — р = — !да!. Таким образом при л = ге'~' получим %( е")! < !1+да "!+(!да+ '+'!+" +!до "!) = если г достаточно близко к нулю. Но !Я(г)! > 1 при л Е С. Полученное противоречие показывает, что Р(ло) = О. Ф» Замечание 1. Первое доказательство теоремы о разрешимости в С любого алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами (которую по традиции часто называют основной теоремой алгебры) было'дано Гауссом, который вообще вдохнул вполне реальную жизнь в так называемые «мнимые» числа, найдя им разнообразные и глубокие приложения.
Замечание 2, Многочлен с вещественными коэффициентами Р(х) = = ао+... + а„л", как мы знаем, не всегда имеет вещественные корни. Однако по отношению к произвольному многочлену с комплексными коэффициентами . Ц Обратите внимание — мы, с одной стороны, показали, что из любой ограниченной по модулю последовательности комплексных чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, а с другой стороны, продемонстрировали еще одно из возможных доказательств теоремы о минимуме непрерывной функции на отрезке, как в данном случае это было сделано в круге (л! < Н. 278 ГЛ.
Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ он обладает той особенностью, что если Р(хо) = О, то и Р(хо) = О, Действи- тельно, из определения сопряженного числа и правил сложения комплексных чисел следует, что(х» + хг) = х» + хг. Из тригонометрической формы записи комплексного числа и правил умножения комплексньп«чисел видно, что (х» хх) =(г»е'т'«тле'т'~) = г»где'(т' +«'ы~ = = г»гге '~"'+~"> =т»е 'т" г2е '"' = х» х~ Таким образом, (хо) ао + ° ° + апхо = оо + + аехО ао + *. + а1ъхО Р(хо)1 и если Р(хо) = О, то Р(хо)= Р(хд) = О. Следствие 1.
Любой многочлен Р(х) = со +... + с х" стпепени и > 1 с комплексными коэффициентами допускаетп, и притпом единстпвенное с тпочностпью до порядка сомножитпелей, представление в виде Р(х) = с„( — »)... (х — х„), (34) где х»,..., х„Е С (и, можетп бытпь, не все числа х», ..., х„различны между собой). ~ Из алгоритма деления (««уголкомэ) многочлена Р(х) на многочлен «~Э(х) степени тп < и находим, что Р(х) = д(х) Щх)+т(х), где «т(х) и Г(х) — некоторые многочлены, причем степень г(х) меньше степени Я(х), т. е. меньше тп.
Таким образом, если тп = 1, то г(х) = т — просто постоянная. Пусть х» — корень многочлена Р(х), Тогда Р(х) = д(х)(х — х») + г, и поскольку Р(х») = г, то г = О. Значит, если х» — корень многочлена Р(х), то справедливо представление Р(х) = (х — х») д(х). Степень многочлена «1(х) равна п — 1, и с ним можно повторить то же самое рассуждение. По индукции получаем, что Р(х) = с(х — х»)... (х — х„). Поскольку должно быть сх" = с„х", тос=с„. ~ (35) Следствие 2.
Любой многочлен Р(х) = ао + ... + а„х" с действительными козффициентами можно разложитпь в произведение линейных и квадратпичных многочленов с дейстпвитпельными коэффициентами. ~ Это вытекает из предыдущего следствия 1 и замечания 2, в силу которого вместе с хь корнем Р(х) является также число хь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
