В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Кроме удовольствия увидеть математический аппарат в конкретной работе, из ряда примеров этого параграфа мы, в частности, извлечем также дополнительную убежденность как в естественности возникновения показательной функции ехрх, так и в пользе ее распространения в комплексную область. 1.
Движение тела переменной массы. Рассмотрим ракету, перемещающуюся прямолинейно в открытом космосе далеко от притягивающих масс (рис. 45). Рис. 45 Пусть ЛХ(1) — масса ракеты (с топливом) в момент 1; У(1) — ее скорость в момент Ф; м — скорость (относительно ракеты) истечения топлива из сопла ракеты при его сгорании.
Мы хотим установить взаимосвязь между этими величинами. 284 ГЛ.Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В силу сделанных предположений, ракету с топливом можно рассматривать как замкнутую систему, импульс (или количество движения) которой поэтому остается постоянным во времени, В момент 1 импульс системы равен М(8) У(1). В момент 8 + Ь импульс ракеты с оставшимся в ней топливом равен М(Ф + Ь) У(1 + Ь), а импульс Ы выброшенной за это время массы $ЬМ$ = = $М(й+ Ь) — М(й)$ = — (М(й+ Ь) — М(Ф)) топлива заключен в пределах (УИ) — )$~М$ < ~~ < (УР+Ь) — )$~М$, т, е. Ы = (У(й) -ы) $ЬМ$+а(Ь) $ЬМ$, причем из непрерывности У® следует, что а(Ь) + 0 при Ь -+ О.
Приравнивая импульсы системы в моменты Ф и 1 + Ь, имеем М(1) У($) = М(1 + Ь) У(1 + Ь) + (Щ) — ы) $ЬМ $ + о(Ь) $ЬМ$, или, после подстановки $ЬМ$ = — (М(8 + Ь) — М(й)) и упрощений, М(~+ Ь)(У(ю+ Ь) — У(ю)) = = — ~ (М(й + Ь) — М(й)) + а(Ь) (М(й + Ь) — М(й)). Деля последнее равенство на Ь и переходя к пределу при Ь -+ О, получаем М(Ф) У'(Ф) = -ыМ'(Ф). Это и есть искомое соотношение между интересующими нас функциями У(8), М(Ф) и их производными. Теперь надо найти связь между самими функциями У(8), М(8), исходя из соотношения между их производными. Вообще говоря, такого рода задачи много труднее задач нахождения соотношений между производными при известных соотношениях между функциями.
Однако в нашем случае вопрос решается вполне элементарно. Действительно, после деления на М(й) равенство (1) можно переписать в виде (2) Но если производные двух функций совпадают на некотором промежутке, то на этом промежутке сами функции отличаются разве что на некоторую постоянную. Итак,из (2) следует,что У(1) = — ы 1п М($) + с, Если известно, например, что У(0) = У0, то это начальное условие вполне определит константу с. Действительно, из (3) находим с = У0 + ю 1п М(0), з 6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 285 а затем находим искомую формулуц (4) Полезно заметить, что если тк — масса корпуса ракеты, тит — масса топлива, а У вЂ” конечная скорость, которую приобретает ракета после полной отработки топлива,, то, подставляя в (4) М(0) — гпк+ тйт и М(й) = гйк находим Последняя формула особенно ясно показывает, что на конечной скорости сказывается не столько отношение шт/тк, стоящее под знаком логарифма, сколько скорость истечения ы, связанная с видом топлива.
Из этой формулы, в частности, следует, что если Р~ = О, то, чтобы придать скорость У ракете, собственная масса которой тик, необходимо иметь следующий начальный запас топлива: тт = тк(е ~ — 1). 2. Барометрическая формула. Так называется формула, указывающая зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. Пусть р(Ь) — давление на высоте Ь. Поскольку р(Ь) есть вес столба воздуха над площадкой в 1 см2, расположенной на высоте Ь, то р(Ь+ Ь) отличается от р(Ь) весом порции газа, попавшей в параллелепипед с основаниями в виде исходной площадки в 1 смз, расположенной на высоте Ь, и такой же площадки на высоте Ь+ Ь.
Пусть р(Ь) — плотность воздуха на высоте Ь. Поскольку р(Ь) непрерывно зависит от Ь, то можно считать, что масса указанной порции воздуха может быть вычислена по формуле р® г(см * 1 см Ь см = р(~) Ь г, где (' — некоторый уровень высоты в промежутке от Ь до Ь + Ь. Значит, вес этой массы-~ есть д. р(~) Ь.
Таким образом, р(Ь+ М) — р(Ь) = — М®~а. Поделив это равенство на Ь и перейдя к пределу при Ь вЂ” ~ 0 с учетом того„ что тогда и ( -+ Ь, получаем (5) Ц Эта формула иногда связывается с именем К. Э. Циолковского (1857 — 1935) — русского ученого, основоположника теории космических полетов. Но, по-видимому, впервые она была получена русским механиком И. В. Мещерским (1859 — 1935) в его труде 1897 г,, посвященном динамике точки переменной массы.
~1 В пределах наличия заметной атмосферы величину д можно считать постоянной, ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Таким образом, скорость изменения давления естественно оказалась пропорциональной плотности воздуха на соответствующей высоте. Чтобы получить уравнение для функции р(Ь), исключим из (5) функцию р(Ь). В силу закона Клапейрона1) давление р, молярный объем У и температура Кельвина~) т газа связаны соотношением — =В, (6) 1 М В В р= —.В.т = —. — -т = р.
— т. Ъ' * ~ М М Полагал Л = — т, таким образом, имеем В (7) р= цт)р. Если теперь принять, что температура описываемых нами слоев воздуха по- стоянна, то из (5) и (7) окончательно находим р (Ь) р(Ь) Это дифференциальное уравнение можно переписать в виде р'(Ь) Ю р(Ь) (1пр)'(Ь) = — ~ Ь откуда 1пр(Ь) = — — Ь+с, Д или р(Ь) = е'.е (дУл)ь Множитель е' определяется из известного начального условия р(0) = ро, в силу которого е' = ро.
Итак, мы нашли следующую зависимость давления от высоты: р= рое (9) Для воздуха при комнатной температуре (порядка 300 К = 27'С) известно значение Л ~ 7,7 10~ (см/с)~. Известно также, что д ~ 10з см/с2. Таким ЦБ. П. Э. Клапейрон (1799 — 1864) — французский физик, занимавшийся термодинамикой. з~ У.
Томсон (лорд Кельвин) (1824 — 1907) — известный английский физик. где  — так называемая универсальная газовая постоянная, Если М вЂ” масса М одного молл воздуха, а У вЂ” его объем, то р = —, поэтому из (6) находим $ 6. пРимеРы пРиложении В 3АдАчАх естес'ГВОзнАния 287 образом, формула (9) приобретает вполне законченный вид после подстановки этих числовых значений д и Л. В частности, из (9) видно, что давление упадет в е (в3) раз навысоте Ь = — = 7,7.10~ см = 7,7км. Оновозрастетвостолько Л же раз, если опуститься в шахту на глубину порядка 7,7 км. 3.
Радиоактивный распад, цепнаа реакция и атомный котел. Известно, что ядра тяжелых элементов подвержены самопроизвольному (спонтанному) распаду. Это так называемая естпестпвенна» радиоиктивностпь. Основной статистический закон радиоактивности (справедливый, следовательно, для не слишком малых количеств и концентраций вещества) состоит в том, что количество распадов за малый промежуток времени Ь, прошедший от момента 8, пропорционально Ь и количеству Ф(1) не распавшихся к моменту Ф атомов вещества, т. е. Ж(й+ Ь) — Ф(й) т -ЛФ(й)Ь, где Л > 0 — числовой коэффициент, характерный для данного химического элемента.
Таким образом, функция Ф($) удовлетворяет уже знакомому дифференциальному уравнению Ф'(8) = -ЛЖ(Ф), (10) из которого следует,что ~7(~) А7 е-л~ где Ф0 — — Ф(0) начальное количество атомов вещества. Время Т, за которое происходит распад половины из начального количества атомов, называют периодом полураспада. Величина Т находится, таким образом из уравнения е = — т.
е. Т = — ~ — ' -Лт 1 1в 2 О,б9 3 2' ' ' Л Л Например, для полония Ро~ш Т ~ 138 суток, для радия На~2~ Т т 1600 лет, для урана 1Рза Т м 7,1 10® лет, а для его изотопа 1РЗ8 Т т 4,5. 10Я лет. Ядерпа» реакция — это взаимодействие ядер или взаимодействие ядра с элементарными частицами, в результате которого появляются ядра нового типа. Это может быть ядерный синтез, когда слияние ядер более легких элементов приводит к образованию ядер более тяжелого элемента (например, два ядра тяжелого водорода дают, с потерей массы и выделением энергии, ядро гелия); это может быть распад ядра и образование ядра (ядер) более легких элементов.
В частности, такой распад происходит примерно в половине случаев столкновения нейтрона с ядром урана 11зз5. При делении ядра урана образуется 2 — 3 новых нейтрона, которые могут участвовать в дальнейшем взаимодействии с ядрами, вызывая их деление и тем самым размножение нейтронов. Ядерная реакция такого типа называется цепной реакииеб. Опишем принципиальную математическую модель цепной реакции в некотором радиоактивном веществе и получим закон изменения количества Ж($) нейтронов в зависимости от времени. ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
