04_slides_2018 (1182269)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

В.Н.Глазков, «Квантовая макрофизика», 26.02.2018Квантовая макрофизика.Лекция 4. Электроны как квазичастицы.Электроны в кристалле.Представление об элементарных возбуждениях фермисистемы.1nT/m=0.01T=0000.51.0E/m1.5Представление об элементарных возбуждениях фермисистемы.1T/m=0.01T=0появилисьантичастицыn«вакуум»появилисьчастицы000.51.0E/m1.5Представление об элементарных возбуждениях фермисистемы.12FT/m=0.01заполнения для частиц:числапоявилисьантичастицыT=0n=2ppεа =−=V F ( p F − p)2m 2mn2p 2Fpεч =−=V F ( p− p F )2m 2m0.51.0E/m+11ε /Te +1ч1e( E−μ)/T + 1=1e(μ− E )/ T + 1=фермиевская статистика снулевым химпотенциаломпоявилисьчастицы0(E −μ)/ Te=для античастиц:n=1−011.51eε / T + 1аЗачем говорить на языке элементарных возбуждений?1. От системы большого числа «настоящих» частиц переходим (при низкихтемпературах) к разреженному газу квазичастиц.2.

Такое описание применимо и для систем с взаимодействием («ваккум»конечно будет устроен иначе, но общая идеология сохраняется).3. Некоторые вещи получаются проще.плотность состоянийдля квазичастиц при ε=0совпадает с плотностьюсостояний на поверхностиФермимножитель 2 — учёт частиц и античастиц(интеграл по положительным энергиям)∞бесконечный предел для T<<EFE =2∫ ε n(ε) D(ε) d ε0∞∞2xdE∂ n(ε)x e dxC==2 D(E F ) ∫ εd ε=2 T D(E F )∫=2xdT∂T00 (e + 1 )∞22ξπ=4T D(E F )∫ 2 d ξ= D( E F )T30 ch ξЭлектроны в периодическом потенциале.e(i⃗k ⃗rk)2p̂+U ( ⃗r ) Ψ=E Ψ2mU ( ⃗r )=U ( ⃗r + T⃗ )⃗⃗ ⃗k 'k −G=⃗ G)⃗ 22⃗k⋅G=(2⃗⃗⃗k⋅( G / 2 )=( G/ 2)⃗( ⃗k−G⃗ /2 )⋅G=0периодический потенциал ионного остовакристаллаЕсли есть взаимодействие частицы с периодическимпотенциалом — возможно рассеяние (дифракция).Условие дифракции: попадание волнового векторачастицы на границу зоны Бриллюэна.Частица, удовлетворяющая этому условию не можетраспространяться в кристалле.Т.о., ожидаем, что спектр частицы E(k) изменится припопадании в кристалл.Теорема Блоха.Цель: «угадать» вид волновой функции электрона в периодическом потенциале.Для простоты одномерный случай.периодическое граничноеусловиеразложение по этому базисупроизвольной волновой функцииРазложение периодическогопотенциала взаимодействияэлектрона с решёткой в рядФурье имеет гармоники толькона волновых векторах обратнойрешётки!2π4πK =0,±,±...LLψ=∑ C K e i K xKU (x )=∑ U G e i G xGнабор разрешенныхволновых векторов=базисный наборволновых функцийТеорема Блоха.Действие гамильтониана на волновую функцию) ((222̂p−ℏ∂iGxĤ ψ=+ U ( x) ψ=+Ue∑2m2 m ∂ x2 G GĤ ψ= E ψψ=e i K)∑KK(0xi (K −K ) xCe∑ K0эта разность естьвектор обратнойрешётки)ℏ2 2iG xiKxK + ∑UGee2mGВ выражение для волновой функции могут входитьтолько волновые вектора, отличающиеся на векторобратной решётки!Kодин из волновыхвекторовразложенияC K e =∑ C KiKxэта сумма естьпериодическаяфункция координатТеорема Блоха.Действие гамильтониана на волновую функциюikxk 2 2k2(ψ =e u ( x)−ℏ ∂ψ=+ ∑U e ∑ Cu k (x2 m)=u∂ x k ( x+ T )) (̂pĤ ψ=+ U ( x)2miGx2GG)Ke =∑ C KiKxKK(1) k определён с точностью до вектора обратной решёткиразложенииволновойфункцииĤ 2)ψ=E ψквазиимпульс Вэлектронаp=ħk(из-зазависимостиu(x)могутне быть тольковолервыевектора,действиемотличающиеся на вектор обратнойсовпадает с импульсом— проверяетсярешётки!оператора импульса наблоховскую волновую функцию)ψ=e i K0xi (K −K ) xCe∑ K0Kодин из волновыхвекторовразложенияэта разность естьвектор обратнойрешётки)ℏ2 2iG xiKxK + ∑UGee2mGэта сумма естьпериодическаяфункция координатПравила отбора и закон сохранения квазиимпульса.Вероятность перехода между состояниями под действием какого-товзаимодействия в квантовой физике зависит от матричного элемента этоговзаимодействия между состояниями (см., например, «золотое правило» Ферми).Пример: взаимодействие электрона с модуляцией плотности заряда, связанной сналичием фонона с волновым вектором K⃗ ⃗riK̂V=Ae⃗⃗⃗ −⃗∗ iKr3∗i( ⃗k+ Kk ' )⃗r 3V k , k ' =∫ ψ ⃗k ' e ψ⃗k d x =∫ u⃗k ' (⃗r ) u⃗k (⃗r )ed xпериодические функции,раскладываются в рядФурье по обратнойрешёткетогда этот интеграл не ноль только при условии⃗⃗ =⃗⃗k+ Kk'+ GПравила отбора и закон сохранения квазиимпульса.Вероятность переходаФормальномеждусоответствуетсостояниямипоглощениюпод действиемфонона.какого-товзаимодействия в квантовой физике зависит от матричного элемента этоговзаимодействияПомеждуэнергиисостояниямианалогичное(см.правилонапримеротбора«золотое(=законправило» Ферми).сохранения энергии) выполнится, если рассмотретьПример: взаимодействиевременнуюэлектроначасть волновойс модуляциейфункции.плотности заряда, связанной сналичием фонона с волновым вектором K«Закон сохранения квазиимпульса» выполняется сточностью до волнового⃗ r вектора обратной решётки.iKV̂ = A e ⃗воi(всех⃗с⃗⃗⃗ −процессах⃗∗Т.о.,iKr точки 3зрения наблюдателя∗k+ Kk ' )⃗r 3V k , k ' =∫ ψ ⃗kвзаимодействияeψdx=u(⃗r)u(⃗r)ed x∫ ⃗k ' внутриэлектронакристалла проявляется⃗k⃗k'именно квазиимпульс:для электрона внутри кристалла все егосвойства нужно рассматривать как функциюпериодические функции,квазиимпульса.раскладываются в рядФурье по обратнойрешёткетогда этот интеграл не ноль только при условии⃗⃗ =⃗⃗k+ Kk'+ GЭлектроны в кристаллеМодель идеального газа для электронов в металле —не учитывается взаимодействие друг с другом и скристаллом.Взаимодействие друг с другом ослаблено запретом ПаулиВзаимодействие с потенциалом решётки рассматриваемдля невзаимодействующих друг с другом электронов(одночастичная задача):●приближение слабой связи — почти свободныеэлектроны●приближение сильной связи — сильно локализованныеэлектроныЭлектроны в кристалле.Приближение слабой связи.eНулевое приближение:свободные частицы.i⃗k ⃗rkeik x2ℏE=k22mПотенциал взаимодействия учитываем по теории возмущений.( )2πU (x )=δ cosxaодномерная задача,для простоты только однагармоникаФормализм теории возмущений.Невозмущённая задачаĤ 0(0)ψ{ i }Добавили «слабое» возмущениеĤ = Ĥ 0+ V̂(0)ψi≃ψ(0)+aψ∑ijj(разложение по базису дляневырожденных уровней)i≠ j∣〉(0)Ĥ ∣ ψi 〉 =( Ĥ 0 + V̂ ) ψ(0)+aψ∑ j j =ii≠ j〉 ∣〉〉 +V̂ ∣ψ +∑ a ψ 〉−E ∣∑ a ψ 〉∣= Ei ∣ψi 〉 + ∑ a j E j ∣ψ j 〉+ V̂ ψi + ∑ a j ψ j =E ψi + ∑ a j ψ j(0)(0)(0)i≠ j(0)(0)(0)(0)(0)E−Eψ=aEψ(i )∣ i 〉 ∑ jj ∣ ji≠ j(0)(0)i≠ j(0 )i(0)(0)i≠ ji≠ jj(0)ji≠ jj(0 )j〈ψ ∣j≠iДомножаем на 〈 ψ ∣ ,теории возмущений.̂ ∣ ψ 〉=V=〈 ψ ∣VФормализм(0)(0 )(0)̂0=a j E (0)−aE+ψ∣V∣ψ〈jj iji 〉=∑ a 〈 ψ ∣V̂ ∣ ψ 〉〈 ψ(0)∣V̂ ∣ψ(0) 〉Домножаем наE (1)i(0)i(2 )Eij(0)i(0)j(0)i(0)iii(0)ji≠ jНевозмущённаязадачаĤ 0a j={ψ }(0)ijiE (0i )−E(0)jДобавили «слабое» возмущение2∣(2 ) a ψ(0)∣V ij(разложениепо базису дляψi≃ψ(0)+∑i E i =∑jj(0) невырожденных(0 )уровней)i≠ j i≠ j E −EijĤ = Ĥ 0+ V̂∣〉(0)Ĥ ∣ ψi 〉 =( Ĥ 0 + V̂ ) ψ(0)+aψ∑ j j =ii≠ j〉 ∣〉〉 +V̂ ∣ψ +∑ a ψ 〉−E ∣∑ a ψ 〉∣= Ei ∣ψi 〉 + ∑ a j E j ∣ψ j 〉+ V̂ ψi + ∑ a j ψ j =E ψi + ∑ a j ψ j(0)(0)(0)i≠ j(0)(0)(0)(0)(0)E−Eψ=aEψ(i )∣ i 〉 ∑ jj ∣ ji≠ j(0)(0)i≠ j(0 )i(0)(0)i≠ ji≠ jj(0)ji≠ jj(0 )jФормализм теории возмущений.Вырожденный уровень:ψ1,2 :Ĥ 0∣ψ1,2 〉 = E 0∣ψ1,2 〉В первом порядке диагонализация гамильтониана повырожденному уровню, «поворот» базиса(E0̂̂( H 0 + V )=0)()0V 11 V 12+E0V 21 V 22поиск собственных значений дляV ij =〈 ψ(0i )∣V̂ ∣ψ(0)j 〉Приближение слабой связи.7U (x )=δ cos156( )2πxaδ E (1) ( k )=〈 k∣U ( x)∣k 〉∝∫ e−ikx U ( x) eikx dx=05δ Ek = ∑(2 )104k ' ≠kE k ' −E kсовпадаютэнергии состояний,3отличающихся на вектор обратнойрешётки.5210∣〈 k ' ∣U∣k 〉∣2-6-4-202k, в единицах p/a460-1В точках пересечения ветвейнужно применять теориювозмущений для вырожденного01уровня!k, в единицах p/aПриближение слабой связи.15(105δ E7 (1) (k )=〈 k∣U (x)∣k 〉∝∫ e−ikx U (x )e ikx dx=0())2нужно применять теориювозмущений для вырожденногоуровня!10-62∣〈 k '∣U∣k 〉∣δE =∑〈 π ∣U ( x)∣ π 〉〈 π ∣U ( x)∣−6 π 〉aaaa = 0 δk̃'≠ k E k ' −E k∗ππππ̃δ05〈− ∣U ( x )∣ 〉 〈− ∣U ( x)∣−〉aaaaспециально выделен вырожденныйслучай4̃δ= 1 ∫ ei 2 π x /a U ( x)dx=δL23δ̃∣∣δ E =± δ =±2В точках пересечения ветвей(2)k-4-202k, в единицах p/a460-10k, в единицах p/a1Спектр электронов в приближении слабой связи.715Появляются запрещённые зоны6Ширины запрещённых зон определяютсяразными гармониками потенциалавзаимодействия и могут меняться10 произвольно.54Групповая скорость обращается в ноль награнице зоны Бриллюэна53210-6-4-202k, в единицах p/a460-10k, в единицах p/a1Приближение сильной связи.ψiψi+1ii+1Нулевое приближение: электрон локализован на одном из атомов, его возможныесостояния описываются атомными волновыми функциями.(0)ψ j (x )=ψ ( x−x j )Упрощения:невзаимодействующиеэлектроны(неткулоновскогоотталкивания=одночастичная задача), s-состояние, одномерная цепочка атомов.В отсутствие взаимодействия задача опять сводится к одночастичной, уровни Nкратно вырождены.Приближение сильной связи.ψiψi+1ii+1Перекрытие волновых функций электрона на соседних атомах = возможностьперескочить = делокализация электрона.Угадываем вид волновой функции для одного электрона на цепочке.1ψk =√N∑ei k xjjψj2π 2π 2π2πk =0,,2,3, ...

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций