01_slides_2018 (1182265)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

В.Н.Глазков, «Квантовая макрофизика», 05.02.2018Квантовая макрофизика.Лекция 1. Структура и колебания кристаллическихрешёток.Трансляционная инвариантность.T : ⃗r → ⃗r + a⃗aрис. с сайта caricatura.ruСреда выглядит одинаково для «наблюдателя» в точках с координатами r и(r+a) = свойства среды не меняются при трансляции на вектор a.Вектор трансляции a определён неоднозначно: вектор na также являетсявектором трансляции.Возникновение трансляционной симметрии — один из видовнарушения симметрии изотропного пространстваКристалл.По определению, кристаллом называется твёрдое тело, вкотором есть тройка некомпланарных векторов трансляцииa, b, c.Выбор неоднозначен.

По определению выбирают правую тройкувекторов. Обычно выбирают либо вектора наименьшей длины, либотройку отражающую специальную симметрию кристалла. Длинывекторов = постоянные решётки.cbαβγaВообще говоря: вектора произвольнойдлины, под произвольными углами другк другу.Решётка, базис, элементарная ячейка⃗r =⃗r 0+ n ⃗a + m ⃗b+ p ⃗cКристаллическая решётка = ГМТ, получающихсяприменением трансляций к исходной точке.Математическая абстракция.Примитивная решётка: если для любой пары точек r и r' из которых среда«выглядит» одинаково можно подобрать целые числа n, m, p для этого уравнения.Базис (кристаллографический базис): группа атомов, применением к которойопераций трансляции можно полностью восстановить пространственноерасположение атомов в данном теле.Кристаллическая структура: пространственное расположение атомов в кристалле.Элементарная ячейка: элемент кристаллической структуры, периодическойтрансляцией которого можно восстановить всю структуру.Пример: структура, базис, решеткаСтруктура «пчелиные соты» не описывается парой векторов трансляции,приходится выделять базис из двух атомов.

Решётка «шестиугольной» структурыбудет иметь вид сетки из ромбов. Элементарная ячейка — например один изотмеченных ромбов, содержит два атома (один базис).Выделение элементарной ячейки в кристалле.Варианты выбора элементарной ячейки на двумерной решётке: 1 и 2 построение на векторах трансляции с разным расположением элементарнойячейки относительно узлов решётки, 3 - построение ячейки Вигнера-Зейтца.Выделение элементарной ячейки в кристалле.Мощение плоскости ячейкой Вигнера-ЗейтцаДругие операции симметрии.Помимо трансляций кристаллы могут обладать и другими симметриями:инверсия, оси вращения, плоскости отражения. Центры инверсии, оси и плоскостисимметрии могут по разному располагаться внутри элементарной ячейки.Но: Всего существует 230 пространственных групп симметрии.Сочетание с трансляциями накладывает ограничение: возможны только оси 2,3,4 и6 порядка.Ось n-ого порядка (n>2)+трансляции: сечениеэлементарной ячейки может быть выбрано вформе правильного n-угольника для четного n и2n-угольника для нечётного n.

После трансляцийв вершинах соседствуют k элементарных ячеек.Внутренний угол n-угольникаα=π−2 π / nПо требованию мощения плоскости2k=1−2/nk α=2 πв целых числах толькоn=3, 4, 6n=2 отдельно, очевидноКвазикристаллы: есть ось 5 порядка, но неттрансляционной инвариантностиИз слайдов нобелевской лекции Д.Шехтмана, С сайта http://www.nobelprize.orghttps://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tilingИ в результате получаем...Естественнаяогранка частоотражает формуэлементарнойячейки иналичие осейсимметрииЕстественная огранка кристаллов.

С сайта Минералогического музея РАН. Верхний ряд: (слева) благородная шпинель, (справа) топаз. Нижнийряд: (слева) топаз, (справа) рутил.А если кристалл растёт достаточно долго...Это человек.И это не фотошоп.Гигантские кристаллы гипса (селенит, структурная разновидность гипса, CaSO4·2H2O ) из "Пещеры кристаллов" в шахтном комплексе Найка(Мексика).

Фото из статьи в журнале National GeographicGiant Crystal Cave Comes to Light , http://news.nationalgeographic.com/news/2007/04/photogalleries/giant-crystals-cave/index.htmlКлассификация кристаллических решёток. 2D.A.B.bbaaДвумерные решётки Браве:A. Косоугольная,B. Прямоугольная,D.C.C. Квадратная,D. Гексагональная,E. Центрированная прямоугольная.bbaaE.b'a'baПоказаны также оси элементарнойячейки. Для прямоугольнойцентрированной дополнительнопоказаны оси примитивной ячейки.Для гексагональной пунктирвыделяет шестиугольный мотивструктуры, залитые области — дваспособа выбора примитивнойэлементарной ячейки.Решётки Браве в 3D.базоцентрированные,ГЦК и ОЦК решётки— не примитивные!Классификация решёток Браве в трёхмерном случае.

Рисунок из БСЭ, по сайту Яндекс.Словари › БСЭ.Описание позиций, направлений и плоскостей вкристалле.Позиция атома в ячейке: в координатах геометрического базиса векторовтрансляции (не ортонормированного!)1 1 3, ,2 4 411⃗ 3a + b + ⃗c⃗r = ⃗244Направление в кристалле: по геометрическому базису векторов трансляции,указывается в квадратных скобках.[1,2 ,3]d⃗ =1⋅⃗a + 2⋅⃗b+ 3⋅⃗cне ортонормированный базис, для некубических решёток нужно бытьосторожным.Плоскости в кристалле: указываемые в круглых скобках индексы Миллера.Индексы Миллера.построить плоскость допересечения скристаллографическимиосями координат(632)определить какие отрезки(в единицахсоответствующихпостоянных решётки)отсекает эта плоскость отосей координатccbbaa(120)1;2;31;1/2;1/36;3;2Ответ: (632)2;1;1/2;1;01;2;0Ответ: (120)взять обратные к этимчислампривести их кнаименьшему целому,кратному этим числам.Структура NaClСлева: структура NaCl (с сайта http://chemistry.tutorvista.com/inorganic-chemistry/crystalstructure.html), атомы хлора отмечены оранжевым, атомы натрия — синим.

Справа:фрагментыатомов,попадающиевэлементарнуюячейку(ссайтаhttp://departments.kings.edu/chemlab/animation/nacl.html),атомыхлорапоказаныкрасным, атомы натрия — синим.Решётка Браве этойструктуры — кубическаягранецентрированная спериодом 5.64 Å. Базиссостоит из двух атомов:атома натрия 0;0;0атома хлора 1/2;1/2;1/2Структура алмазаРешётка алмаза является кубическойгранецентрированной.Сторонаэлементарного куба равна 3.57Å.Базис состоит из двух атомов углеродав позициях 0;0;0 и 1/4;1/4;1/4Структура алмаза (с сайтаhttp://www.e6cvd.com/cvd/page.jsp?pageid=361)Структура алмазаРешётка алмаза является кубическойгранецентрированной.Сторонаэлементарного куба равна 3.57Å.Базис состоит из двух атомов углеродав позициях 0;0;0 и 1/4;1/4;1/4Базис выделен для наглядности.«Красные» атомы: в вершине ицентрах граней.Структура алмаза (с сайтаhttp://www.e6cvd.com/cvd/page.jsp?pageid=361)Дифракция на кристалле.

Условие Брэгга.Малое поглощение = все плоскости рассеивают волны одинаково(010)b(130)ad(110)К выводу условия Брэгга. Слева: семейства различных плоскостей в кубическом кристалле в проекции на плоскость,перпендикулярную оси c. Справа: вычисление разности хода лучей, рассеянных на соседних плоскостях.2d sin θ=n λРассеяние волн атомамиПадающаяволна, ki( ⃗⃗⃗E (⃗r )= E 0 e k⋅⃗r −ωt )Рассеяннаяволна, k'рис.

с сайта caricatura.ruAПадающая волна:φ B=0φ A =⃗k⋅T⃗RTРазность фаз рассеянных волн:Bφ B−φ A=k ∣⃗R∣−k ∣⃗R−T⃗∣≈2≈k ∣⃗R∣−k R⃗ −2 ⃗R⋅T⃗ ≈√k ⃗ ⃗ ⃗ ⃗≈ ( R⋅T )≈ k '⋅TRРассеяние волн атомамиПадающаяволна, ki( ⃗⃗⃗E (⃗r )= E 0 e k⋅⃗r −ωt )Рассеяннаяволна, k'рис. с сайта caricatura.ruAПадающая волна:φ B=0φ A =⃗k⋅T⃗TBПолная разность фазΔ φ=( ⃗k '−⃗k )⋅T⃗RРазность фаз рассеянных волн:φ B−φ A=k ∣⃗R∣−k ∣⃗R−T⃗∣≈2≈k ∣⃗R∣−k R⃗ −2 ⃗R⋅T⃗ ≈√k ⃗ ⃗ ⃗ ⃗≈ ( R⋅T )≈ k '⋅TRРассеяние волн атомамиПадающаяволна, ki( ⃗⃗⃗E (⃗r )= E 0 e k⋅⃗r −ωt )Рассеяннаяволна, k'рис. с сайта caricatura.ruКратно 2π?Для любых (!!!)трансляций???AПадающая волна:φ B=0φ A =⃗k⋅T⃗TBПолная разность фазΔ φ=( ⃗k '−⃗k )⋅T⃗RРазность фаз рассеянных волн:φ B−φ A=k ∣⃗R∣−k ∣⃗R−T⃗∣≈2≈k ∣⃗R∣−k R⃗ −2 ⃗R⋅T⃗ ≈√k ⃗ ⃗ ⃗ ⃗≈ ( R⋅T )≈ k '⋅TRОбратная решётка.⃗[ ⃗b×⃗c ][⃗c×⃗a][⃗a×b]∗∗a⃗ =2 π, ⃗b =2 π, c⃗ =2 π(⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ])(⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ])(⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ])∗Тройка некомпланарных векторов, также задают некоторую решётку,которую называют обратной решёткой.Размерность обратной длины [1/L] — как у волнового вектора.Построение с этими векторами называют также построением в kпространстве или построением в обратном пространстве.Если∗∗∗⃗⃗k −⃗k ' = p1⃗a + p2 ⃗b + p3 ⃗c =Gтогда (и только тогда) условие дифракции выполнено автоматически( ⃗k− ⃗k ' )(n 1 ⃗a + n 2 ⃗b+ n3 ⃗c )=2 π( p1 n1+ p2 n 2+ p3 n3 )Тройка чисел p1,p2,p3 индексирует брэгговские пикиПредставление условия дифракции с помощьюобратной решётки.2⃗k 2 =( ⃗k')⃗⃗k '=⃗k+ Gупругое рассеяниеусловие дифракции2⃗⃗G + 2 ⃗k G=0Это условие позволяет для заданного волновоговектора падающего излучения перебрать всевозможные варианты рассеяния.⃗ G)⃗ 22⃗k⋅G=(2⃗⃗⃗k⋅( G / 2 )=( G/ 2)⃗( ⃗k−G⃗ /2 )⋅G=0Если проекция волнового вектора на какой-товектор обратной решётки точно равна половинеэтого вектора обратной решётки,то такая волна автоматически удовлетворяетусловию дифракции и не может распространятьсяв кристалле (активно рассеивается)Связь с индексами Миллера.Плоскость(hkl )по построению отсекает от осейкристаллографической системы координат вектора1 1⃗ 1⃗a , b , ⃗ch klНормаль к этой плоскости(n=⃗)()1111111a− ⃗b × ⃗a − ⃗c = ⃗b ×⃗c + ⃗c ×⃗a+b =const ( h ⃗a∗+ k ⃗b∗+ l ⃗c ∗)⃗⃗a× ⃗hkhlklhlhkвектор обратной решётки с теми жеиндексамиG⃗⃗k −⃗k ' =Gkk'«отражение» от⃗плоскости ⊥ GБрэгговский пик с индексами hklсоответствует с точки зренияусловия Брэгга дифракции насемействе плоскостей (hkl)Не примитивные решётки.[ ⃗b×⃗c ][⃗c ×⃗a][⃗a ×⃗b]∗∗⃗a⃗ =2 π, b =2 π, c⃗ =2 π⃗⃗(⃗a⋅[ b×⃗c ])(⃗a⋅[ b×⃗c ])(⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ])∗33(2π)(2π)V ⃗k =( ⃗a ⋅[ ⃗b ×⃗c ])==⃗V ⃗r(⃗a⋅[ b×⃗c ])∗∗∗Если вектора обратной решётки строятся по векторам трансляции непримитивной решётки, вектора обратной решётки «короче»⃗⃗k −⃗k ' =Gусловие дифракции будет предсказывать лишние брэгговские пики (пристрогом анализе — нулевой интенсивности).По определению, во избежание путаницы, обратную решётку строят в такихслучаях по примитивной решёткеКак мы увидим далее, такое соглашение оказывается правильным и с точкизрения подсчёта физически различных состояний.Построение Бриллюэна.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций