05_slides_2018 (1182270)
Текст из файла
В.Н.Глазков, «Квантовая макрофизика», 05.03.2018Квантовая макрофизика.К лекции 4: поверхность Ферми, эффективная массаЛекция 5. Тепловой и электрический транспорт вдиэлектриках и металлах.Квазиимпульс, число электронов, число электронныхсостояний в 1 з. Бр. (напоминание)ikxψ k =e u k ( x)u k (x )=u k ( x+ T )Число электронныхсостояний в 1 з.
БрN =2состояние электрона в периодическом потенциалеописывается квазиимпульсом, определенным сточностью до вектора обратной решеткиV 1з.Бр.3(2 π) /VЧисло электронов в примитивнойячейке: определяется конкретнымвеществом, произвольнофермисфера длясвободныхэлектронов=2∗ ⃗∗∗a⃗⋅[b×⃗c])(3(2 π) /V?????vs.1-я з. Бр=2VV прим.яч.=2 N прим.ячЩелочные металлы●●один валентный электрон — маленький радиус ферми-сферымалый ионный радиус — малый период кристалла — большой периодобратной решёткиФерми-поверхности лития (слева) и калия (справа). Тонкими линиями показаны границы первой зоны Бриллюэна.Медь, сереброСлева: Модель ферми-поверхности меди из музеяКавендишской лаборатории.
Стеклянный многогранникпоказывает границы первой зоны Бриллюэна. Справа:соединение ферми-поверхностей в периодической зоннойсхеме. Модель из музея Кавендишской лаборатории.Только электроны наферми-поверхности «завсё в ответе».«Экзотика»полуметалл висмут —сильно анизотропнаяповерхность, несколькоэлектронных «карманов»алюминий: 3 электрона,первая зона Бриллюэназаполнена полностью, вовторой незаполненнаяобласть выглядит вот такЭлектронные и дырочные поверхности Ферми.2ℏ2ε( ⃗k )=ε0±k∗2m2C= π D( E F )T3важна толькоплотность состояний!ответ будет как еслибы были только этиэлектроны с ихэффективной массойУстройство «глубоких»заполненных состояний не важно!Ту же плотность состояний на EFпроще вычислить для «дырок» снекоторой эффективной массой.dN dN1==d E d k (d E /d k)2∗2×4 π k V m==...32ℏ k(2 π)D( E )=Эффективная масса при произвольном положенииповерхности Ферми(динамическая эффективная масса).∗m ⃗v гр =⃗pEFДля параболического спектра:dE⃗v гр=d ⃗p21 ∂ E=∗m∂ p2|E=EF2Из книги Киттеля|1∂ E=∗mα β ∂ p α ∂ p βE = EFСвязь эффективной массы сплотностью состояний.2C= π D( E F )T3вычисление дляизотропного 3D случая∗m ⃗v гр=⃗pkFEFdND( E F )=dE[=|dN 1d k ℏ v грE= E F][ ]dN 1=dk dEdk=E= E FdNdk|E =E F=E= E F∗mℏ pFV 4 π k 2F V p2FdN=2= 2 23dk(2 π)π ℏИз книги КиттеляПлотность состояний для сложногоспектра выглядит также, как для фермигаза, но со своей эффективной массой.Ещё одна причина отличия массыносителя в металле от массы электрона.V∗D( E F )= 2 3 m p Fπ ℏЛекция 5.
Тепловой и электрический транспорт втвёрдых телах.Теплопроводность газа (напоминание).T1T2>dQS=−κ Δ Tdtl⃗Tq =−κ ∇⃗⃗T∇τвремя свободного пробегаL=v τq⃗длинапробегахарактерная скоростьΔ T =L ∇ T =v x τ ∇ TΔ E=C V Δ Tпередача энергии послепробега(помодулю)qx=j=1 dN 1= nvxS dt 2потоки частиц «слеванаправо» и «справаналево»κ1 dQ 1 dN∂T 1∂T= 〈Δ E 〉=n C V τ 〈 v 2x 〉= n C V τ 〈 v2 〉S dt S dt∂x 3∂xТеплопроводность газа (напоминание).T1T2>⃗T∇τ время свободного пробегакоэффициент теплопроводности газа:L=v τq⃗длина1пробегаκ=Δ T =L ∇ T =v x τ ∇ TΔ E=C V Δ Tпередача энергии послепробега(помодулю)qx=dQS=−κ Δ Tdtl⃗Tq =−κ ∇⃗характернаяскорость112n C V τ 〈 v 〉= n v C V L= v C333j=1 dN 1= nvxS dt 2(V )Lпотоки частиц «слеванаправо» и «справаналево»κ1 dQ 1 dN∂T 1∂T= 〈Δ E 〉=n C V τ 〈 v 2x 〉= n C V τ 〈 v2 〉S dt S dt∂x 3∂xТеплопроводность фононов.
Газовое приближение.В гармоническом приближении газ фононов — идеальный!1κ= s C (V ) L3длинапробегаскорость звукатеплоёмкостьединицыобъёмазависят оттемпературыПеренос тепла: генерацияфононов в более горячей частиобразца, эти фононы переносяттепло в более холодную часть.Характерная скорость движения —скорость звука (длянизкоэнергетичных фононов —точно).Процесс рождения и поглощенияфононов и процесс установленияравновесия в фононном газетребует какого-то ангармонизма.Теплопроводность фононов при T<<ΘDКоличество фононов («плотность фононного газа») мало. Возбуждены тольконизкоэнергетические фононыℏ ω∼T ≪ΘTk ∼ ≪ k БрℏsC(V )∝TРассеяние на дефектах и границах образца:на границах●L=constна точечных дефектах — рэлеевское рассеяние●3σ ∝ω 4L∝11∝ 4nσ Tна протяжённых дефектах — дифракция на нити●σ ∝ω(111L эфф=++Lгр. L точ. Lдисл.)−1L∝−1=( a+ bT + cT )41TТеплопроводность фононов при T<<ΘDКоличество фононов («плотностьНизкотемпературнаяфононного газа») мало.фононнаяВозбуждены тольконизкоэнергетические фононы теплопроводностьℏ ω∼T ≪ΘTk ∼ ≪ k БрℏsC(V )∝T3Рассеяниена дефектахи границах образца:κ ∝TнаграницахL=const+ (!!!)линейно растётс ростомограничивающего размера образца●на точечных дефектах — рэлеевское рассеяние●3σ ∝ω 4L∝11∝ 4nσ Tна протяжённых дефектах — дифракция на нити●σ ∝ω(111L эфф=++Lгр.
L точ. Lдисл.)−1L∝−1=( a+ bT + cT )41TИзотопический беспорядок.В реальных кристаллахможет быть рассеяние наизотопическойнеоднородности образца.Si~x10Природный кремний:28Si 92.2%29Si 4.7%30Si 3.1%Обогащенный:28Si 98.4%Теплопроводность природного (открытыесимволы и крестики) и обогащённогоизотопом кремний-28 (закрашенныесимволы) кристаллов кремния.T3T. Ruf , R.W. Henn, M. Asen-Palmer, E. Gmelin,M.Cardona, H.-J. Pohl, G.G.
Devyatych, P.G. Sennikov,Thermal conductivity of isotopically enriched silicon, SolidState Communications, 115, 243(2000)Теплопроводность фононов при T>>ΘD. Рольпроцессов переброса.Большие температуры ===> большие концентрации квазичастиц===> длина пробега определяется взаимодействием квазичастиц.При взаимодействии квазичастиц (рассеяние, распад, слияние)выполняются законы сохранения энергии и квазиимпульса.Как взаимодействие квазичастиц может изменить процесспереноса энергии, если по законам сохранения «тот же» избытокэнергии продолжает переноситься в «том же» направлении?Теплопроводность фононов при T>>ΘD. Рольпроцессов переброса.без решёткиk1Большие температуры===> большие концентрации квазичастицk===> длина пробега определяется взаимодействием квазичастиц.3k2При взаимодействии квазичастиц(рассеяние,слияние)Процессыпереброса распад,могут изменятьвыполняются законы сохраненияэнергиии квазиимпульса.направлениераспространенияфонона!на решётке— всё в 1 з.Бр.!Как взаимодействиеВажнытолькоизменитьпри высокихпроцесстемпературах,квазичастицможетпри низких волновой вектор слишком мал.переноса энергии, если по законамсохранения «тот же» избытокэнергии продолжает переноситься в «том же» направлении?k1k3-Gk3k2GСвязь взаимодействия фононов с ангармонизмомпотенциала.U (x )=ax 2+ bx3 + cx 4+ ...b< 0нулевое приближение:гармонический потенциалN1 2 C2̂H =∑p̂ j + (x j + 1−x j )2j =1 2M1++̂H = ℏ ∑ ωk (ak ak + ak ak )2 kпоправка:кубический ангармонизм3V̂ =∑ b (x j+1 −x j )jприменим те же преобразования операторов,которые в гармоническом приближении давалиидеальный газ фононов — получим какие-топоправки к гамильтониану в представлениивторичного квантованияСвязь взаимодействия фононов с ангармонизмомпотенциала.U (x )=ax 2+ bx3 + cx 4+ ...
x = 1b<∑0 X e ikrrk√Nнулевое приближение: 1x j+1потенциал−x j =гармоническийN1̂H =∑j =1 2Mk1X k (e ikr −e ik r )=X k e i k r ( e i k a −1 )∑∑√N k√N k3C22̂V=b(x−x)̂p j + (x j + 1−x j ) ∑j+1jĤ== 1 ℏ ∑ ω k ( a k a +k + a +k a k )j+ 12jj2jkbikri kai k'rik'a= 3 /2 ∑ X k e (e −1) X k ' e (e −1) X k ' ' e i k ' ' r (e i k ' ' a −1)=поправка:N j , k ,k ' , k ' 'кубический ангармонизмbk '+ k ' ')ri kaik'ai k '' a= 3 /2 ∑ ∑ ei (k+XXX(e−1)(e−1)(e−1)kk'k ''3̂применим те же преобразования операторов,V=N ∑k b,k (x' , k ' j+1' −xjj)jj(jjj)которые в гармоническом приближении давалиидеальный газ фононов — получим какие-топоправки к гамильтониану в представленииV̂ =A(k , k ' ) X k X k ' X −(k+ k ' )квантования∝ δ(k + k ' +kвторичного' ')∑k + k ' + k ' ' =0k ,k 'Связь взаимодействия фононов с ангармонизмомпотенциала.141 b<X0X ke) ikrU (x )=axa +=bx + cx + ...( Mx ωk−k −iP=∑2 M ωk√2 ℏ M ωk r √ N k k+a k + a−k )=Xk(ℏнулевое приближение: 111ikr X +ikiPrik rik a=Mω()kk−kx ja+1k−x=X(e−e)=Xe(e−1 )∑∑гармоническийпотенциалjkk2ℏMω√ √N k k√N kN31 2 C2̂1++̂V=b(x−x)=H =∑̂p j + (x j + 1−x j ) ∑j +1j Ĥ=ℏωaa+a++∑+ k ak )k( k kĵ2M2V =∑ B(k , k ' ) ( a k + a−k )( a k ' +2a−kk' ) ( a−(k + k ')+ a k+ k ' )j =12+k3j+1jj√bi k' jik' ai k'' ji k '' ak i,kk 'j i kaXe(e−1)Xe(e−1)Xe(e−1)=∑ kk'k''3 /2поправка:N Послеj,k ,k ' ,k ' 'раскрытия скобок:кубический ангармонизмbi (k+ k ' + k ' ' ) ji kaik' aik' ' a= 3 /2тройкаeXXX(e−1)(e−1)(e−1)нарушаетсохранение∑∑k илиk ' уничтоженияk''3оператороврождения̂применим те же преобразованияоператоров,V N=∑k ,bk '(x, k ' 'j+1 −xjэнергииj)=()которые в гармоническом приближении давалидва оператора рождения-одинидеальныйуничтожениягаз фононов — получим какие-топоправки к гамильтониану в представленииодин ∝операторV̂ =A(k , k ' )процессыX k X k ' слиянияX −(k+ k и' )квантованияδ(k + kрождения' +kвторичного' ' ) -два уничтоженияk ,k 'распада фононовj∑k + k ' + k ' ' =0+Связь взаимодействияс ангармонизмомa ⃗k 1+⃗kфононовaa⃗⃗k1 k22потенциала.k1141 b<X0X ke) ikrU (x )=axa +=bx + cx +k ...( Mx ωk−k −iP=∑2 M ωk√2 ℏ M ωk r √ N k k+a k + a−k )=Xk(k11ℏнулевое приближение:1ikr X +ikiPrik rik a=Mω()kk−kx ja+1k−x=X(e−e)=Xe(e−1 )∑∑гармоническийпотенциалjkk2ℏMω√ √ N слиянияkk√N kN фононов процессыДляираспада31 2 C2̂1++̂V=b(x−x)=∑возникаюткубическогоH=̂pкакj +следствие(x j + 1−x)j+1ĵ∑H=ℏωaa+aj++∑+ k ak )k( k kĵ2M2ангармонизмапотенциала.V =∑ B(k , k ' ) ( a k + a−k )( a k ' +2a−kk' ) ( a−(k + k ')+ a k+ k ' )j =12+k332j+1jj√bi k' jik' ai k'' ji k '' ak i,kk 'j i ka=Xe(e−1)Xe(e−1)Xe(e−1)=∑не сохраняютkk'k''3 /2Эти процессычисло частиц,нопоправка:нарушает сохранениеN Послеj,k ,k ' ,k ' 'раскрытияскобок:дляквазичастицэтонепроблема.кубический ангармонизмэнергии,i kкоэффициентbi (k+ k ' + k ' ' ) ji kaik' a''ak= 3 /2тройкаeXXX(e−1)(e−1)(e−1)строгомзанулитсяпри∑∑k илиk ' уничтоженияk''3оператороврождения̂применим те же преобразования операторов,V N=∑k ,bk '(x, k ' 'j+1 −xjрешенииj)()1которыеk в гармоническом приближении давалидва оператора рождения-одинидеальныйуничтожениягаз фононов — получим какие-топоправки к гамильтониану в представленииkодин ∝операторV̂ =A(k , k ' )процессыX k X k ' слиянияX −(k+ k и' )квантованияδ(k + kрождения' +kвторичного' ' ) -два уничтоженияk ,k 'распада фононовjk3-G32k + k ' + k ' ' =0G∑Фононная теплопроводность при T>>ΘDk ∼k D ∼k БрВ основном возбуждены фононы с волновыми векторамиблизкими к бриллюэновскому.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
